全错位排列公式全错位排列
先看下面例子:
例1. 5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考书上都有,有几种解法,其中一种解法是用排除法:
先考虑5个全排列,有
种不同的排法,然后除去甲排在第一(有
种)与乙排第二(也有
种),但两种又有重复部分,因此多减,必须加上多减部分,这样得到共有:
种。
现在考虑:
例2.5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,丙不站第三位,共有多少种不同的站法。
仿上分析可得:
种
这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n个元素全部都不...
全错位排列
先看下面例子:
例1. 5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,共有多少种不同的站法。
这个问题在高中很多参考
上都有,有几种解法,其中一种解法是用排除法:
先考虑5个全排列,有
种不同的排法,然后除去甲排在第一(有
种)与乙排第二(也有
种),但两种又有重复部分,因此多减,必须加上多减部分,这样得到共有:
种。
现在考虑:
例2.5个人站成一排,其中甲不站第一位,乙不站第二位,丙不站第三位,共有多少种不同的站法。
仿上
可得:
种
这与全错位排列很相似。
全错位排列——即n个元素全部都不在相应位置的排列。看下面的问题
例3.5个人站成一排,其中A不站第一位,B不站第二位,C不站第三位,D不站第四位,E不站第五位,共有多少种不同的站法。
解析:上面例1,例2实际上可以看成
个不同元素中有
不排在相应位置。
公式一:
个不同元素排成一排,有
个元素
不排在相应位置的排列种数共有:
种
这个公式在
时亦成立,从而这个问题可能用上面的公式得出:
种
(注意
)
(1993年高考)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年卡不同的分配方式有
(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种
解析:由上面公式得:
种,∴选择B答案
因此可得到全错位排列的公式:
个不同元素排成一排,第一个元素不在第一位,第二个元素不在第二位,……,第
个元素不在第
位的排列数为:
这实际上是公式一的特殊情况。这个公式很有用,只要有特殊元素不站特殊位置的问题,都可以用这个公式很快得到解决,另一个计算公式:
这是著名的信封问题,很多著名的数学家都研究过
瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式:
用A、B、C……
示写着n位友人名字的信封,a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了,包含着这个错误的一切错装法分两类:
(1)b装入A里,这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关,应有f(n-2)种错装法。
(2)b装入A、B之外的一个信封,这时的装信工作实际是把(除a之外的) 份信纸b、c……装入(除B以外的)n-1个信封A、C……,显然这时装错的
有f(n-1)种。
总之在a装入B的错误之下,共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C,装入D……的n-2种错误之下,同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法,因此:
f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}
这是递推公式,令n=1、2、3、4、5逐个推算就能解答蒙摩的问题。
f(1)=0 f(2)=1 f(3)=2 f(4)=9 f(5)=44
_1239369826.unknown
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_1239370212.unknown
_1239370282.unknown
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_1239370092.unknown
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_1239370001.unknown
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