函数空间L2[a,b]中的Fredholm积分算子范数

函数空间L2[a,b]中的Fredholm积分算子范数 函数空间L2[a,b]中的Fredholm积分算子范 数 第17眷第4期中南尾族学院(自然科学版)Vol17No.4 111主!旦窒里圭竺兰!竺三坚=兰!!曼皇!竺兰兰曼!竺坚:!兰里!!:!-望!!:!! ?(一( 函数空间L.[,6]中的Fredholm积分算子范数 赵新泉 —鹰面(=]/77c6 糊 +t-~ 词 g- Fredho!m 0177幽出揿斟fff』譬2』:l』.节巷r沁c【 DcM并,一,一', 算子范数在研究算子的基本理论,基本性质,求相应方程的精确锵和近似解以及近似解的 存在性和收敛性同题中是必不可少的.对于Fredholm积分方程文[1进行了详细和系统的研 究.而文[2]在,6]中对于Fredholm算子进行了更进一步的探讨.文3]第五章?2对空 问上:,中Fredholm积井算子范数的精确值进行了初步的探讨.设算子 -r一 』加?出一).f1) :f—ale)z—(j):(s,fh(,)出一().(2) 这里a,b有限或无陵.力参数.K(s,)(z)是平方可测的,在:.6]中定义内积 t.>一l(t)v(t)dt.(3) 这样L:]-a,6]就成为一个Hilbert空问, 1实函数空间L.,6]中Fredholm算子范数 当^是实数.K(,),x(t)是实函数时,文Ls]第五章有下面3个结论, 1)设(,,):(1,5),则x1一南,其中t是核(s—f)的按模最小特征值? I6 2)若K(s.!)?K(,s),则1置11一{==,其中A是核K(f.r)一lK(.t)K(5,r)ds的最 ?^, 小特征值. 3)设K(s.)_JK(t,),则liJ一=supIl一?l,其中^--.?.一1,0.1…是核(s.)^ 的特征值,^一...一0.一1,一?. 收稿日期L098—09—14 赵新泉,男t4l岁.副教授.中南民族学院基础部,武坦430074 66中南民族学院(自然科学版)第17卷 若核(,t)~Ke,),那么关于算子1--墟的范数有F面的结论? 定理L当^是一实数,K(s,),z(z)是实函数时,若K(s,f)?(f,),则算子,一墟的范 r——_ 数为IJ一II—sup?+袁?其中{A)是核 : .,r).f(s.f).,r)d一[.,r)+(r,)] 的非零特征值的全体. . 证明由Fubini定理 I,一柚I一((J一2K)x.(J一)>一,)一K<x,Kx>+(Kx,.r)]一 :i1~z,n)一I.r—iIbx(f)d』二[.,r)+K(r,f)])drT ^』=(.f).r))d—II.rIb+』:巾)d肫咖?dr_【4) 其中 K2(,r)一』:(s.,)(s,r)出一XEK(,r)十(r,)]. 显然K:(f,r)是一对称核.设血},f(z))为核矗:(f,r)的非零特征值和相应的标准正交特征 函数的全体.由Hilbert—Schmidt定理及(4)可得 II(1--2K).rI.一IIxII): tl十簧?t1.rII.+s老日 其中日.一f.r【,)()出.再由Bessel不等式有 I.(,一M/)xtl.?It.rI+.五1IIztl.一supl麦'ilzii.? 即 II,一?supl+.(5) 假设在某个K.处取up(1+走一+1,我们取外一n"则有 J一墟l;=?lI(J一墉)=IIII.一一()等(=l+1.(6) 若不存在任何.使得sup(1+)一l+袁,则有s(1+击)熙(1+去)-由特征值理论知 ~imA,一..,所以sup(i+i)L?而对V,有 IIJ一'I.?II(J一墟)I.一!InII+1—1十1. 这样 jlJ一船II.?!im(1+麦=l—s【l+袁'?(7) 再比较(5)式与(6),(7)两式即得 第4期赵新采:函敷空间L2[a,阳中的Fredholm积分算子范敷67 等式两边同时开方就可得证 II,_up(1+击) 2复函数空间Lz,6]中Fredholm算子范数 设入是一复常数,(,),(),()是复函数且?L2,叼.算子和f一仍由(1),(2) 式所确定-内积由(3)式所确定.我们仍可得到1中相应的结论. 定理2设(,f)=丽,则II眉II:,其中^是核K(s,f)的按模晟小特征值. 证明取),{"())是算子(1)的非零特征值和相应标准正交特征函数的全体. 仍由 Hilbert—Schmidt展开定理,对V)?Lz,阳, .圳=c,一t等,筹?=?1, 其中一<,甜),即II嚣l』?_T.取=钟.有 圳胁"胁c,一一. 所以II嚣I,r一丽1. 定理3设0,)?丽.则il眉I={,其中A是核,(f,r)=fK(s,) 以. 的晟小特征值. 证明仍用以上的方法,取{山),{())是算子(1)的核为K.(t,r)的特征值及相应标准 正交特征函数的全体.那么对V()?[口,6], il嚣.一<眉,眉)一r(f)dfr.,(,f);idr. 而 K】()一jK(s,r)—K(s—,t)ds—f()K—(s—,r)ds:莉, 昕以 II一—' l — (t,r)x(r)dt. 设算子为 眉= .eK.(f,r)(r)dr, 则眉'眉,眉是眉的伴随算子.所以《是一正算子 有 萍= 其中HFt一>,(-,-)是由(3)式所表示的内积. 即1 其特征值为全大于零的实数.这样就 iH,I~?11 x1J?. ?以 68中南民族学院(自然科学版)第l7卷 用定理2后面相同的证明方法,显然有 定理4设K(5,f)一?则【卜一suPl一}?这里}是核K(?f)的非零特 征值的全体, 证明用{,{()1表示核K(,)的特征值及相应特征函数的全体,{表示由(2)式 所确定的函数Y的Fourier系数 一(,一((J—AK)x.>一(.Wk>一a(Kx?) 一 ^一{=h(1一旱), (J—MCx)jl一塞【.=窭【1一未?s【l一鼍 同前,显然有【卜一埘【spl--}, 定理5设(,f)?,则J一埘Ip(1+袁)?这里{A}是核K:(,r)一 rAK(.)—kK(—s,t>d一aK(,f)一的非零特征值的全体, 证明采用上面类似的方法,对V?L:[口., (J—AK)z【:一((J一)z.(J一.埘>>=【【:+f:z.)d!.f:.(r,)而dr .+? 同样,显然有【一【一sup(1--~). .+?c-十: 参考文献 l路见可.钟寿国,积分方程论,北京:高等教育出版社,1990.1,l8 2钟寿国.中积分方程的几个问题.数学物理-1998,8(3j353,362 3BKaHvopob.rA加B泛函(上).郭宜斌译北京高等教育出版社,1982.198~210 FredholmIntegralOperatorNormsOnL2Ea,] ZhaoXinquan AbstractUsingthetheoryofcharacteristicvalue,wegettheexactvaluesofFredholminte— graIoperatornormsof,,6j, KeywordsFredholmintegraloperator;characterisGcvalue;operatornorm ZhaoXinquanAs0c.Pro/..Dept..fBasicCourges,SCCFN,Wuhan430074