新疆大学矩阵计算课程教学大纲

新疆大学矩阵计算课程教学大纲 新疆大学课程(实验)教学大纲 新疆大学《矩阵计算》课程教学大纲 课程英文名称:Matrix Computations 课程编号:D052834 课程类型:专业选修课 总 学 时:48 学 分:3 适用对象:数学与系统科学学院信息与计算科学专业民汉本科学生 先修课程:数学分析，高等代数，解折几何，数值分析 使用教材及参考书 教材:《矩阵论》(第二版)程运鹏主编，高等学校教材，西北工业大学出版社，2002年9月 参考书:《Matrix Analysis》, R.A. Horn and C.I. Johnson, Cambridge Press (中译本)， 杨奇译，天津大学出版社，1988。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈 邓健新 译，科学出版社，2001。 一、课程性质、目的和任务 本课程属于矩阵理论系列课程的基础部分，矩阵理论是一门最有实用价值的数学理论，它不仅实数学的一个重要分支，而且成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事信息计算、工程技术等工作的学生来说是必不可少的。 通过该门课程的学习，期望学生能较好地理解和掌握矩阵理论的基本知识和思想方法，提高学生的数学素质，提高科研能力，并能运用学到的知识和方法解决实际问题。 二、教学基本 本课程属于专业基础课程，含有较多的数学推导和证明，希望在教师引导下，学生逐步学会自己从前人研究的问题、分析问题的过程、演绎推导的结果中，体会和领悟这些人类高级心智文明的成果，使学生自己真正学懂数学，而不是被“教会”数学; 同时希望学生通过研究式的钻研、探索乃至犯错误的过程中，培养从错纵复杂的现象事理中和繁杂无序的结果数据中，寻找与总结内在关系和规律的能力，并且体会科学研究的艰辛和乐趣，培养在科学研究和事理处理上百折不挠、持之以恒的毅力和意志。提高他们的数学素质和数学修养。 三、教学及要求 教学内容分为五部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 第一章:线性空间与线性变换 内容:线性空间的定义、线性子空间、线性变换、不变子空间、Jordan形、Euclid空间、酉空间。 要求:掌握线性空间、线性子空间、线性变换、不变子空间、Euclid空间、酉空间等的定义和性质，能够利用矩阵示线性变换、求解Jordan标准形。 ?1.1 线性空间 一、集合与映射 二、线性空间及其性质 三、线性空间的基与坐标 新疆大学课程(实验)教学大纲 四、基变换与坐标变换 五、线性空间 六、子空间的交与和 ?1.2 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 二、线性变换的矩阵表示 三、特征值与特征向量 四、对角矩阵 五、不变子空间 六、Jordan标准形介绍 ?1.3 两个特殊的线性空间 一、Euclid空间的定义与性质 二、正交性 三、正交变换与正交矩阵 四、对称变换与对称矩阵 五、酉空间介绍 第二章:范数理论及其应用 内容:向量范数、矩阵范数及应用 要求:熟练掌握向量范数、矩阵范数定义和性质。 ?2.1 向量范数及其性质 一、向量范数的概念及l范数 pn 二、线性空间V上的向量范数的等价性 ?2.2 矩阵的范数 一、矩阵范数的定义与性质 二、几种常用的矩阵范数 ?2.3 范数的一些应用 一、矩阵的非奇异性条件 二、近似逆矩阵的误差——逆矩阵的摄动 三、矩阵的谱半径及其性质 第三章:矩阵分析及其应用 内容:矩阵序列、矩阵级数、矩阵函数 At要求:掌握矩阵序列与级数、矩阵的微分与积分、矩阵函数的定义，掌握e的性质及求矩阵函 数的基本方法。 ?3.1 矩阵序列 ?3.2 矩阵级数 ?3.3 矩阵函数 一、矩阵阵函数的定义与性质 二、矩阵函数值的求法 ?3.4 矩阵的微分和积分 一、矩阵A(t)的导数与积分 ?3.5 矩阵函数的一些应用 一、一阶线性常微分齐次微分方程组 二、一阶线性常微分非齐次微分方程组 新疆大学课程(实验)教学大纲 第四章:矩阵分解 内容:矩阵的三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解。 要求:掌握求矩阵的三角分解、满秩分解、QR分解、奇异值分解基本方法。 ?4.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解 一、Gauss消去法的矩阵形式 二、矩阵的三角(LU)分解 三、其它三角分解及其算法 四、分块矩阵的拟LU分解与拟LDU分解 ?4.2 矩阵的QR分解 一、Givens变换与Householder变换 二、矩阵的QR分解 ?4.3 矩阵的满秩分解 ?4.4 矩阵的奇异值分解 一、矩阵的正交对角分解 二、矩阵的奇异值与奇异值分解 三、矩阵正交相抵的概念 第五章:特征值的估计及对称矩阵的极性 内容;特征值的估计、广义特征值问题、对称矩阵特征值的极性。 要求:利用一些基本方法估计特征值，能够用盖尔圆对特征值进行估计。 ?5.1 特征值的估计 一、特征值的界 二、特征值的包含区域 ?5.2 广义特征值问题 一、广义特征值问题的等价性 二、特征向量的共轭性 ?5.3 对称矩阵特征值的极性 一、实对称矩阵的Rayleigh商的极性 二、广义特征值的极小极大原理 四、教学重点与难点 第一章:线性空间与线性变换 重点:线性变换及矩阵运算 难点:Jordan标准形的计算 第二章:范数理论及其应用 重点:向量范数和矩阵范数 难点:范数的应用 第三章:矩阵分析及其应用 重点:矩阵函数 难点:矩阵函数的应用:一阶线性常系数微分方程组的求解 第四章:矩阵分解 重点:矩阵的三角分解、QR分解、满秩分解、奇异值分解 难点:矩阵的奇异值分解 第五章:特征值的估计及对称矩阵的极性 新疆大学课程(实验)教学大纲 重点:用盖尔圆对特征值进行估计 难点:对称矩阵特征值的极性 五、学时分配 章 节 内 容 学 时 第一章(第1,3节) 线性空间与线性变换 12 第二章(第1,3节) 范数理论及其应用 6 第三章(第1,4节) 矩阵分析及其应用 6 第四章(第1,4节) 矩阵分解 12 第五章(第1,3节) 特征值的估计及对称矩阵的极性 12 六、考核方式 闭卷考试。命题要求覆盖大纲，题型多样，难易适中，着重考查学生对基本理论的掌握程度以及理论联系实际，解决实际问题的能力。 制定者:于海征 审核者:张知难 批准者:黄琼湘 校对者:帕尔丹