备战2013高考 理数十年高考一年模拟分类汇编：专题8 平面向量

备战2013高考 理数十年高考一年模拟分类汇编：专8 平面向量 专题8 平面向量 【2012年高考试题】 1.【2012高考真题重庆理6】设R，向量且，xy,,axbyc,,,,(,1),(1,),(2,4)a,c,b//ca，b则 (A)5 (B) (C) (D)10 1025 2.【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|，则a?b B.若a?b，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b| ,,,,ab,,ab,3.【2012高考真题四川理7】设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立 ||||ab的充分条件是( ) ,,,,,,,,,, ab,,ab//ab,2ab//A、 B、 C、 D、且 ||||ab, 【答案】C ,, abab,,,,,【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件;B.可以推得 |a||b|||||ab 第1页 共99页 ab,,或为必要不充分条件;C(为充分不必要条件;D同B. |a||b| 4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量，满足|+|=||，则下面结论正确ababab,的是 (A) a?b (B) a?b (C){0,1,3} (D)a+b=ab , ABCDABP5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段 22PAPB，CD的中点，则= 2PC A(2 B(4 C(5 D(10 第2页 共99页 ,,,,,,,, ABBC 6.【2012高考真题湖南理7】在?ABC中，AB=2，AC=3，= 1则. BC,___372322A. B. C. D. 【答案】A 第3页 共99页 ,,,,,,,,,,,,7.【2012高考真题广东理3】若向量=(2,3)，=(4,7)，则= CABCBA A((-2,-4) B( (3,4) C( (6,10) D( (-6,-10) 【答案】A 【解析】(故选A( BC,BA,CA,(2,3),(4,7),(,2,,4) ,,,,,8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义(若,,,,, ,,平面向量a，b满足|a|?|b|,0，a与b的夹角,(0,)，且和都在集合a,bb,a,4 ,n{|n,Z}中，则= a,b2 135A( B.1 C. D. 222 ,,,, OP9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针OP(0,0),(6,8) ,,,,3,旋转后，得向量，则点的坐标是( ) QOQ4 ()A()B(72,2),,(72,2), ()C()D(46,2),,(46,2), 第4页 共99页 ,ABC10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，AP,,AB 3,,RBQ,CP,,,，，若，则= AQ,(1,,)AC2 11,2(A) (B) 22 1,10,3,22 (C) (D) 22 【答案】A b,c,2,b,c,2【解析】如图，设 ，则，AB,b,AC,c 3BQ,CP,,CP,CA，AP,,c，,b又，，由得BQ,BA，AQ,,b，(1,,)c2 2232,b，,,c,,c，,b,,,c,,b，,,,，b,c,,[(1)]()(1)(1)，即2 13222,,,,,,，,,,，,,4(1)42(1)4,,4,，1,0，整理，即，解得(2,,1),022 第5页 共99页 选A. 11.【2012高考真题全国卷理6】?ABC中，AB边的高为CD，若a?b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) (B) (C) (D) ,,,,,: aab,,,1,21045，且12.【2012高考真题新课标理13】已知向量夹角为;则ab, , b,_____ ,,,,,,,,ABAC,13.【2012高考真题浙江理15】在?ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=________. 【答案】-16 【解析】法一此题最适合的方法是特例法( 假设ABC是以AB,AC的等腰三角形，如图， , 34AM,3，BC,10，AB,AC,( 第6页 共99页 ,,,,,,,,,,,,,,,,34341008，,cos?BAC,(, ABAC,,,ABACBAC,，,,cos1623417， 法二: 22111122. AB,AC,(,BC，AM),(BC，AM),,BC，AM,,，10，3,,162244 ,ABCD14.【2012高考真题上海理12】在平行四边形中，，边、的长分ABAD，A,3 |BM||CN|,NBCCD别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则MAM,AN |BC||CD|的取值范围是 。 15.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始xOy P位置在x，此时圆上一点的位置在(0,0)，圆在轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心(0,1) ,,,, OP(2,1)位于时，的坐标为______________. 第7页 共99页 【答案】 (2,sin2,1,cos2) 【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角PA,2 ,，PCA,22,,则,所以，PCA,,2 ,,PB,sin(2,),,cos2，CB,cos(2,),sin2，所以，x,2,CB,2,sin2p22 ，所以。 y,1，PB,1,cos2OP,(2,sin2,1,cos2)p 16.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 的值为________，的最大值为______。 DE,CBDE,DC ,,,,,, 23ab,,ab 17.【2012高考真题安徽理14】若平面向量满足:，则的最小值是ab, _____。 第8页 共99页 9【答案】 ,8 ,,,,,,2223494ababab,,,，,， 【解析】 ,,,,,,,,,,,,229444944abababababab，,,,,，,,,,, 8 ABCDBC18.【2012高考江苏9】(5分)如图，在矩形中，点为的ABBC,,22，，E ,,,,,,,,,,,,,,,,CD中点，点在边上，若，则的值是 ? ( ABAF ,2AEBF F 【2011年高考试题】 一、选择题: 第9页 共99页 1. (2011年高考山东卷理科12)设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，AAAA2413 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11若 (λ?R)，(μ?R)，且,则称，调和分割AA，,2AAAA,,AAAA,,4313121412,,， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d?R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法AA21 正确的是 (A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点 (C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上 ,3. (2011年高考全国新课标卷理科10)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个 命题 2,2,，,,， ，,,,Pab:10,，,,,Pab:1,,,,12,,,,33，,,， 第10页 共99页 ,,，,,， Pab:10,Pab:1,,,,,,,,,,,,34,,,,33，,,， 其中的真命题是 (A) (B) (C) (D) PP,PP,PP,PP,13142324 ,,,,,,,,,,,, BACDEF，，5. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，=( ) ,,,,,,,,,,,, CFBEAD(A)0 (B) (C) (D) 答案:D ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, BACDEFDECDEFCDDEEFCF，，,，，,，，,解析:. ,,,,, abc、、ab6. (2011年高考全国卷理科12)设向量满足||=||=1, B A 第11页 共99页 C D ,,,,,,,10,，=，则的最大值等于 =,c60ab,,,,,acbc,2 (A)2 (B) (c) (D)1 32 【答案】A ,,,,,,,,,,,,,,, 【解析】如图，构造, , , abAC,cAB,AD, ,,，所以四点共圆， ABCD,,,，,，,BADBCD120,60 , AC可知当线段为直径时，最大，最大值为2. c 7((2011年高考上海卷理科17)设是空间中给定的5个不同的点，则使AAAAA,,,,12345 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 成立的点M的个数为 MAMAMAMAMA，，，，,012345 ( ) 0 B(1 C(5 D(10 A( 【答案】B 二、填空题: ,,,,,,,,,,,, ,,1,,1,,1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量，满足，，且以向量，,, ,,,,1,,为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 。 ,2 ,,b,2a,2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足(a+2b)?(a-b)=,6，且，，则a与b的夹角为 . 第12页 共99页 ,3. (2011年高考天津卷理科14)已知直角梯形ABCD中,AD?BC,,AD=2,BC=1,P，,ADC90 ,,,,,,,, 是腰DC上的动点,则的最小值为 . |3|PAPB， 第13页 共99页 ,,,,,,,,,,,2cc,,60cc,6.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量的夹角为，则 ijij ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,222,2244414cos603cccccccc,,,,，,,，,，, 3解析:。 ，，ijijijij ,,2,e,e7.(2011年高考安徽卷江苏10)已知是夹角为的两个单位向量，123,,,,,,,, a,b,0a,e,2e,b,ke，e, 若，则k的值为 . 1212 5【答案】 4 【解析】 第14页 共99页 2,,,,,,,,,,,,,22,ab,,0,解得，,,,(2)()eekee,，,kk(12)cos2kekeee，,,,,(12)21212112235. k,4 【2010年高考试题】 uur VABCCD，ACB(2010全国卷2理数)(8)中，点D在AB上，平方(若，CBa, uuuruur ，，，则 a,1b,2CAb,CD, 12213443(A)ab，ab，ab，ab， (B) (C) (D) 33335555(2010辽宁理数)(8)平面上O,A,B三点不共线，设，则?OAB的面积等于 OA=aOBb,, 222222|abab|||(), |abab|||()， (A) (B) 11222222(C) |abab|||(), (D) |abab|||()， 22 第15页 共99页 (2010重庆理数)(2) 已知向量a，b满足，则 abab,,,,0,1,2,2ab,,A. 0 B. C. 4 D. 8 22 222(2a,b),4a,4a,b，b,8,22解析: 2ab,, (2010四川理数)(5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,,,AM则 BCABACABAC,,，,,,,,～16, (A)8 (B)4 (C) 2 (D)1 , (2010山东理数) (12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，a=(m,n), ，令 bp,q),( ,, ，下面说法错误的是( ) ab=mq-np ,,,,,,,, ab=0 ab=ba abA.若与共线，则 B. ,,,,,,,,,,2222,,RC.对任意的，有 D. (ab)+(ab)=|a||b| ,,a)b=(ab) ( 第16页 共99页 uuuruuur RtABC,，C(2010湖南理数)4、在中，=90?AC=4，则等于 ABAC,A、-16 B、-8 C、8 D、16 1.(2010年安徽理数) ,,,,,,,,, ,ABCMAMBMC，,+02. (2010湖北理数)5(已知和点M满足.若存在实数m使得,,,,,,,,, ABACAM，,m成立，则m= A(2 B(3 C(4 D(5 第17页 共99页 (2010浙江理数)(16)已知平面向量满足，且与的夹,,1,,,,,,,(0,),,,,,角为120?，则的取值范围是__________________ . , 解析:利用题设条件及其几何意义示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。 ,,,,,,,, a,1b,2ab,,(2010江西理数)13.已知向量，满足，， 与的夹角为60?，则 abab 3 【答案】 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ab,,3如图，由余弦定理得: aOAbOBabOAOBBA,,,,,,,, ,,,,,,,, ABCADAB,BCBD,3(2010天津理数)(15)如图，在中，,, ,,,,,,,,,,,, AD,1ACAD ,,则 . 【答案】D 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ACADACADDACACDACACBAC,,,,,,||||cos||cos||sin??? ,,,, ,,BCsinB3 【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。 rrrrrr abc(2010广东理数)10.若向量=(1,1,x), =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,()(2)cab,,x则= . 第18页 共99页 ,,,,,x,210(C(，，解得( cax,,,(0,0,1)()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2cabxx,,,,,,,,,(2010江苏卷)15、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，点A(,1,,2)、B(2,3)、C(,2,,1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数t满足()?=0，求t的值。 AB,tOCOC (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则: E为B、C的中点，E(0，1) 又E(0，1)为A、D的中点，所以D(1，4) 21042 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=; ,,,,,,,,,,,, OC(2)由题设知:=(,2,,1)，。 ABtOCtt,,，，(32,5)由(AB,tOC)?OC=0，得:， (32,5)(2,1)0，，,,,,tt 11从而所以。 511,t,,t,,5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2ABOC,11或者:， ABOCtOC? ,AB,(3,5),,,,,t,,,25||OC (2010江苏卷)15、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，点A(,1,,2)、B(2,3)、C(,2,,1)。 (3)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; AB,tOCOC(4)设实数t满足()?=0，求t的值。 第19页 共99页 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则: E为B、C的中点，E(0，1) 又E(0，1)为A、D的中点，所以D(1，4) 210 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=; 42 ,,,,,,,,,,,,(2)由题设知:=(,2,,1)，。 OCABtOCtt,,，，(32,5)由()?=0，得:， AB,tOCOC(32,5)(2,1)0，，,,,,tt 11从而所以。 511,t,,t,,5 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2ABOC,11或者:， ABOCtOC? ,AB,(3,5),,,,,t,,,25||OC 【2009年高考试题】 10.(2009?广东理6)一质点受到平面上的三个力FFF,,(单位:牛顿)的作用而处于123 060平衡状态(已知F，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 FFFF32211 2527A. 6 B. 2 C. D. 第20页 共99页 12.(2009?浙江文5)已知向量，(若向量满足，，ca,(1,2)b,,(2,3)()//cab，cab,，()则( )c, 77777777(,)(,)A( B( C( D((,),,(,),,93393993【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用( ,,,,,,,,, cab，//解析:不妨设，则，对于，则有acmnab，,，，，,,1,2,(3,1)Cmn,(,)，，，， ,,,7730mn,,cab,，;又，则有，则有 mn,,,,,,，,，3(1)2(2)mn，，93 ,,,,,,,,,,,, BCBABP，,213.(2009?山东理7;文.8)设P是?ABC所在平面内的一点，，则( ) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, PAPB，,0PCPA，,0PBPC，,0PAPBPC，，,0A. B. C. D. ,,,,,,,,,,,, BCBABP，,2解析::因为，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。 答案:B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。 ,ABC14.(2009?宁夏海南理9)已知O，N，P在所在平面内，且 OAOBOCNANBNC,,，，,,0PAPBPBPCPCPA,,,,,，且，则点O， ,ABCN，P依次是的 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 第21页 共99页 (注:三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心) 解析: ; 由知为的外心;由知，为的重心OAOBOCOABCNANBNCOABC,,,，，,,,0 ？PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPB,,,？,,,？,,？,，，00,,，， 同理，为APBCPC,？,,.ABC的垂心，选 023.(2009?辽宁文理3)平面向量a与b的夹角为，a,(2,0), | b |,1，则 | a，2b |, 60 33(A) (B)2 (C)4 (D)12 ,,, abc16.(2009?福建理9，文12)设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量， ,, ab且满足与不共线， ,,,,,, acacbc, ??=??,则? •?的值一定等于 ,,,, abbcA(以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积 ,,,, abbcC(，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 ,,,,,,,,,, ab,bcbcbcba解析: 假设与的夹角为，? •?=,,?,,??cos<，>?=,,?, ,,,,0,ba,ab,•?cos(90)?=,,?,,•sin,即为以，为邻边的平行四边形的面积，故选, A。 a，b,1aba，bx3.(2009?广东理10)若平面向量，满足，平行于轴，，b,(2,,1) B a,则 . 解析:或(,1,0)，则a，b,(1,0)a,(1,0),(2,,1),(,1,1) C A P 第7题图 第22页 共99页 或. a,(,1,0),(2,,1),(,3,1) ,,,,,,o4.(2009?江苏)已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量30abab||2,||3ab,,,, 积 。ab,= ,,3解析: 考查数量积的运算。 ab,,,,,2332 ,,,,,,,,o5.(2009?安徽理14)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. OAOB120 ,,,,如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动. AB ,,,,,,,,,,,, 若其中,则xy， xyR,,OCxOAyOB,，, 的最大值是________. ,,,,,,,,,,,,113,,,,,,,,BABCBD，,,,,,,,,,,,,,DC14.(天津理.15)在四边形ABCD中，==(1，1)，，AB BABCBD则四边形ABCD的面积是 ,,,,,,,, DC解析:因为AB==(1，1),所以四边形ABCD为平行四边形,所以 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1133BABCBDBABC，,,，(),,,,,,,,,,,,,,,, BABCBDBD ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ？,,,,,BDBABCBABCBD33,2,6即 第23页 共99页 16S,，，，,,2623,ABC则四边形ABCD的面积为15.(天津文15)若等边的24 ,,,,,12边长为，平面内一点M满足,则________. 23CM,CB，CAMA,MB,63 解析:合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 C(0,0),A(23,0),B(3,3) ,,3313135这样利用向量关系式，求得M，然后求得，(,)MA,(,,),MB,(,,,)222222运用数量积公式解得为-2. ,ABC3.(2009?浙江理18)(本题满分14分)在中，角所对的边分别为，且ABC,,abc,, A25满足， cos,25 ,,,,,,,, ,ABCbc，,6 ( (I)求的面积; (II)若，求的值( ABAC,,3a5.(2009?江苏15)(本小题满分14分) ,,, 设向量abc,,,,(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin),,,,,, ,,, bc,2a(1)若与垂直，求的值;tan(),,， ,, (2)求的最大值;||bc， ,, ab(3)若，求证:?.tantan16,,, 解析: 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。 第24页 共99页 6.(2009?广东理16)(本小题满分12分) ,已知向量与互相垂直，其中,(0,)( ,a,(sin,,,2)b,(1,cos,)2 sin,cos,(1)求和的值; 10,(2)若，求的值( cos,,,,,sin(),0,,,102 【2008年高考试题】 ABCDACOE，ODBD5、(2008?广东理科)在平行四边形中，与交于点是线段的中点， ,,,,,,,,,,,, CDAEFAC,aBD,bAF,的延长线与交于点(若，，则() 11211112ab，ab，ab，ab，A( B( C( D( 42332433 DFFC:1:2,解析:此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出,然后利用向量的 第25页 共99页 加减法则易得答案B. 答案:B ,, 7、(2008?海南、宁夏)平面向量，共线的充要条件是( ) ab ,,,,A. ，方向相同 B. ，两向量中至少有一个为零向量 abab ,,,,, ，,,RC. ， D. 存在不全为零的实数，， ba,,,,,,ab，,01212 ,, 解析:若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得,,,,ab,12 ,,,,,,,,,, ,,0;若，则由两向量共线知，存在，使得，即，a,0ba,,,,,ab0,，,,ab012 符合题意，故选, 答案:D ,,01((2008?海南、宁夏理)已知向量，，且，,，,ab29a,,(011)，，b,(410)，，,,则 ( 22,,,3解析:由题意 ,，,,,ab=(4,1,),，,，,,16(1)29(0),,,答案:3 ,,,,,,0ab,,1,35ab,,1202、(2008?江苏2)的夹角为，，则 ? 。 ab, 解析:本小题考查向量的线形运算。 ,,,,,2,,,,13,2225(5)2510abababab,,,,，,,ab,,，，,,,13()因为 ，所以=49。 22 ,,5ab,,因此7。 答案:7 【2007年高考试题】 ,,,,,,,,,,ab,ab,aaab,，,2、(2007?广东理10)若向量满足||||1ab,,，的夹角为60?，则=______; 第26页 共99页 ,ABCCD3、(2007?山东理11)在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是 AB ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22(A) (B) ACACAB,,BCBABC,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22()()ACABBABC,，,(C) (D) CD,ABACCD,,,,,,2AB 134、(2007?海、宁理2)已知平面向量，则向量( ) ab,,ab,,,(11)(11)，，，22 ,( ,( (21),,，(21),， ,( ,( (12),，(10),， 答案::D 13解析:ab,, (12).,，22 【2006高考试题】 一、选择题(共28题) 1((安徽卷)如果,ABC的三个内角的余弦值分别等于,ABC的三个内角的正弦值，111222则 ,ABC,ABCA(和都是锐角三角形 111222 ,ABC,ABCB(和都是钝角三角形 111222 ,ABC,ABCC(是钝角三角形，是锐角三角形 111222 ,ABC,ABCD(是锐角三角形，是钝角三角形 111222 第27页 共99页 ,,,,,,,,,, 2((北京卷)若与都是非零向量，则“”是“”的 abc,abac,,,abc,,() (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 3((福建卷)已知,,=1，,,=,=0,点C在?AOB内，且?AOC=30?，3OAOBOA,OB m设=m+n(m、n?R)，则等于 OAOCOBn 133A. B.3 C. D. 33 ,,,,,,oaab,，,3,13,bab1204((福建卷)已知向量与的夹角为，则等于 (A)5 (B)4 (C)3 (D)1 ,,,,,oaab,，,3,13,ab120解析:向量与的夹角为， ,,,,,,,,,,,,,32222ababb,,,,:,,||||cos120||，，? ，||||2||abaabb，,，,，1393||||,,，bb2 A D 第28页 共99页 CB 图 1 ,, 则=,1(舍去)或=4，选B. bb ,,,,,ABC5((广东卷)如图1所示，是的边上的中点，则向量 CD,ABD ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1111A. B. C. D. BCBA,BCBA，,，BCBA,,BCBA2222 1解析:，故选A. CD,CB，BD,,BC，BA2 ,,,,, 6((湖北卷)已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则 ab ,3bb,xa,(3,1) 3113133A(() B(() C(() D(() ,,01,,222244 a,7((湖北卷)已知非零向量ab，若a2b与a2b互相垂直，则 、，,b 11A. B. 4 C. D. 2 42 22解:由a，2b与a,2b互相垂直,(a，2b),(a,2b),0,a,4b,0 22即|a|,4|b|,|a|,2|b|，故选D ,,,,,,,2ab8((湖南卷)已知,且关于的方程有实根,则与的x||2||0ab,,xaxab，，,,||0 夹角的取值范围是 ( ) ,,,,2,[,][,][,]A.[0,] B. C. D. ,,36633 ,,,,,,aba,bt,tt,t9((湖南卷)已知向量若时，?;时，，则 a,(2,t),b,(1,2),12 第29页 共99页 A( B. C. D. t,,4,t,,1t,,4,t,1t,4,t,,1t,4,t,11212121210((湖南卷)如图1:OM?AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且，则实数对(x,y)可以是 OP,xOA，yOB 1322A((,) B. (,,)4433 1317B C. (,,) D. (,,)4455 解析:如图，OM?AB，点P由射线OM、线段OB及ABM A O 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且， OP,xOA，yOB图1 ,,,,,,,,11由图知，x<0，当x=,OA时，即OC=,，P点在线44 ,,,,,,,,,,,,,,,,15135CDOBCEOB段DE上，=，=，而<<，? 选C. 44444 ABC11((辽宁卷)的三内角所对边的长分别为设向量ABC,,abc,,,,,,,, C,,若,则角的大小为 qbaca,,,(,)pacb,，(,)pq// ,,,2,(A) (B) (C) (D) 3632 ,,,,,,,, PABAPAB,,12((辽宁卷)设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点是线段上的一个动点,,若,,,,,,,,,,,,,,,, ,OPABPAPB,,,,则实数的取值范围是 第30页 共99页 1212(A) (B) (C) (D) 1,,,,,,,,,，,111222222 ,,,，,1122 【点评】本题考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等. ?ABCA13((辽宁卷)已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是( ) 315153,( ,( ,( ,( 287 15A2，2tan15A15152tanA,,,解:依题意，结合图形可得，故，tan,A722151521tan,1(),215选D ,ABC14((全国卷I)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数 ca,2cosB,列，且，则 1322A( B( C( D( 4443 第31页 共99页 15((全国卷I)设平面向量、、的和。如果向量、、，满aaaaaa，，,0bbb123112323 o足，且顺时针旋转后与同向，其中，则 ba,230abi,1,2,3iiii A( B( C( D( ,，，,bbb0bbb,，,0bbb，,,0bbb，，,((全国卷I)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:)的5根细木棒围成一个三角形cm (允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为 222285cm610cm355cm20cmA( B( C( D( 解:用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大， 2610cm面积为，选B. ab、ab ,2bab,,1,4,17((全国卷I)已知向量满足，且，则与的夹角为 a ,,,,A( B( C( D( 6432 ,,,, ababxx18((全国II)已知向量,(4，2)，向量,(，3)，且//,则, (A)9 (B)6 (C)5 (D)3 第32页 共99页 ,, ab解://,4×3,2x,0，解得x,6，选B ,19((山东卷)在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则33c= 1 (B)2 (C)—1 (D) 3320((山东卷)设向量a=(1, ,2),b=(,2,4),c=(,1,,2)，若表示向量4a,4b,2c,2(a,c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 (A)(2,6) (B)(,2,6) (C)(2,,6) (D)(,2,,6) 解:设d,(x，y)，因为4a,(4，,12)，4b,2c,(,6，20)，2(a,c),(4，,2)，依题意，有4a，(4b,2c)，2(a,c)，d,0，解得x,,2，y,,6，选D 21((山东卷)设向量a=(1,,3),b=(,2,4),若表示向量4a、3b,2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为 (A)(1，,1) (B)(,1， 1) (C) (,4，6) (D) (4，,6) 解:4a,(4，,12)，3b,2a,(,8，18)，设向量c,(x，y)，依题意，得4a，(3b 0，所以4,8，x,0，,12，18，y,0，解得x,4，y,,6，选D ,2a)，c, ????ABACABAC1???22((陕西卷) 已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则????2|AB||AC||AB||AC|?ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 23((上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 ( ) 第33页 共99页 ,,,,,,,,,,,,,,, DCAC(A),; (B)AD，,; D C ABAB ,,,,,,,,,,,,,,,,A B CB0(C),AD,; (D)AD，,( ABBD ,,,,,,,,,,,,解:由向量定义易得， (C)选项错误;; ABADDB,, 24((四川卷)如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大PPPPPP123456 的是 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(A) (B) PPPP,PPPP,12131214 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, (C) (D) PPPP,PPPP,12151216 2,ABCabbc,，25((四川卷)设分别是的三个内角所对的边，则是abc,,ABC,,，， AB,2的 (A)充要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而充分条件 (D)既不充分又不必要条件 第34页 共99页 ,,,,,,,,,,,,,,,,,226((浙江卷)设向量满足,,则 abc，，,0||c,abc,,abab,,,,||1,||2 (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 27 7117,,,,((重庆卷)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是 ,,b,,,,,,2222,,,, 434343,,,,,,(A) (B) 或 ,,,,,,,,,,,,555555,,,,,, ,,,221221221,,,,,,(C) (D)或 ,,,,,,,,,,,,333333,,,,,, ,,7117,,,,解析:与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则ab,,,,,,,,,,2222,,,, 44,,22x,x,,,xy，,1,,,,,55，解得或，选B. ,,,711733xyxy，,,,,,y,,y,,2222,,55,, ,,,,,,,, kABAC,28((重庆卷)已知三点ABCk(2,3),(1,1),(6,),,，其中为常数。若，则,,,,,,,, ACAB与的夹角为 第35页 共99页 24,2424,(A) (B)或 (C) (D)或arccosarccosarccos(),22252525 24 ,,arccos25 二、填空题(共15题) ,,,,,,,,,,,,,,,, ABCD29((安徽卷)在中，，M为BC的中点，则ABaADbANNC,,,,,3 ,,,,, ab、_______。(用表示) MN, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1解:，，所以AMab,，由得ANNCANCab,,，343A=3()2,,,,,,,,,,,3111MNababab,，,，,,，()()。 4244 1130.(北京卷)若三点，共线，则的值等于ABaCbab(2,2),(,0),(0,)(0),ab__________. ,ABCsin:sin:sin5:7:8ABC,，B31((北京卷)在中，若，则的大小是___________. sin:sin:sin5:7:8ABC,解: ,a:b:c,5:7:8设a,5k，b,7k，c,8k，由余弦定理 ,，B可解得的大小为. 3 。 32.(北京卷)若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于 ,,,,,,,,,,,,,,,, ACAC解:AB,(a,2，,2)，,(,2，2)，依题意，向量 AB与共线，故有2(a,2),4,0，得a,4 33.(北京卷)在?ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若，，， sinA?sinB?sinC=5?7?8,则a?b?c= , B的大小是 . ， 第36页 共99页 34(北京卷)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角,,,,,, 的大小是 . 333,35.(湖北卷)在ABC中，已知，b,4，A,30?，则sinB, . a,24 3解:由正弦定理易得结论sinB,。 2 36.(湖南卷)如图2,OM?AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴 ,,,,,,,,,,,,1影区域内(不含边界)运动,且x,,,则的取值范围是 ;当xOPxOAyOB,，2y时,的取值范围是 . P B OM//ABOMP解析:如图, , 点在由射线, 线段 M OBAB及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且，由向量加法的平行四边形 OP,xOA，yOB O A 图2 法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以 OB和OA的反向延长线为两邻边，? x的取值范围 是(,?，0); 113x,, 当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB，222 13y? 的取值范围是(，). 22 第37页 共99页 37.(江苏卷)在?ABC中，已知BC,12，A,60?，B,45?，则AC, ,,,, 38.(江西卷)已知向量，，则的最大值为 ( ab,a,(1sin)，,b,(1cos)，, ,,,解:ab,,|sin,,cos,|,|sin(,,)|,。 224 39.(全国II)已知?ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB,1，BC,4，则边BC上的中线AD的长为 ( ,ABC解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得, ,，,B 3 AD,3AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得 。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 ,,,,, ,ab40.(天津卷)设向量与的夹角为，，，则a,(33)，2(11)ba,,,，cos,, ( ,,,,,, ab解析:设向量与的夹角为且? ，则,,aba,,,,(3,3),2(1,1),b,(1,2) ,, 310ab,9cos,,,,。 ,,10||||ab,325, 22c,a?b,若,a,=1,则,a,41.(浙江卷)设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)?+,c,，|b|2的值是 【考点】本题考查向量的代数运算，基础题。 第38页 共99页 ,,，，a,bc,a,c,b,c,0a,c,b,c,,,,，，a,b,c,a,b,a,b,0,a,b,0解析: ,, ,,，，，，a,ba，b,0a,b,1,,,, 22222，，,c,,a,b,2，所以 a，b，c,4 【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。 ABC42.(上海春)在?中，已知，三角形面积为12，则BC,8,AC,5cos2C, . ,,,,,,,a,3,b,42a，b,43.(上海春)若向量a、b的夹角为150，，则 . 三、解答题(共11题) ,,,, 44.(湖北卷)设函数，其中向量，axx,,(sin,cos)fxabc()(),， ,, xR,，，。 cxx,,(cos,sin)bxx,,(sin,3cos) (?)、求函数的最大值和最小正周期; fx() ,, d?)、将函数(的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心fx() ,, d对称，求长度最小的。 点评:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像 的基本知识，考查推理和运算能力。 第39页 共99页 45.(湖北卷)设向量a,(sinx，cosx)，b,(cosx，cosx)，x?R，函数f(x),a?(a，b). (?)求函数f(x)的最大值与最小正周期; 3(?)求使不等式f(x)?成立的x的取值集。 2 222fxaabaaabxxxxx,，,，,，，， sincossincoscos，，，， )?解:(? ,1132,，，，，，1sin2cos21sin(2)xxx(),22224 2,32,fx ?的最大值为，最小正周期是。 ,，，，222 (?)由(?)知 3323,,,,，，,,，,fxxxsin(2)sin(2)0，，222424 3,,,,,，,，,,,,，,222,kxkkxkkZ,,,,,488 33,,,,fx,即成立的x的取值集合是. xkxkkZ|,,,,，,，，,,,,288,, 第40页 共99页 46 (湖南卷)如图3,D是直角?ABC斜边BC上一点,AB=AD,记?CAD=,?ABC=. ,, A 证明 ; sincos20,,，, α 若AC=DC,求的值. 3,β ,,,B D C 解:(1)(如图3，， ？,,,,,？,,,,(2)2,sinsin(2)cos2,,,,,,,图3 222 即( sincos20,,，, 22ABC，，abc，，?ABC47((江西卷)在锐角中，角所对的边分别为，已知， sinA,3 BCA，22tansin，(1)求的值; 22 a,2b(2)若，，求的值( S,2?ABC 122解:(1)因为锐角?ABC中，A，B，C,,，sinA,，所以cosA,，则 33 BC，2sinBCAA，2222tansinsin，,，BC，2222cos 2 1cosBC11cosA17,(，)，,，(,),，,1cosA1cosBC21cosA33，(，), 第41页 共99页 1122(2)，则bc,3。将a,2，cosA因为,，又,,S2SbcsinAbc, ABCABC223 1322242,，c,代入余弦定理:中得解得b, 3abc2bccosA,，,b6b90,，,3b 48.(江西卷)如图，已知?ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上 ,,2的点，线段MN经过?ABC的中心G，设，MGA,,(,,) ,33 试将?AGM、?AGN的面积(分别记为S与S)表示为,的函数 12 11(2)求y,的最大值与最小值 ，22SS12 ,,2,2,,,因为，所以当,,或,,时，y取得最大值y,240 ,max3333 ,,,当时，y取得最小值y,216 min2 BC，,ABCABC、、cos2cosA，49.(全国卷I)的三个内角为，求当A为何值时，2 取得最大值，并求出这个最大值。 B+CπAB+CA.解: 由A+B+C=π, 得 = , , 所以有cos =sin . 22222 B+CAAA2cosA+2cos =cosA+2sin =1,2sin + 2sin 2222 第42页 共99页 A132=,2(sin , )+ 222 A1πB+C3当sin = , 即A= 时, cosA+2cos取得最大值为 22322 ππ50.(全国II)已知向量a,(sinθ，1)，b,(1，cosθ)，,,θ,( 22(?)若a?b，求θ; (?)求,a，b,的最大值( 本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3.三角函数 的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大 2551.(全国II)在,求 ,，,:,,ABCBACC中，45,10,cos5 BC,?(1) DAB是的中点，求中线CD的长度。(2)若点 解:(1)由 2552310,,cossinCC,,得sinsin(18045)(cossin)ACCC,,,,，,55210, AC10310BCA,,,,,sin32sin10B2 2由正弦定理知 第43页 共99页 AC105ABC,,,,,sin2sin5B12BDAB,,122(2) 22CDBDBCBDBCB,，,,2cos 2,，,,,,,1182132132由余弦定理知 ,ABC52. (四川卷)已知是三角形三内角，向量ABC,, ,,,,,, mnAA,,,1,3,cos,sin，且 mn,,1，，，， (?)求角A; 1sin2，B(?)若，求tanC. ,,322cossinBB, 12sincos，BB22sinsincos2cos0BBBB,,,,,3(?)由题知，整理得 22cossinBB, 2cos0B,tan2B,tan1B,,tantan20BB,,,? ??或 22tan1B,,tan2B,cossin0BB,,而使，舍去 ? tantanAB，23，,,，tanABtantanCAB,,，,，，,,?,,，，，，，，1tantan,AB123, 853，, 53(四川卷)已知A、B、C是三内角，向量nAA,(cos,sin),,ABCm,,(1,3),11 mn,,1.且 第44页 共99页 (?)求角A 1，sin2B(?)若求tanB. ,,3,22cosB,sinB 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以 及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。 12sincos，BB(?)由题知，整理得 ,,322cossinBB, 222cos0B,sinsincos2cos0BBBB,,,tantan20BB,,,? ? 22tan2B,tan1B,,tan1B,,cossin0BB,,?或,而使，舍去 tan2B,? 3,ABCAC,2BC,1cosC,54.(天津卷)如图，在中，，，( 4 AB(1)求的值; (2)求的值. ，，sin2A，C 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分. 222ABACBCACBCC,，,2..cos(?)解: 由余弦定理， 3AB,2.,，,，，，,412212. 那么， 4 第45页 共99页 55(上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船 ,C遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里处 ,B的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到),1 [解] 连接BC,由余弦定理得 222BC=20+10,2×20×10COS120?=700. 7 于是,BC=10. 3sinACBsin120:, ?, ?sin?ACB=, 720107 ??ACB<90? ??ACB=41? ?乙船应朝北偏东71?方向沿直线前往B处救援. 【2005高考试题】 ,ABC1.(全国卷?)的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， 第46页 共99页 ，则实数m = 1 OH,m(OA，OB，OC) 2((全国卷?)已知点A(，1)，B(0，0)C(，0).设?BAC的平分线AE33 与BC相交于E，那么有等于 ( C ) BC,,CE,其中, 11 A(2 B( C(,3 D(, 23 3((全国卷?)点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，,3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为(,10，10)，则5秒后点P的坐标为 ( C ) A((,2，4) B((,30，25) C((10，,5) D((5，,10) ,,,,,,,,,,,, 4. (全国卷III)已知向量，且A、B、C三点OAkOBOCk,,,,(,12),(4,5),(,10) 2,共线，则k= 3 ,,,,,,,,, ca,5.(北京卷)若，且，则向量a与b的夹角为(C ) ||1,||2,abcab,,,， (A)30? (B)60? (C)120? (D)150? 6.(上海卷)直角坐标平面xoy中，若定点与动点满足，OP,OA,4A(1,2)P(x,y)则点P的轨迹方程是x+2y-4=0 __________。 7.(天津卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在?AOB的平 ,,10310分线上且|OC |=2,则OC= ,,,,,,55,, 8.(福建卷)在?ABC中，?C=90?，则k的值是 AB,(k,1),AC,(2,3), ( D ) 33 A(5 B(,5 C( D( ,22 9.(广东卷)已知向量a,(2,3)，bx,(,6)，且ab ，则x为____4_________( 10.(湖北卷)已知向量不超过5，则k的取值范围是 a,(,2,2),b,(5,k).若|a，b| [,6，2] 第47页 共99页 ,ABC11.(江苏卷)在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则OA,(OB，OC)的最小值是_-2_________。 12.(江西卷)已知向量 5 ( C ) a,(1,2),b(,2,,4),|c|,5,若(a，b),c,,则a与c的夹角为2 A(30? B(60? C(120? D(150? 15. (全国I)点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，OA,OB,OB,OC,OC,OA ,ABC则点O是的(B ) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 PA,PB,PB,PC,PC,PA16.(湖南)P是?ABC所在平面上一点，若，则P是?ABC的(D ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 【2004高考试题】 一)选择题 1((2004.全国理)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60?，那么|a+3b|= (C ) 第48页 共99页 A( B( C( D(4 71013 3((2004. 福建理)已知a、b是非零向量且满足(a,2b) ?a，(b,2a) ?b，则a与b的夹角是 ( B ) ,,,,25 B( C( D( A(6336 ,,,,,,,,604((2004. 重庆理)若向量的夹角为，,则向a与b||4,(2).(3)72babab,，,,,, 量a的模为 ( C ) A(2 B(4 C(6 D(12 43,5、(2004. 四川理)已知平面上直线l的方向向量e=(-)，点O(0,0)和点A(1,-2)在l55 O'A',上的射影分别为和，则λe，其中λ=( D ) O'A' 1111A B - C 2 D -2 55 ,ABC6((04. 上海春季高考)在中，有命题 ,ABCAB,AC,BCAB，BC，CA,0?;?;?若，则(AB，AC),(AB,AC),0为等 ,ABCAC,AB,0腰三角形;?若，则为锐角三角形. 上述命题正确的是 ( C ) 第49页 共99页 (A)?? (B)?? (C)?? (D)??? AB1310、(2004.上海理)已知点A(1, ,2),若向量与={2,3}同向, =2,则点B的坐aAB 标为 (5,4) .. 三)解答题 11((2004.湖北理)(本小题满分12分) 如图，在Rt?ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 PQ与BC ,的夹角取何值时的值最大,并求出这个最大值. BP,CQ 11(本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分. 第50页 共99页 解法二:以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面 直角坐标系. 设|AB|,c|AC|,b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b), 且|PQ|,2a,|BC|,a. 设点P的坐标为(x,y),则Q(,x,,y). ？BP,(x,c,y),CQ,(,x,,y,b), BC,(,c,b),PQ,(,2x,,2y). ？BP,CQ,(x,c)(,x)，y(,y,b) 22,,(x，y)，cx,by. PQ,BCcx,by,cos,,.？2 a|PQ|,|BC| 2,？cx,by,acos. 22,？BP,CQ,,a，acos. 故当cos,,1,即,,0(PQ与BC方向相同)时,BC,CQ最大,其最大值为0. xOy12. (04. 上海春季高考)(本题满分12分) 在直角坐标系中，已知点 P(2cosx，1,2cos2x，2)和点 OPQ(cosx,,1)x,[0,,]x，其中. 若向量与垂直，求的值. OQ 第51页 共99页 2cosx(2cosx，1),(2cos2x，2),012. 由OP,OQ，得，利用，化简后得 cos2x,2cosx,1 21,,，于是或，，. 2cosx,cosx,0cosx,？x,或？x,[0,,]cosx,0223【2003高考试题】 一、选择题 3.(2001江西、山西、天津文)若向量a=(3，2)，b=(0，,1)，则向量2b,a的坐标是 ( ) A.(3，,4) B.(,3，4) C.(3，4) D.(,3，,4) 24.(2001江西、山西、天津)设坐标原点为O，抛物线y=2x与过焦点的直线交于A、 OA,OBB两点，则等于( ) 33A. B., C.3 D.,3 44 5.(2001上海)如图5—1，在平行六面体ABCD—ABCD中，M为AC与BD的交点，1111 ADAABM若=a，=b，=c.则下列向量中与相等的向量是( ) AB11111 第52页 共99页 1111A.,a+b+c B. a+b+c 2222 111C. a,b+c D.,a, 222 图5—1 1b+c 2 7.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ?(a?b)c,(c?a)b=0 ?|a|,|b|<|a,b| ?(b?c)a,(c?a)b不与c垂直 22?(3a+2b)(3a,2b)=9|a|,4|b|中，是真命题的有( ) A.?? B.?? C.?? D.?? 8.(1997全国，5)如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为( ) 11A., B.,3 C. D.3 33 二、填空题 9.(2002上海文，理2)已知向量a和b的夹角为120?，且|a|=2，|b|=5，则(2a,b)?a=_____. 10.(2001上海春，8)若非零向量α、β满足|α+β|=|α,β|，则α与β所成角的大小为_____. OAOA11.(2000上海，1)已知向量=(,1，2)，=(3，m)，若?，则m= . OBAB ,12.(1999上海理，8)若将向量a=(2，1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，4 第53页 共99页 则向量b的坐标为_____. 13.(1997上海，14)设a=(m+1)i,3j，b=i+(m,1)j，(a+b)?(a,b)，则m=_____. 14.(1996上海，15)已知a+b=2i,8j，a,b=,8i+16j，那么a?b=_____. OP115.(1996上海，15)已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且，,PA2又P是线段OB的中点，则点B的坐标是_____. 三、解答题 18.(2002上海，17)如图5—4，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，?AOB=90?，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP?BD，求OP与底面AOB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 第54页 共99页 图5—3 图5—4 图5—5 21.(2001江西、山西、天津理)如图5—6，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox?BC，Oy?AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h. (1)求cos< >; BE,DE (2)记面BCV为α，面DCV为β，若?BED是二面角α—VC—β的平面角，求?BED. 图5—6 图5—7 图5—8 22.(2001上海春)在长方体ABCD—ABCD中，点E、F分别在BB、DD上，且111111AE?AB，AF?AD. 11 (1)求证:AC?平面AEF; 1 (2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角).则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成 第55页 共99页 的角相等. 试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA=5时，求平面AEF与平面DBBD所成角的大111小.(用反三角函数值表示) (a×b)?c=xyz+xyz+xyz,xyz,xyz,xyz，试计算(×)?的绝对值ABADAP 的值;说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)?ABADAP的绝对值的几何意义. 25.(2000上海，18)如图5—9所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直， 10且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos，求四面体10ABCD的体积. 第56页 共99页 图5—9 图5—10 图5—11 26.(2000天津、江西、山西)如图5—10所示，直三棱柱ABC—ABC中，CA=CB=1，111?BCA=90?，棱AA=2，M、N分别是AB、AA的中点. 1111 (1)求的长; BN (2)求cos< >的值; BA,CB11 (3)求证:AB?CM. 11 28.(1999上海，20)如图5—12，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，?BAD=90?，AD?BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA?底面ABCD，PD与底面成30?角. (1)若AE?PD，E为垂足，求证:BE?PD; (2)求异面直线AE与CD所成角的大小. 图5—12 29.(1995上海，21)如图5—13在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点， 31,点A的坐标是(，0)，点D在平面yOz上，且?BDC=90?，22 ?DCB=30?. 图5—13 第57页 共99页 (1)求向量的坐标; OD (2)设向量和的夹角为θ，求cosθ的值. BCAD ?答案解析 3.答案:D 解析:设(x，y)=2b,a=2(0，,1),(3，2)=(,3，,4). 评述:考查向量的坐标表示法. 4.答案:B 第58页 共99页 5.答案:A 1111BM,BB，BM,AA，(BA，BC)解析:=c+(,a+b)=,a+b+c 1112222 评述:用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 6.答案:B 解析:设c=ma+nb，则(,1，2)=m(1，1)+n(1，,1)=(m+n，m,n). 1,m,,m，n,,1,,2? ? ,,m,n,23,,n,,,,2 评述:本题考查平面向量的表示及运算. 7.答案:D 解析:?平面向量的数量积不满足结合律.故?假; ?由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a,b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故?真; ?因为,(b?c)a,(c?a)b,?c=(b?c)a?c,(c?a)b?c=0，所以垂直.故?假; 22?(3a+2b)(3a,2b)=9?a?a,4b?b=9|a|,4|b|成立.故?真. 评述:本题考查平面向量的数量积及运算律. 第59页 共99页 8.答案:A 解析:设直线l的方程为y=kx+b(此题k必存在)，则直线向左平移3个单位，向上平 移1个单位后，直线方程应为y=k(x+3)+b+1即y=kx+3k+b+1 1因为此直线与原直线重合，所以两方程相同.比较常数项得3k+b+1=b.?k=,. 3评述:本题考查平移变换与函数解析式的相互关系. 9.答案:13 122解析:?(2a,b)?a=2a,b?a=2|a|,|a|?|b|?cos120?=2?4,2?5(,)=13. 2评述:本题考查向量的运算关系. 11.答案:4 解析:?OA={,1，2}，={3，m}，={4，m,2}，又?， OBAB,OB,OAOAAB,1×4+2(m,2)=0，?m=4. ? 评述:本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件. 23,212.答案:() 22 ,解析:设a==2+i，b=，由已知、的夹角为，由复数乘法的几何意OAOBOAOB4 第60页 共99页 ,,2223义，得=(cos+isin)=(2+i). (，i),，2iOBOA442222 23?b=() ,2 22 评述:本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法， 以及运用数学知识解决问题的能力. 14.答案:,63 解析:解方程组 a=,3i+4j=(,3，4) b=5i,12j=(5，,12) 得 ?a?b=(,3)×5+4×(,12)=,63. 评述:本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法. 15.答案:(4，2) 110，,60，,322x,,2,y,,1解析:设P(x，y)，由定比分点公式， 111，1，22则P(2，1)，又由中点坐标公式，可得B(4，2). 第61页 共99页 ?CO?AB，平面ABC?平面ABBA，?CO?平面ABBA，即?CAO为直线CA与平面111111 AABB所成的角. 11 322在Rt?CAO中，CO=m，CA=， m，n112 2CO,?sinCAO=，即?CAO=45?. 112CA1 17.解:(1)取OB的中点D，连结OD， 1 则OD?OB. 1 ?平面OBBO?平面OAB， 11 ?OD?平面OAB. 1图5—15 过D作AB的垂线，垂足为E，连结OE. 1则OE?AB. 1 ??DEO为二面角O—AB—O的平面角. 11 3由题设得OD=， 1 21OA,sinOBA=， 227OA，OB 第62页 共99页 21?DE=DBsinOBA= 7 ?在Rt?ODE中，tanDEO=， 711 ??DEO=arctan，即二面角O—AB—O的大小为arctan. 7711 18.解法一:如图5—16，以O点为原点建立空间直角坐标系. 3由题意，有B(3，0，0)，D(，2，4)，设P(3，0，z)，则 2 3={,，2，4}，={3，0，z}. BDOP2 图5—16 99?BD?OP，??=,+4z=0，z=. BDOP82 ?BB′?平面AOB，??POB是OP与底面AOB所成的角. 33tanPOB=，??POB=arctan. 88 第63页 共99页 (以下同解法一) 19.解:(1)如图5—18，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA所在1 直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABBA垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系. 11 由已知，得 3aA(0，0，0)，B(0，a，0)，A,a,,2a(0，0， a)，C(). 21122 a,2(2)坐标系如图，取AB的中点M，于是有M(0， a)，11图5—18 2连AM，MC有 1 3AA=(,a，0，0)，且=(0，a，0)，=(0，0，2 a) MCAB112 AA由于?=0，?=0，所以MC?面ABBA. MCABMC111111 ?AC与AM所成的角就是AC与侧面ABBA所成的角. 1111 a3aAC,2,a,,2a?=()，=(0，a)， AM1222 第64页 共99页 20.解:(1)记P(x，y)，由M(,1，0)，N(1，0)得=,=(,1,x，,y)， PMMP =,=(1,x，,y)，=,=(2，0) PNNPMNNM 22??=2(1+x)，?=x+y,1，?=2(1,x). MNPMPNNMNPMP 于是，?，?，?是公差小于零的等差数列等价于 MNPMPNNMNPMP 1,22x，y,1,[2(1，x)，2(1,x)],, 2, ,xx2(1,),2(1，),0,, 22,x，y,3,即 ,x,0, 3所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆. (2)点P的坐标为(x，y). 00 22?=x+y,1=2. PMPN00 2222(1，x)，y,(1,x)，y|PM|?|PN|=. 0000 第65页 共99页 2x,3PM,PN10?cosθ= ,,.tan,22|PM|,|PB|4,x4,x00 (2)若?BED是二面角α—VC—β的平面角，则，则有,0. BE,CVBE,CV 3aahBE,(,,,,)又由C(,a，a，0)，V(0，0，h)，有CV,(a，,a，h)且， 222 2223aahBE,CV,,，，,0?. 222 2即h,a，这时有 222266(2)1,a，h,a，a,,,cos<>,， BE,DE2222103a，h10(2)a，a 11,??BED,<>,arccos(),π,arccos BE,DE33 第66页 共99页 评述:本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹 角的计算方法;考查运用向量研究空间图形的数学思想方法. 9如图5—19建立直角坐标系，则得点A(0，0，0)，G(，3，0)，A(0，0，5)， 14C(4，3，0). 9AG={，3，0}，AC={4，3，,5}. 14 因为AG与AC所成的角为α， 1 AGAC,1221221,arccos,,,所以cosα=. |AG||AC|2525,1 122由定理知，平面AEF与平面DBBD所成角的大小为arccos. 1125注:没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角. 解法一:设AG与BD交于M，则AM?面BBDD，再作AN?EF交EF于N，连接11 第67页 共99页 MN，则?ANM即为面AEF与DBBD所成的角α，用平面几何的知识可求出AM、AN的长11 度. S,ABD解法二:用面积射影定理cosα=. S,AEF 评述:立体几何考查的重点有三个:一是空间线面位置关系的判定;二是角与距离的计算;三是多面体与旋转体中的计算. a因此，三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE=BF=，过B作BD?EF于D，连 2 B′D，可知B′D?EF.??B′DB是二面角B′—EF—B的平面角在直角三角形BEF中，直 a2角边BE=BF=，BD是斜边上的高.?BD=a. 24 第68页 共99页 ,BB?tanB′DB=,22 BD 故二面角B′—EF—B的大小为arctan2. 2 评述:本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件.二次函数求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了立体几何的难度.本题考查的线线垂 ,,直等价于?=0，使问题很容易得到解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二AFCE 次函数求最值的方法处理.二面角的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思维量. (3)解:|(×)?|=|,4,32,4,8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍. ABADAP 猜测:|(×)?|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积ABADAP (或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积). 评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 第69页 共99页 25.解:如图5—21建立空间直角坐标系 由题意，有A(0，2，0)、C(2，0，0)、E(1，1，0) 设D点的坐标为(0，0，z)(z>0) 则={1，1，0}，={0，,2，z}， BEAD 图5—21 设与所成角为θ. BEAD 2则?=?cosθ=,2，且AD与BE所成的角的大小为2BE4，2AD 21102,arccos.?cosθ=，?z=4，故|BD|的长度为4. 2410，z10 188又V=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面体ABCD的体积为. A—BCD633评述:本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便. 11,(3)证明:依题意，得C(0，0，2)、M(，2)，={,1，1，2}， AB1122 第70页 共99页 11CM={，0}. ,122 11??CM=,+0=0，??CM，?AB?CM. ，ABAB11111122 评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条 件. 2CD(3)解:设=x，CD=2， 则CC=. 1xCC1 ?BD?平面AACC，?BD?AC 111 第71页 共99页 ?只须求满足:=0即可. AC,CD11 设=a，=b，=c， ADDCAA1 ?=a+b+c，=a,c， ACCD11 422422，,?=(a+b+c)(a,c)=a+a?b,b?c,c=,6，令6,=0，AC,CD1122xxxx 2得x=1或x=,(舍去). 3 评述:本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的 求解以及待定值的探求等问题. 13AE,{0,a,a},CD于是，={,a，a，0} 22 AE,CD设与的夹角为θ，则由cosθ= AECD |AE|,|CD| 130()0,,a，a,a，a,222, 4132222220()()()0，a，a,,a，a，22 第72页 共99页 22，即AE与CD所成角的大小为arccos. ?θ=arccos 44 评述:第(2)小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段. 29.解:(1)过D作DE?BC，垂足为E，在Rt?BDC中,由?BDC=90?,?DCB=30?， 3BC=2，得BD=1，CD=，?DE=CD?sin30?=. 3 2 11,OE=OB,BE=OB,BD?cos60?=1,. 22 1313?D点坐标为(0，,)，即向量OD[TX?]的坐标为{0，,}. ,, 2222 w w w第73页 共99页 . g 模拟 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,BABC ,,,,1、(2012滨州二模)在?ABC中，若AB,1，AC,，，则3||||ABACBC，, ||BC ,,,, xy，,,50, ,yx,2、(2012德州一模)已知在平面直角坐标系上的区域D由不等式组 确xOy, ,x,1, ,,,,,,,,, zOAOM, 定，若为区域D上的动点，点A的坐标为(2，3)，则的最大值为( ) M(x,y) 25 A.5 B(10 C( 14 D( 2 第74页 共99页 3、(2012济南3月模拟)在?ABC中，E、F分别为AB，AC中点.P为EF上任一点,实数x， ,,,,,,,,,,,,y满足+x+y=0.设?ABC，?PBC，?PCA，?PAB的面积分别为S，，，，PCSSSPAPB123 SSS312记,,,则取最大值时，2x+y的值为 ,, ,,,,,,23123SSS 33A. -1 B. 1 C. - D. 22 ,bab，ab,4、(2012济南三模)已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下a2 列结论中一定成立的是 ab,ab,bA( B( C( D(a ||||ab, 答案:B ,ab，ab,解析:因为向量与向量的夹角为，所以，即(a，b),(a,b)2 第75页 共99页 22 a,b，所以，即，选B. a,b,0(a，b),(a,b),0 ,,,,,,,,,,uv//5、(2012莱芜3月模拟)已知向量，，设，若，a,(1,2)b,(0,1)uakbvab,，,,,2 k则实数的值是 7148 (B) (C) (D) (A),,,,2233【答案】B ,,uv//【解析】，，因为，所以v,2(1,2),(0,1),(2,3)u,(1,2)，k(0,1),(1,2，k) 1，解得k,,，选B. 2(2，k),1，3,02 6、(2012莱芜3月模拟)定义域为[a,b]的函数图像的两个端点为A、B，M(x,y)yfx,() 是图象上任意一点，其中,已知向量fx()xabab,，,,,,(1)[,],,,,,,,,,,,,,,,,, ，若不等式恒成立，则称函数上“k阶fxab()[,]在ONOAOB,，,,,(1)||MNk, 1线性近似”。若函数yx,,在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为 x 331[,)，, A( B( C( D( [2,)，，,[2,),，,[0,)，,1222 ,,,,,,,, ,ABCDABADDB,27、(2012临沂二模)在中，已知是边上的一点，若， ,,,,,,,,,,,,1,,,，,CDCACB，则 3 1213(A) (B) (C) (D) 3324 第76页 共99页 【答案】B 2【解析】因为,所以,又AD,ABAD,2DB3 22122,所以。 ,CD,CA，AD,CA，AB,CA，(CB,CA),CA，CB,33333 ,,,,,,,,228、(2012青岛二模).已知直线与圆交于、两点，且，yxa,，ABOAOB,,0xy，,4 O其中为坐标原点，则正实数的值为 . a 【答案】 2 ,,,,,,,, OA,OBAOB【解析】因为，所以,即三角形为直角三角形，所以OAOB,,0 a,所以圆心到直线yxa,，的距离为，又，所以AB,2R,222,2 2a,2,a,2。 、(2012青岛二模).已知向量，设函数,9m,(sinx,3sinx),n,(sinx,,cosx)f(x),m,n若函数的图象与的图象关于坐标原点对称. g(x)f(x) ,,，，(?)求函数在区间上的最大值,并求出此时的值; xg(x),,,,46，， 3,ABCf(A),g(A),A(?)在中，分别是角的对边，为锐角,若，a,b,cA,B,C2b，c,7,ABC23，的面积为，求边的长( a 第77页 共99页 33,,1,sin(2，)，sin(2,),f(A),g(A),AA(?)由得: 2662 1cos2A,,化简得: 2 ,,0,,AA,又因为，解得: …………………………………………9分 32 1bc,8S,bcsinA,23由题意知:，解得， ,ABC2 2222b，c,7又,所以 abcbcAbcbcA,，,,，,，2cos()2(1cos)1,,，，，,4928(1)25 2 5故所求边的长为. a 。,ABC，A10、(2012日照5月模拟)已知在中AB,3,，A,60，的平分线AD交边BC ,,,,,,,,,,,,1于点D，且，则AD的长为 ,，,,,ADACAB(R)3 323(A) (B) (C)1 (D)3 第78页 共99页 b,2a,0,c,a，b11、(2012泰安一模)若，且，则向量与的夹角为 c,aabA.30? B.60? C.120? D.150? ,ABCDDCN，,A60M212、(2012威海二模)如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点 ,,,,,,,,, AMAN,(含边界)，则的最大值为 2336A. B. C. D.9 【答案】D 第79页 共99页 【解析】 rrrr axzbyz,,,，,1,2,,13、(2012烟台二模)已知向量且，若变量x,y满足约ab,，，，， x,,1, ,yx,束条件，则z的最大值为 , ,325xy，,, A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C rr yz，ab,解析:由xz,得(，1)(2，),0，即z,2x，y， 画出不等式组的可行域，如右图，目标函数变为:yxz,,，2，作出y,,2x的图象，并平移，图由可知，直线过A点时，在y轴上的截距最大，此时z的值最大:求出A点坐标(1，1) 第80页 共99页 ,2×1，1,3，所以，选C。 zmax ,,,,,, 【江西省泰和中学2012届高三模拟】已知平面向量，满足与的夹角为abab||1,||2,ab,, ,,,60:，则“m=1”是“”的( ) ()amba,, A(充分不必要条件 B(必要不充分条件C(充要条件 D(既不充分也不必要条件 AB,2BC,OA,a,OB,b,OC,c,【山东省日照市2012届高三模拟理】(3)如图所示，已知 则下列等式中成立的是 31c,2b,a(A) (B) c,b,a22 31c,2a,b(C) (D) c,a,b22 【山东实验中学2012届高三第四次诊断性考试理】11. 的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为() (A).(B).(C). 3 (D). 【答案】A 第81页 共99页 ,ABC,ABC【解析】由已知可以知道，的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此是 ,，=A2直角三角形。且，又因为 ,,,,|OA||CA|,？，,，,CB,,36 ,, ？,,ABAC3,1，故在上BABC ,3,的射影|BA|cos,62 因此答案为A ,,,,,,,,,,,,,,kR【山东省微山一中2012届高三模拟理】9(若，恒成立，则?ABC||||BAkBCCA,, 的形状一定是 ( ) A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(不能确定 ,,,,,,,2abcaxbxc，，,0x【2012三明市普通高中高三模拟理】关于的方程，(其中、、都是 ,, ab非零平面向量)，且、不共线，则该方程的解的情况是 A.至多有一个解 B.至少有一个解 C.至多有两个解 D.可能有无数个解 【2012厦门市高三模拟质检理】已知向量a,(1,2)，b,(2,0)，若向量λa，b与向量c,(1, 第82页 共99页 ,2)共线，则实数λ等于 12A.,2 B. , C.,1 D., 33【答案】C 【解析】本题主要考查平面向量的共线的性质. 属于基础知识、基本运算的考查. λa，b,(λ，2,2λ)，向量λa，b与向量c,(1,,2)共线，?(λ，2)×(,2),2λ×1， ?λ,,1 【2012厦门市高三上学期模拟质检理】如图，已知，，?，?AOPOA,3OB,1OAOB,0 ,,，若，则实数t等于 OP,tOA，OB,6 133A. B. C. D.3 33 【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1】?ABC中，?C=90?，且CA=CB=3，点M满足 CMCA2，则?= BM,AM A(18 B(3 C(15 D(12 【答案】 A 【解析】本题主要考查平面向量的共线及数量积的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 由题意，如图建立直角坐标系，则A(3,0),B(0,3) BM,AM?2，?A是BM的中点 第83页 共99页 ?M(6，,3) ,(6，,3)，,(3,0) CMCA ?,18 CMCA ,,,,,,,,,,,,,2,ABC【2012黄冈市高三模拟考试理】若，则必定是 ABBCAB,，,0 ( ) A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(等腰直角三角形 【答案】 B 【解析】本题主要考查向量的运算、向量垂直的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2 ABBCABABBCABABACABAC,，,,,，,,,,,,0()00 ,ABC则必定是直角三角形。 ,,,,, 【2012金华十校高三模拟联考理】设向量，满足 ab||1,||3,aab,,, ,,,,, ，则= ( ) aab,,,()0|2|ab， 2343 A(2 B( C(4 D( ,,,,,,,,1BDBA,【2012唐山市高三模拟统一考试理】在边长为1的正三角形ABC中，，E是3 ,,,,,,,, CDBE,CA的中点，则= ( ) 2111,,,, A( B( C( D( 3236【答案】 B 第84页 共99页 【解析】本题主要考查平面向量的运算以及坐标法. 属于基础知识、基本方法的考查. 如图，建立直角坐标系，则 13133 ABCDE(1,0),(0,0),(,),(,0),(,)22344 ,,,,,,,,1333 CDBE,,,,(,),(,)6244 ,,,,,,,,1333131 CDBE,,,,,,,,,,(,)(,)6244882 ,,,,xyaa,【2012粤西北九校联考理11】已知向量==,若,，则的9，3bb(x,1,2),(4,y)最小值为 ; 【答案】6 ,,,,aa,【解析】若b=b=向量a,b,0(x,1,2),(4,y)2x，y,2,，所以，所以，由基本 xy9，3,6 不等式得 【山东省微山一中2012届高三模拟试题(理)】 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,11314、在四边形ABCD中，，则四边,,,,,,,,,,,,ABDCBABCBD,,,，,,,(1,1),||||||BABCBD C D A B 形ABCD的面积为 。 第85页 共99页 【烟台市莱州一中2012届高三模块理】已知向量满足. a,b|a|2,|b|1,|ab|2,,,, ab,(1)求的值; 的值. (2)求|ab|， ab,【答案】17.解:(1)由,,=2得 222， ||24124abaabbab,,,,，,，,,, 1ab,,所以.……………………………………………………………………6分 2 1222||24216abaabb，,，，,，，，,(2)，所以.……………12分 ||6ab，,2 【山东实验中学2012届高三一次诊断理】16. 点O在内部且满足 ，则的面积与凹四边形. 的面积之比为________. 【答案】5:4 【解析】解: 作图如下 第86页 共99页 ,b,60b,1【2012韶关第四次调研理7】平面向量与的夹角为，，， aa,(2,0)ab，,则( ) 3737 A( B( C( D( 【答案】B ,b60b,1a【解析】因为平面向量与的夹角为，a,(2,0)，， 222abaabb，,，，,27 所以 第87页 共99页 【2012深圳中学模拟理13】给出下列命题中 , ,,,,,,,,,0? 向量满足，则的夹角为; abab,,,aab与，30ab、 ,, ? ,0，是的夹角为锐角的充要条件; ab、 a,b ? 将函数y =的图象按向量=(,1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y x,1a =; x ,,,,,,,,,ABC? 若，则为等腰三角形; (AB，AC),,(AB,AC),0 以上命题正确的是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上) ,【2012海南嘉积中学模拟理10】在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两mn条直线，、为不同的两个平面) ba m^mn^?，// nÞaa ?m//n，n//m// Þaa ?m//n，，m// n^bab^Þa mnA:=?mmnn，//，//，//，//// bbbÞaaa 其中正确的命题个数有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【答案】C m^mn^nmnnm【解析】?，//正确;?//，////错误，线可以在平面ÞÞaaaa 第88页 共99页 mnA:=内;?//，，//正确;?，//，//，//，mnmmmnn^bab^bÞaaa////正确。 nbbÞa ,,,,, 【2012黑龙江绥化市一模理13】已知向量，，若向量，,b,(1,1)a,(2,4)bab,，(), ,则实数的值为___. ,【2012 浙江瑞安模拟质检理15】已知平面向量不共线，且两两之间的夹角都相等,a,b,c 若,则 与的夹角是 . a，b，ca|a|,2,|b|,2,|c|,1 :【答案】60 (a，b，c),a10cosa，b，c,a,, 【解析】，夹角为60; a，b，ca2 ,,,,,, ,】定义:ab【2012?泉州四校二次联考理5，其中为向量与的夹角，abab，,,=sin, ,,,, ab,,,6若，，， a,2b,5 ,, ab，则等于( ) ,88,886A( B( C(或 D( ,ab【2012延吉市质检理5】若向量=(x1，2)，=(4，y)相互垂直，则的最小值- 为( ) 2332 A(12 B( C( D(6 【答案】D 第89页 共99页 【解析】因为向量=(x-1，2)，=(4，y)相互垂直，所以ab a,b,0,4x,4，2y,0,2x，y,2 2x，yxy则9，3,23,6. ,【2012浙江宁波市模拟理】在中，D为BC中点，若，，则,ABC，A,120AB,AC,,1的最小值是 ( ) AD 132(A) (B) (C) (D) 2222 abm,,(3,1),(1,)23abab,，与【2012安徽省合肥市质检理】已知向量，若共线，则m= ; ,,Oi【2012山东青岛市模拟理】设、是平面直角坐标系(坐标原点为)内分别与轴、jxy ,,,,,OAB轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等OA,,2i，jOB,4i，3j 于 . 5【答案】 ,,,,,,,,,,,,,,,, OAOB,,,5【解析】由题可知，，，所以||5OA,||5OB, 第90页 共99页 ,,,,,,,,,,,,,,,,,512，，所求面积为sin,,,,OAOBcos,,,,,,OAOB 5555 12。 S,，，，,55525 【2012吉林市模拟质检理】已知，，若向量与 2a，ba，,ba,(,2，1)b,(0，2) ,垂直，则实数的值为 . 【2012江西南昌市调研理】则k= . 【答案】6; ,, 234k,，k,6ab//【解析】由可得，解得。 (,2)x(1,)yxy,,0,0a,b,ab ,4【2012广东佛山市质检理】已知向量，，其中.若， 12，xy则的最小值为 ( ) 39 22242A( B( C( D( 【答案】C 12，1219xyyxxyab ,4【解析】由得，又，选xy，,24,，，,，，，,()()1xyxy424224C。 2【2012河南郑州市质检理】在?ABC中，若则?ABCAB,AB,AC，BA,BC，CA,CB,是( ) A(等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 第91页 共99页 【答案】D ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,22【解析】由得, ABABACBABCCACB,,，,，,ABABACBABCACBC,,,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,即,得,,选D。 ,CABCBBCBC,,,CACB,,02 【2012河南郑州市质检理】在?ABC中，已知a,b,c分别为?A，?B，?C所对的边，S 222为?ABC的面积.若向量p=q=满足p?q,则?C= . ，，4,a，b,c,，，3,S ,【答案】; 3 ,222tan3，,C【解析】由题p?q，则,即，，,。 C43()2sinSabcabC,，,,，3 DCBCABCD【2012北京海淀区模拟理】如图，正方形中，点E，F分别是，的 ,,,,EDC中点，那么 EF= ,,,,,,,,,,,,,,,,1111F(A) (B) -ABAD-ABAD+2222BA,,,,,,,,,,,,,,,,1111(C)-ABAD+ (D) ABAD-2222 【答案】D ,,,,,,,,,,,,,,,,11【解析】EFDBABAD=()=-，选D。 22 0b60b,1ab，,【2012广东韶关市调研理】平面向量与的夹角为，，，则aa,(2,0)( ) 337 A( B( C( D( ,【2012延吉市质检理11】 已知向量(若a— 2b与c共线，则k=________( 第92页 共99页 ,,,,,,,,,,,,,,,, ，AOB【2012延吉市质检理14】已知:点C在内,且,OAOBOAOB,,,,1,3,0, ,,,,,,,,,,,,m设则 ( ,，,:AOC30,OCmOAnOBmnR,，,(,),n 【答案】3 ,,,,,,,,,,,,,,,, ，AOB【解析】因为OAOBOAOB,,,,1,3,0,点C在内,且设，,:AOC30,,,,,,,,,,,,,mm30,3 ,tan30,,OCmOAnOBmnR,，,(,),根据共线成比例得所以n3n3 【2012厦门模拟质检理6】如图，平行四边开ABCD中，AB,2，AD,1，?A,60?，点M 1在AB边上，且AM,AB，则?等于 DM,DB3 A.,1 B. 1 33C., D. 33 ,,,,,,【2012江西师大附中模拟理】若向量满足条件 ，(8)30abc,, abcx,,(1,1),(2,5),(3,)x则= 第93页 共99页 【2012年西安市高三年级第四次质检理】 已知向量.若a-2b与c共线 则k=_______ 【答案】1 【解析】本题主要平面向量的共线和坐标运算 . 属于基础知识、基本运算的考查. ,,,,, 3331，,，,,kk? 与共线，? ab,2cab,,2(3,3), ,,,【2012三明市普通高中高三联考理】已知向量，，，若a,(3,1)b,(1,3)ck,(,7) ,,, b?，则= ( k()ac, 【答案】5 【解析】本题主要考查向量的坐标的运算、向量的数量积公式. 属 于基础知识、基本运算的考查. ,,,,, b ，??，?，1(6)3(3)，,,，,k()ac,ack,,,,(3,6) 解得=5 k 【2012武昌区高三年级研理】在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=4，BD=1，则 ,,,,,,,, ABAD,, 。 第94页 共99页 ,,1【2012三明市普通高中高三联考理】已知向量,函数axbx,,,,(sin,1),(3cos,)2 ,,, ( fxaba()()2,，,, (?)求函数的最小正周期; fx()T bC,ABC(?)已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,acac,,23,4ABA S,ABC且,求和的面积( Ab,fA()1, 【解析】本题主要考查了向量及其数量积、二倍角公式、周期公式，余弦定理和面积公式. 属 于容易题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力. ,,,,,,2解: (?) fxabaaab()()22,，,,,，,, …………………2分 ,fAA()sin(2)1,,,(?) 6 ,,,,,5,,,,,,,2A,,AAA(0,),2(,)因为，所以， …………8分 3622666 113？S,bc,sinA,，2，4，,23 …………12分 222 第95页 共99页 3122x,R【2012山东青岛市模拟理】已知函数，,fxxxx()sin2(cossin)1,,,,22 ,,ABCC将函数向左平移个单位后得函数，设三角形三个角、的对边、ABfx()gx()6 b分别为、、. ac afC()0,sin3sinBA,b(?)若，，，求、的值; c,7 ,,,,,, (?)若且，，求的取值范围. mn,g(B),0mAB,(cos,cos)nAAB,,(1,sincostan) ,,gxx()sin(2)1,，,gBB()sin(2)10,，,,(?)由条件知所以, 66 ,sin(2)1B，,所以 6 ,,,13,,,，,2B，,,B2(,)B因为,所以 即 662666 ,,,33， mA,(cos,)nAA,,(1,sincos)23 ,,,3313,,,，,,，,，于是…… 8分 mnAAAAAAcos(sincos)cossinsin()23226 ,,,5？,？,A，,(,,)BA(0,),,得 ……………………………………………10分 6666 第96页 共99页 ,,,,【山东临沂市临沭一中高三模拟试题】已知 与的夹角，求,,:120ab||4,||8,ab,, ,,. ||ab， ,,,,,【山东省济宁市鱼台一中2012届高三模拟理】17、已知，是夹角为60?的单位向量，ee12,,,,,,,,,,,, 且，。 aee,，2bee,,，321212 ,, (1)求; ab, ,,,, (2)求与的夹角。 ab,,ab, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,227ee【答案】17、解:(1),(,,6，，2,,; ab,(2)ee，,(32),，eeee,121212122 ,,,,,,,,,,,,2|||2|(2)7aeeee,，,，,(2)，同理得， ||7b,1212 ,,,,,,,,ab,1所以，又，所以,120?。 ,,,:[0,180],,ab,,,ab,cos,,,,,,ab2||||ab ,【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次模拟理】19、已知向量a,，(cos,,sin,) , 3b，向量,(，,1) ,,[0,,] ,, ,ab, (1)若，求的值,; ,, 2abm,,(2)若恒成立，求实数的取值范围。 m ,, 3cos,,sin,,0tan,,3ab,【答案】19、解:(1)?，?，得，又，所,,[0,,] π,,以; 3,, 2ab,(2)?,， (2cos,,3,2sin,，1) ,,2,,13π,,22,,2ab,所以， ,(2cosθ,3)，(2sinθ，1),8，8sinθ,cosθ,8，8sinθ,,,,,223,,,, ππ2ππ3,,,,,,[,]π又 ,?[0，,]，?，?， ,sin[,1],,,,,33332,,,,,,,,2m,42ab,2abm,,2ab,?的最大值为16，?的最大值为4，又恒成立，所以。 第97页 共99页 【山东省济宁市鱼台二中2012届高三11月月考理】16.(本小题满分12分) ,,已知向量,(sin，1)，,(1，cos)，,( a,,b,,,22 (1) 若?，求; ab, (2) 求|a，|的最大值( b 【答案】16. 解:(1)若a,b，则 sin,，cos,,0 ,,,即 而,(,,)，所以,, ,,tan,,,1422 ,(2) a，b,3，2(sin，cos),3，22sin(，),,,4 ,2，1,a，b当时，的最大值为 ,4 【山东省济南市2012届高三模拟】30.(本小题满分8分)已知平面向量 13,(,),(3,,1)a,b 222，(t,t,5),,kkk和t，4(?)若存在实数,满足xab，yab且x?y，求出 关,(t，2) k,f(t)于的关系式;w.w.w..c.o.m t k,f(t)t,(,2,2)(?)根据(?)的结论,试求出函数在上的最小值. 第98页 共99页 第99页 共99页