三硼酸锂晶体_类和_类相位匹配角及有效非线性系数的计算

三硼酸锂晶体_类和_类相位匹配角及有效非线性系数的计算 第 29 卷 第 12 期Vol . 29 , No . 12 光 学学报 De ce mbe r , 2009 2009 年 12 月AC TA O P TI CA S IN I CA () 文章编号 : 025322239 20091223477205 三硼酸锂晶体 ?类和 ?类相位匹配角及 有效非线性系数的计算 王爱 坤任清华 薛建华 ()河北科技大学物理系 , 河北 石家庄 050018 () 摘要 从非线性光学电磁场理论出发 ,分别数值计算了硼酸锂 LBO晶体基频光波长 1064 nm 的?类和?类倍频相位 () 匹配角及有效非线性系数 。?类相位匹配角在第一象限的范围约是 34?,90?,0,24?,有效非线性系数的平方在匹配 () () 角约为 42. 2?,56?时有最大值 ,匹配角约为 90?,45. 6?时有次极大值 ,且最大值与次极大值近似相等 ; ?类相位匹配 () () 角在第一象限的范围约为 0,90?,45. 5?,90?,有效非线性系数的平方在匹配角约为 0 ,90?时有最大值 。 关键词 非线性光学 ;倍频 ;相位匹配 ;有效非线性系数 ;数值计算 ;三硼酸锂晶体 d oi : 10 . 3788/ AOS20092912 . 3477 中图分类号 O437 文献标识码 A C a l c u l a t i o n of Typ e ? a n d Typ e ? P h a s e2M a t c h i n g A n g l e a n d Ef f e c t i ve N o n l i n e a r C o ef f i c i e n t s of L B O C r ys t a l s Wa n g Ai k u n Re n Qi n g h ua Xue J ia n h ua ( )Ph ys i cs Dep a r t m e n t , Hebei U n i ve r s i t y of S ci e n ce a n d Tec h n ol ogy , S h i j i a z h u a n g , Hebei 050018 , Chi n a A bs t r a c t Fr om nonli ne a r op tics a nd ele ct r oma gne tic f iel d t he or y , t yp e ? a nd t yp e ? f r e que nc y2doubli n g p has e2 ma t c hi ng a ngle a nd eff e cti ve nonli ne a r coeff icie nt of L BO c r ys t al w hos e f unda me nt al f r e que nc y wa vele n gt h is 1064 n m a r e r esp e c ti vel y calc ula t e d wi t h n ume rical me t hod . The r a n ge of t yp e ? p has e2ma t c hi n g a n gle i n t he f i rs t ( ) qua dr a nt is a bout 34?, 90?, 0 , 24?, a nd t he s qua r e of t he eff ec ti ve nonli nea r coeff icie nt ha ve a ma xmum val ue ) ( w he n t he p has e2mat c hi n g a n gle app r oxi ma t es 42 . 2?, 56?a nd ha ve t he s e cond la r ges t val ue w he n t he p has e2ma t c hi ng ( ) a n gle app r oxi ma t es 90?, 45 . 6?. The t w o val ues a r e app r oxi ma t el y e qui vale nt . The r a nge of t yp e ?p has e2ma t c hi ng ( ) a n gle i n t he f i rs t qua dr a nt is a bout 0,90?, 45 . 5?,90?, a nd t he s qua r e of t he eff e c ti ve nonli ne a r coeff icie nts ha ve a ) ( ma xi m um val ue w he n t he p has e2ma t c hi n g a n gle app r oxi ma t es 0 , 90?. Ke y w o r ds nonli ne a r op tics ; f r e que nc y doubli ng ; p has e ma t c hi ng ; eff e c ti ve nonli ne a r coeff ici e nts ; n ume rical calc ula tion ; L BO c r ys t al [ 10 ] 轴晶体 ,属于 mm2 正交点群 。 1 引言 近年来 ,有关研究 LBO 晶体非线性性质的文章非线性光学频率变换技术一直是激光领域的研 [ 5,7 ,11 ] [ 1,3 ] 很 多, 但 其 主 要 研 究 方 法 和 内 容 为 利 用 究热点,而倍频是其中最典型 ,应用最广泛的技 [ 4 ] MA TL AB 软件针对特定波长模拟计算 ?类相位匹 () 术。三硼酸锂 LBO晶体非线性较强 ,转换效率 [ 5,7 ] 配角范围及特定匹配角下 ?, ?类相位匹配的有效 较高 ,是相关专业研究的热点之一。LBO 晶体[ 5 ,12 ] 非线性系数的随波长的变化规律 。下面针对基 具有较高的破坏阈值 、较宽的允许角和较小的走离 [ 8 ] λ频光= 1064 n m , 用 FO R T RA N 语言编程数值计 角, ?类和 ?类相位匹配范围都比较宽 ,是一种性 [ 2 ,6 ,9 ] 算 LBO 晶体 ?类和 ?类倍频相位匹配角的范围以 能优异的非线性光学晶体。LBO 晶体是负双 收稿日期 : 2009201207 ; 收到修改稿日期 : 2009203217 ( ) () 基金项目 : 河北省教育厅科技攻关项目 Z2007228和河北科技大学青年基金 2006J C217资助课题 。 () 作者简介 : 王爱坤 1962 —,女 ,博士 ,教授 ,主要从事凝聚态物理方面的研究 。E2mail : wa k1962 @si na . co m (θφ) ω所对应的折射率 。即波矢方向为 ,, 频率为 i 的光波对应的快 、慢光折射率分别为2 L B O 晶体相位匹配角范围计算 2 2 . 1 ?类倍频相位匹配角(ω) - 4 C, 2 / B n B +i i = - i i ( )9 根据二级非线性光学效应的电磁场理论可知共 2 (ω) - 4 C. n 2/ B i i i B i -= - [ 2 ]线和频光强为 根据波矢与频率和折射率之间的关系 ,双轴晶 2 2 2 2 π ΔΔldkl kl 8eff[ 15 ] sin I3 =I1 I2/ , 2 体 ?类和频相位匹配条件为 : λε 2 2 nnnc1 2 33 0 ω(ω) ω(ω)ω(ω) ( ) 1 n 1 + 2 n 2 = 3 n 3 .10 () 1 (ωωωω) 式中 d为有效非线性系数 , n, n分别为两基频光 = ,= 2相位匹配条件简?类倍频 eff 1 2 1 2 3 1 [ 12 ] 折射率 , n为和频光折射率 , l 为光波在晶体中所走 3 化为 Δ过的距离 ;k = k+ k- k, k, k分别为两基频光 1 2 3 1 2 ω)(ω) ( n 1 = n 3 ,波的波矢 , k为和频光的波矢 。因此转换效率与三 3 即 : Δ波波矢密切相关 。显然当k = 0 时 , 转换效率最高 , 2 2 这一条件称为相位匹配条件 。 4 C- 1/ = 1/ - 4 C, B- B- B1 1- B+ 3 3 13 ()根据波矢与频率和折射率之间的关系 ,可以把 11 () (θφ) 相位匹配条件转化为有关三波的折射率方程 ,以便 11式是关于 ,的复杂方程 ,难以求出解析解 。 () 用于不同晶体不同类型的相位匹配角的计算 。 由11式 含 有 基 频 和 倍 频 主 折 射 率 。LBO 晶 体 [ 2 ] 于单轴晶体折射率面具有回转对称性 ,在单 1064 n m的三个主折射率分别为: 1. 5656 ,1. 5905 , 1. 6055 ; 532 nm 的 三 个 主 折 射 率 分 别 为 : 1. 5785 ,轴晶体中三波互作用的相位匹配问题容易解决 。而 双轴晶体的折射率曲面在直角 坐标 中是 四次 曲 面 1. 6065 ,1. 6212 。采用 FOR TRAN 语言编 写 程序 对[ 13 ] () (θφ) ( ) () 11式进行数值计算 ,因为在不同 ,值时 11式 左双壳曲面,对称性较低 ,其相位匹配问题一般 不能简单地解析求解而应采用数值计算 。 取光学右两边函数的变化率差别很大 ,所以计算时采用变 精 度计算 。根据双折射晶体的折射率对称性可知 ,只 对 主轴坐标系并按一般习惯约定三个主折 (θφ) () ,在 0,90?范围内进行计算就足够了 。计算 结果nx < ny < nz , 双轴晶体双壳层折射率曲 射率满足 如图 1 所示 。 [ 14 ] 面的方程为 2 2 2 kk kx y z ( )2 0 , = + + - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - n - nn - n x n nyz θ设 k 与 z 轴的夹角为, k 在 y oz 平面的投影与 x 轴 φ 的夹角为 , 则有 θφ= si n co s , k x θφ( )k = si n si n , 3 y θk= co s ,z 为使方程简化 ,设 - 2 - 2 - 2 φθ图 1 LBO ?类匹配的- 曲线图 ( )a = n, 4 b = n,c = n, x yzθφFig. 1 Curve of a nd in t yp e ? p ha se matching of 2222θφ θφ ( ) ( ) B = - b + csi nco s- a + csi nsi n- LBO cr ystal 2( ) θ( )a + bco s, 5 从 计 算 结 果 可 以 看 出 , 在 基 频 光 波 长 为22222θφ θφ C = b c si nco s+ a c si nsi n- x = θ( ) a bco s, 6θ1064 n m时 ,LBO 晶体 ?类倍频相位匹配角第一 - 2 n, ( )7 φ象限的范围约是 34?, 90?,第一象限的范围约是 () () () 把 3式, 7式代入 2式并化简得 : 0,24?;其它区域不满足相位匹配条件 。2 x+ B x + C = 0 . ?类倍频相位匹配角2 . 2 解得两个偏振方向的折射率为 [ 15 ] 双轴晶体 ?类相位匹配条件可表示为2 ( )? -- B n = 2/ B 4 C , 8 ω (ω ) ω (ω ) ω (ω ) ( ) 12 n n n + = , 1 12 23 3 3479 12 期王爱坤等 : 三硼酸锂晶体 ?类和 ?类相位匹配角及有效非线性系数的计算 e1 ωωω() ω取 1 = 2 ,3 = 21 则 12式变为 : 经过推导 ,可得慢光电位移单位矢量 b和快光 e[ 18 ]2 ω) (ω)(ω)( n 1 + n 1 = 2 n 3 电位移单位矢量 b分别为 e 1 θφδφδ即 :co s co s co s - si n si n b i i1 e e 11θφδφδ2 2 co s si n co s + co s si n i ib b , 2= = 4C+ 1/ 4 C= B- B- 1/ 1 1 1 1 - B-- B+1 1 e 1θδsi n co s - ib3 2 ()4C. 2/ B2 - 13 2 - B2 +( )14 ( ) ( ) 将 4式, 8式 及 三波 的主 折 射率 数据 代 入 e 2 θφδφδco s co s si n - si n co s - 1 i ib () (θφ) 13式 ,得到关于 ,的复杂方程 。同 2. 1 计算方 e e 22θφδφδ- co s si n si n + co s co s bi i2 b= = , 法 ,LBO 晶体?类相位匹配角计算结果如图 2 所示 。 e 2θδsi n si n ib3 ( ) 15e2 (ω) φΩδθ式中是 b 与 z - k 平面的夹角 , 它是,和的函i i i ΩδΩ数 ,是双轴晶体的光轴与 z 轴的夹角 ,和i i i 的求解[ 12 , 19 ] 公式为 1/ 2 2 2 (ω) (ω) (ω)nnny i x i z i - Ωt a n = ( )i 16 , 2 2 (ω)(ω) (ω) nnnx i z i - y i 22222 Ωθθφ φco tsi n-co sco s+ si n i δ( )co t = . 17 i θ( φ)co s si n 2 [ 6 ] 下面采用精确的“姚方法之二”计算有效非线 φθ图 2 LBO ?类匹配的- 曲线图 θφFig. 2 Curve of and in t yp e ? p ha se matching of 性系数 。“姚方法 之 二”指 的 是 不 忽 略 电 场 强 度 E LBO cr ystal 和电位移矢量 D 的走离效应 , 并且利用电位移的单 从图 2 可以看出 ,LBO 晶体波长同为 1064 nm θφ) (位矢量与波矢方向 K,之间的关系 , 在主轴坐标 的两慢 、快基频光转化为波长为 532 nm 的快光的 系中得到电场强度的表达式 , 从而计算有效非线性 θφ?类相 位 匹 配 角 第 一 象 限 的 范 围 约 是 0 , 90?, 系数 。 第一象限的范围约是 45 . 5?,90?。 ω 频率为 的慢 、快两个偏振分量表示为i 2 2 2 eee 111 (ω)(ω)(ω) b1 b2 i b3 i i e1 (ω) 〃E i = + + 4 4 4 (ω) (ω) (ω) nnnx i y i z i 3 L B O 晶体有效非线性系数的计算 ee1 1 (ω) ω) (ω) (()DPD,18 i = i i () 从 1式可以看出 ,在相位匹配条件下 ,三波相 e2 ee2 2 2 3 2 () 互作用和频 或倍频的光强与有效非线性系数的平 (ω)(ω)(ω)bbb1 i 2 i 3 i e2 ( )Ew = + + 〃i 4 4 4 (ω)(ω)(ω) nx i ny i nz i (θφ) 方成正比 ,由于三波的折射率随 ,不 同变 化 不 ee2 2 )((ω) (ω) (ω) 19 D = Q D,i i i 大 ,因此计算各类匹配条件下的有效非线性系数对 eeee1 2 1 2 (ω) (ω) (ω) (ω) 设 a, a分别为 E及 E的单位 i i i i 研究其转换效率必不可少 。 矢量 , 可得 计算两类相位匹配有效非线性系数都要用到e ee1 (ω) 1 2 E i 1慢 、快光电位移单位矢量 b和 b在三个主轴上的 1ee1 1 (ω)(ω) E2 i a i = = 投影 。为了使计算结果准确可靠 , 首先推导相关公 e 1 (ω)i E e [ 16 , 17 ] 1(ω) E3 i 式 。快 、慢光的电位移偏振方向如图 3 所示。 ee - 2 11 (ω) (ω) (ω) nx bai i 1 i 1 1 - 2 ee 11(ω) (ω) (ω) ( )b= , ny 20 i 2 i ai 2 ω)( P i - 2 ee 11(ω) (ω) (ω) nbaz i 3 i 3 i - 2 e e 22 (ω) (ω) (ω) x i b1 i a n1i 1 - 2 e e e222 (ω) (ω) (ω) (ω)a an i y 2i = i b2 i = . ( )Q w i - 2 e e 22(ω) (ω) (ω) a nz i b3 2i 3i ( )21 图 3 快 、慢光偏振方向示意图 [ 16 ]双轴晶体 ?类相位匹配时的 d为 eff Fig. 3 Pola rizatio n directio ns of f a st a nd sho w light s e21 ( ) Aa 22 2 e e 22 a1 a1 e 21 A( ) 23 a 3e eeee 22 1 12 )(( ) ad, 24 dI= ada a 2 2 ij keff ij k j k aij kd= = ee1 1 A24 2 aa2 3 e e 2 2a3 3 aee 1 1 A25 2 a 1a3 ee1 1A26 2 aa 2 2 LBO 晶体 ?类相位匹配有效非线性系数 A 11 ee 22( )( ) = daA+ aA+ deff ? 31 1 262 21 A 12 e 2 a1 eee 222()( ) daA+ aA+ d33 a2 A22 . 2532 2 233 24 A 13 e 2 ( )2 d22 a, ij k2 ( ) LBO 晶体 d?数值计算结果如图 5 所示 , eff A 14 e 2 a3 θ 从图 5 可以看出 ,有效非线性系数的平方在?0 有A 15 2 θ最大值 ,并且在 0,11?范围内 d变化不大 。eff A 16 式中 d为二级非线性极化张量 , 考虑到 LBO 晶体ij k d简化张量 d 只有 3 个不为零的独立分量以及压 ij k iN ( ) 电轴与光学主轴之间的对应关系 X2x , Y2z , Z2y , () 22式写为 ee2 2 ( ) ( )dI= daA+ aA2 + eff 31 1 16 11 eee2 2 2 )(+ daA,( )23 33 12 daA+ a3 A2 32 2 13 14 [ 8 ] 式中d= 0 . 61 , d= 2 . 69 , d= - 2 . 24 。 31 32 33 2 ( ) ef LBO 晶体 dI数值计算结果如图 4 所示 。 f 2 ef 图 5 LBO 晶体基频波长 1064 nm 的 ?类倍频 d f2 Fig. 5 Curves of dθ f and in t ype ?f requency2do ubling ef p hase matching of LBO crystals who se f undamental f requency wavelengt h is at 1064 nm 若要精确计算双轴晶体的转换效率 ,除了要计 算有效非线性系数之外 ,还要计算三波在各匹配角 的折射率 、三波相互间的离散角以及两基频光的光 强随入射深度的变化对转换效率的影响 。 2 图 4 LBO 晶体基频波长 1064 nm 的 ?类倍频 def f2 4 结论 θ dFig. 4 Curves of and in t ype ?f requency2do ubling ef f 从非线性光学电磁场理论出发 ,利用 FOR TRAN p hase matching of LBO crystals who se f undamental 语言编程 ,分别数值计算了 LBO 晶体基频光波长为 f requency wavelengt h is at 1064 nm 1064 nm 的?类和?类倍频相位匹配角及全匹配角范 θ 从图 4 可以看出 ,有效非线性系数的平方在? 围内的有效非线性系数 。?类相位匹配角在第一象限 θ42 . 2?时有最大值 ,? 90?时有次极大值 , 最大值与 次 () 的范围约是 34?,90?,0,24?,有效非线性系数的平 θ级大值近似相等 。说明最佳值匹配角是?42 . 2? () θ方在匹配角约为 42. 2?,56?时有最大值 ,匹配角约为 和?90?。 2 ( ) () 同理可得双轴晶体 ?类相位匹配的 d?为 90?,45. 6?时有次极大值 ,且最大值与次级大值近似 f ef ee 1 2 θθ相等 ,说明最佳值匹配角是?42. 2?和?90?; ?类相 位 aa 1 1 ee 1 2( 匹 配 角 在 第 一 象 限 的 范 围 约 为 0 , 90?, aa 2 2e 2 1 aee 1 2 ) 45. 5?,90?,有效非线性系数的平方在匹配角约为aa 3 3eeee 2 1 2( ) d?= ada a 2 d = a= eff ij k j k ij kee e e 2 2 1 2 1 aa+ aa () θ2 33 30 ,90?时有最大值 ,并且在 0,11?范围内 d eff 变化 e 2a3 ee e e 2 1 2 1 aa+ aa 1 33 1不大 。 eee e 1 21 2aa+ aa 2 22 1所得结果对提高 LBO 晶体 ?类 、?类相位匹配 3481 12 期王爱坤等 : 三硼酸锂晶体 ?类和 ?类相位匹配角及有效非线性系数的计算 do ubli ng st udy of no ncritical p ha se2mat ched LBO cr yst al [ J ] . J . 倍频转换效率具有重要指导作用 。同时其研究 、计 ( ) Bei j i n g U ni ve rsi t y o f T ec hnol i g y , 2003 , 29 2: 221,224 李朝阳 , 王勇刚 , 黄 骝 等. LBO 晶体非临界相位匹配倍频研 究算方法可为同类非线性光学的光学性质的研究 ( ) [ J ] . 北京工业大学学报 , 2003 , 29 2: 221,224 提供参考 。 11 Ya ng Xueli n , Xie Shengwu . 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