1
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具
有哪些基本特点?
在量子力学建立以后,布洛赫(F.Bloch)和
布里渊(Brillouin)等人就致力于研究周期场
中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子
的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子
波函数的特点。
§4-1 布洛赫定理
在一维情形下,周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 必须满足定态薛定谔方程)(xkψ
)1()()()()(
2 2
22
xkExxV
dx
d
m kk
ψψ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +− =
k -------
示电子状态的角波数
V( x ) ----周期性的势能函数,它满足
V( x ) = V( x + n a )
a ---- 晶格常数
n -----任意整数
1、一维情况的布洛赫定理
布洛赫定理:
)()( naxuxu kk +=
式中 也是以a为周期的周期函数,
即 *
)( xuk
具有(2)式形式的波函数称为布洛赫波函数,
或布洛赫函数。
)2()()( xuex k
xki
k =ψ
满足(1)式的定态波函数必定具有如下的
特殊形式
布洛赫定理
了一个在周期场中运动的电子
波函数为:一个自由电子波函数 与一个具有
晶体结构周期性的函数 的乘积。
xkie
)(xuk
♦ 只有在 等于常数时,在周期场中运动的
电子的波函数才完全变为自由电子的波函
数。
)(xuk
♦ 这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的
倾向,又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
♦ 因此,布洛赫函数是比自由电子波函数更接近
实际情况的波函数。
♦ 它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。
)()()](
2
[ 2
2
rErrV
m
KKK= ψψ =+∇−
—— 方程的解具有以下性质
)()( reRr nRkin
KKK KK ψψ ⋅=+ —— 布洛赫定理
布洛赫定理 —— 势场 具有晶格周期性时
电子的波函数满足薛定谔方程
( )V rK
2、三维情况的布洛赫定理
)()( reRr nRkin
KKK KK ψψ ⋅=+ —— 布洛赫定理
k
K
为一矢量 —— 当平移晶格矢量 nR
K
nRkie
KK⋅—— 波函数只增加了位相因子
晶格周期性函数
)()( ruer k
rki KK KK⋅=ψ
)()( ruRru kk
KKK =+
电子的波函数 —— 布洛赫函数
10 / 24
2
实际的晶体体积总是有限的。因此必须
考虑边界条件。
设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,
则布洛赫波函数 应满足如下条件)(xkψ
)3()()( Naxx kk +=ψψ
此式称为周期性边界条件。
二 . 周期性边界条件
在固体问题中,为了既考虑
到晶体势场的周期性,又考虑到晶体是有限
的,我们经常合理地采用周期性边界条件:
1. 一维情况
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
a
a
周期性边界条件对波
函数中的波数是有影
响的。 图 2 周期性边界条件示意图
采用周期性边界条件以
后,具有 N 个晶格点的
晶体就相当于首尾衔接
起来的圆环:
左边为 )()( xuex kxkik =ψ
)(xuee k
kxikNai=
)(xe k
kNai ψ=
)()( )( NaxueNax k
Naxki
k +=+ +ψ右边为
所以 1=kNaie
),2,1,0(2 "±±== nnkNa π
)3()()( Naxx kk +=ψψ由周期性边界条件
即周期性边界条件使 k 只能取分立值:
),2,1,0(22 "±±=== n
L
n
Na
nk ππ
证明如下:
按照布洛赫定理:
),2,1,0(22 "±±=== n
L
n
Na
nk ππ
k 是代表电子状态的角波数,
n 是代表电子状态的量子数。
2. 三维情况
电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。
它对应一组状态角波数(kx、 ky、 kz)。
一个 对应电子的一个状态。kG
我们以 为三个直角坐标轴,建立
一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、
空间,或动量空间*。
kx、 ky、 kz
k
G
由于德布洛意关系 ,即 ,
所以 空间也称为动量空间。
λ
hP = kP
G=G =
k
G注:
),2,1,0(2 "±±== xxx nnLk
π
),2,1,0(2 "±±== yyy nnLk
π
),2,1,0(2 "±±== zzz nnLk
π
在 空间中,电子的每个状态可以用
一个状态点来表示,这个点的坐标是
k
G
三. 空间kG ),2,1,0(2 "±±== xxx nnLk
π
ky
kx0-1 1 2-2 3-3
1
-1
2
-2
-3
3 L
π2
L
π2
上式告诉我们,沿 空间的每个坐标轴方向,
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。L
π2
k
G
图 3 表示二维 空间每个点所占的面积是 。
22 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
L
πk
G因此,空间中每个状态点所占的体积为 。
32 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
L
πk
G
图 3 二维 空间
示意图
k
G
3
四、布洛赫定理的证明 p154
1、 引入平移算符
证明平移算符与哈密顿算符对易, 两者具有相
同的本征函数。
2、利用周期性边界条件
确定平移算符的本征值,给出电子波函数的形式
3、势场的周期性反映了晶格的平移对称性
晶格平移任意矢量 势场不变1 1 2 2 3 3mR ma m a m a= + +
K K K K
在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符
321 ,, TTT
平移任意晶格矢量 1 1 2 2 3 3mR ma m a m a= + +
K K K K
对应的平移算符 )()()()( 332211 321 aTaTaTRT mmmm
KKKK =
作用于任意函数 )(rf K
)()( αα arfrfT
KKK += —— 3,2,1=α
平移算符作用于周期性势场
平移算符 的性质αT
)()( αα arVrVT
KKK += )(rV K=
( ) ( )mT f r f r maα α= +K K K
各平移算符之间对易
对于任意函数 )(rf K
)()( βαβα arfTrfTT
KKK += )( βα aarf KKK ++=
( ) ( )T T f r f r a aβ α β α= + +K K K K
αββα TTTT =
平移算符和哈密顿量对易
对于任意函数 )(rf K
2
2( ) [ ( )] ( )
2 r a
T Hf r V r a f r a
m αα α α+
= − ∇ + + +K K=K K K K K
和 微分结果一样2r aα+∇ K K 2
2
2
2
2
2
,,
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2( ) [ ( )] ( )
2 r
T Hf r V r f r a
mα α
= − ∇ + +K=K K K K
)( αarHf
KK += αα HTHT =)(rfHT Kα=
15/ 24
—— 平移算符的本征值1 2 3, ,λ λ λ
T和H存在对易关系,具有共同本征函数
1 1
2 2
3 3
H E
T
T
T
ψ ψ
ψ λψ
ψ λψ
ψ λψ
=
=
=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
)()(
)()(
)()(
33
22
11
aNrr
aNrr
aNrr
KKK
KKK
KKK
ψψ
ψψ
ψψ
周期性边界条件
4
对于 )()( 11aNrr
KKK +=ψψ
)()()( 11 11 rrTr
NN KKK ψλψψ ==
)()( 22aNrr
KKK +=ψψ
)()()( 22 22 rrTr
NN KKK ψλψψ ==
)()( 33aNrr
KKK +=ψψ
)()()( 33 33 rrTr
NN KKK ψλψψ ==
3
3
2
3
li
Ne
πλ =
1 2 3, ,l l l
对于
对于
2
2
2
2
li
Ne
πλ =
1
1
2
1
li
Ne
πλ =
—— 整数
—— 引入矢量 3
3
3
2
2
2
1
1
1 b
N
lb
N
lb
N
lk
KKKK ++=
—— 倒格子基矢1 2 3, ,b b b
K K K
满足 ijji ba πδ2=⋅
KK
平移算符的本征值 321
321 ,,
akiakiaki eee
KKKKKK ⋅⋅⋅ === λλλ
1
1
2
2
3
3
2
1
2
2
2
3
li
N
li
N
li
N
e
e
e
π
π
π
λ
λ
λ
=
=
=
31 2
1 2 3, ,
ik aik a ik ae e eλ λ λ ⋅⋅ ⋅= = = KK K KK K
将 作用于电子波函数)()()()( 332211 321 aTaTaTRT mmmm
KKKK =
1 1 2 2 3 3( ) ( )ik m a m a m ae rψ⋅ + += K K K K K
)()()()( 332211 321 raTaTaT
mmm KKKK ψ=
)()( 321 321 rRr
mmm
m
KKK ψλλλψ =+
平移算符的本征值
)()()( mm RrrRT
KKKK +=ψψ 1 1 2 2 3 3( )r m a m a m aψ= + + +K K K K
)()( ruer k
rki KK KK⋅=ψ
)]([)( mk
rkiRki
m RrueeRr m
KKKK KKKK +=+ ⋅⋅ψ
)()( reRr mRkim
KKK KK ψψ ⋅=+
)()( )( 332211 reRr amamamkim
KKK KKKK ψψ ++⋅=+
—— 布洛赫定理
电子的波函数
满足布洛赫定理
)]([ ruee k
rkiRki m KKKKK ⋅⋅= )(re mRki KKK ψ⋅=
( )ku r
K
—— 晶格周期性函数
—— 布洛赫函数
20 / 24
3、 平移算符本征值的物理意义
1)
—— 原胞之间电子波
函数相位的变化
321
321 ,,
akiakiaki eee
KKKKKK ⋅⋅⋅ === λλλ
2) 平移算符本征值量子数
—— 简约波矢
—— 不同的简约波矢,原胞之间的相位差不同
1
1 1( ) ( ) ( )
ik aT r r a e rψ ψ ψ⋅= + = K KK K K K
3
3
3
2
2
2
1
1
1 b
N
lb
N
lb
N
lk
KKKK ++=
3) 简约波矢改变一个倒格子矢量 332211 bnbnbnGn
KKKK ++=
平移算符的本征值 ' ( )m n mik R i k G Re e⋅ + ⋅=K K KK K m n mik R iG Re e⋅ ⋅= K KK K
)()( reRr mRkim
KKK KK ψψ ⋅=+ —— 布洛赫定理
nk k G′ = +
K K K
2n mG R nπ ′⋅ =K K mik Re ⋅=
K K
5
为了使简约波矢 的取值和平移算符的本征值一一对应k
K
3
1 2 3
(2 )* ( )b b b πΩ = ⋅ × = Ω
K K K
/ 2 / 2j j jb k b− < ≤
3
3
3
2
2
2
1
1
1 b
N
lb
N
lb
N
lk
KKKK ++=
22
j
j
j Nl
N ≤<−
简约波矢
第一布里渊区体积
取值限制第一布里渊区
2 2
j j j
j
j
b l b
b
N
− < ≤
简约波矢 3
3
3
2
2
2
1
1
1 b
N
lb
N
lb
N
lk
KKKK ++=
在 空间中第一布里渊区均匀分布的点k
K
cV
b
N
b
N
b
N
3
3
3
2
2
1
1
)2()11(1 π=×⋅ KKK
3)2( π
cV
NN =Ω⋅Ω 3
3
)2(
)2(
π
π
每个代表点的体积
状态密度
简约布里渊区的波矢数目
24 / 24