海伦公式[整理版]
海伦公式
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为下述推[1]导
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*?(1-cos^2 C)
=1/2*ab*?[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*?[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*?[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*?[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明?
中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积,直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即
。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以?、a,b,c
示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
当P=1时,? 2=q,
?=?1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
因式分解得
? ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]
=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S?=?[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦,秦九韶公式”。
S=?1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下
:
已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD
的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4
边)
代入解得s=8? 3
证明?
在?ABC中?A、?B、?C对应边a、b、c O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ?r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ? r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
?p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
?S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c)
?S=?p(p-a)(p-b)(p-c)