有理数集的可列性和稠密性及其应用
第 16 卷第 5 期 高 等 数 学 研 究 16 , .5 . Ё
3 201 年 9 月 ., 3 201
有 理 数 集 的 可 列 性 和 稠 密 性 及 其 应 用
胡绍 宗
( 阜阳 师范学 院 数 学系 , 安徽 阜阳 41 60 23 )
摘 要 介绍关 于有理 数集可 列性和 稠密性 的一种 证明
, 并 借助实 例说明 这两种 看似互 斥的性 质在实 分
析中的 一些应 用 .
关 键词 有 理数集 ; 可 列集 ; 稠密集 ; 一 一对应
中 图分类 号 1 74 1 . 文献 标识码 文章编 号 04 ? 18 00 ? 3
05 201 99 13 ) ( ? 08 10
定义 1 设 , 上的两 是直线个 点 集 , 如 果 实数 , 且 < , 有有理数 则必 , 适合 < < .
中必有 个点的任何邻域 每 中 的点 ( 或 中 的 任 何 事实上 , 设
开区间中必有 的点 ) , 么称 那 在 密 中稠 . 当{} ( 基本有理数列 ) ,
=
是 全直线时 , 即 线上处处稠密时 在全直 , 那么称= {} ( 理数列 基本
有 ) ,
密集 是稠 .由 { } < { } , 必有正有理数 δ 整数 和正 , 当 使得
例如 , 体是稠密集 有理数全 , 见定理 证明 2 .时 , 有 δ . 又因 {} 及{} 有 是基本
? - >
定义 2 设 是直线 上 的 点 集 . 若 任 何 开 区 间 理数列 , 必有 1 > , 使得当 , > 1 时 , 有
( , ) 存 中 在 开 区 间 ( ′ , ′ ) 炒 ( , ) , 且 在 ( ′ , ′ )
δ δ , .
- < - <
4 4
有 中没 的点 , 则称 稠密集 是疏朗集或称无处 .
不妨取
例如 , 体是无处稠密集 正整数全 .
δ
定义 3 凡 与 正 整 数 一 一 对 应 的 集 , 称 为 可 列- = ,
1
2
集 , 换 句 话 说 , 可 列 集 的 一 切 元 素 可 以 用 正 整 数 编
这是有理数 , 当 且 ? 1 时 , 有
号 , 列的形式 使之成为无穷数 : 1 , 2, ,? , .
δ
- = - + >
定理 1 集是可列集 有理数 . 1
2
δ δ δ
证 明 把正有理数 既约分数 表为 , 称 + - + = > 0 ,
4 2 4
是 的高度 . 理数只有有 一高度的正有限 个 同 . 对 两 也即
有理数 个正 , 若其高 度 不 同 , 低 者 排 在 前 面 ; 若 高 度
{} > { } .
相同 , 面 值小者排在前 . 于是 , 理数集排为 可把正有 : 又当 ? 1 时 , 有
1 1 1 2 3
1 , 2 , , 3 , , , , 4 , ,δ
2 3 4 3 2 - = - - = 1
2
为 可把有理数集排 从而
δ
( ) + ( ) -
- - >
1 1 1
1 1 1 1
2
0 , - 11 ,, - , , - 22 ,, - , , - 33,,
2 2 3 3
δ δ δ
δ - - = > 0 ,
定义 4 设 1 , 2, ,? , 都 是 有 理 数 . 假 如 4 2 4
理数 对 于任意的正有 ε , 有正整数 , 使当 ,> 也即
时 , 不等式 ε 成立 , 就称 {} 是基本 有
- < { } > {} .
列 理数 , 理数列是一个实数 并称基本有 .
综上可知 { ,} < { } < {} , 即 .
< <
1 [ ]
定理 2 是稠密集 有理数集 .
有理 数 集 的 上 述 两 个 性 质 , 意 味 着 处 处 稠 密 的 有理 数 在 实 数 中 是 处 处 稠 密 的 , 就 是 任 何 两 个 密 有理数和无处稠 ( 或疏 朗 ) 的 正 整 数 “ 一 样 多 ” , 这
之间必有有理数 实数 . 换句话说 , 设 , 任意 是两 个
难 个表面看来令人以 置 信 的 事 实 , 充 分 说 明 了 要 判
伪 断数学命
的真 , 靠不住的 仅凭直觉是 .
收 稿 日 期 1 1 ? 0 3 2 ? 0 1 3 ; : 修 改 日 期 3 1 ? 0 2 7 ? 0 1 3 :
在数 学 各 领 域 中 , 许 多 问 题 的 解 决 或 理 论 的 推
作 者 简 介 : 胡 绍 宗 1 9 ( 2 9 - ) , 男 , 安 徽 颍 上 人 , 副 教 授 , 从 事 实 分 析 研
究 .3 7 1 5 1 7 8 8 3 @ : .个性质 理数集的这两 导都要借助于有 .第 16 卷第 5 期 胡 绍宗 : 有理 数集的 可列性 和稠密 性及其 应用
1 9
2 [ 2 ] 8 2
例 1 平 面 上 以 有 理 点 ( 即 坐 标 都 是 有 理 例 3 形如 证明( 1 ) 的一切 点 所 成 之 集
+
数 ) 为中心 , 半径的 有理数为园 称 为 有 理 圆 . 有 理 圆 在半直线 0 [ + , ? ) 上为稠密集 ( 切有理数 为一 ) .
是可列的 全体 . 的 上有理点集是稠密 平面 . 证明 察函数 考
2
证明 设{,} 点 为平面上的有理 , 先固定横( 1 ) ,
= +
或纵坐标 坐标 , 有理数的可列性 则由 , 知这样的有理 显间 然它是区 0 : ? < + ? 函 上严格增加的连续
可列个 点有 , 是可列集 列个可列集之并仍 再由可 , 知 1 0 : ? . 任取一点 0 1 , 作
数 , 而值域为 ? < + ?
可列集 上有理点全体为 平面 . 径 再固定半 , 则以有理 0 的任一邻域 ( 0 ε , 0 ε ) , 这里 ε 0 充 应取得- + >
中心的有理圆 有 点为 可 列 个 , 还 是 由 有 理 数 集 的 可
分小 , 域包含于 使这个邻 1 , 如果 0 0 , 域 用半邻
=
及可列个可列 集 列性 之 并 的 可 列 性 , 知 平 面 上 有 理
0 ( , ε ) 代 替 邻 域 . 以 下 证 明 上 述 邻 域 中 至 少 有 一 形
2
体所成 全 圆 之 集 是 可 列 集 . 对 平 面 上 任 一 点 如( 1 )( 有理数 是 ) 的点 .
+
2
0 0 0 0 0
( , ) , 作任意的 ε 邻 域 ( , ε ) , 即 以 为 由数 于函( 1 ) 续且严格增加 连 , 可 故
= +
心 中 , ε 为半径的开圆 . 密性 由有理数集的稠 , 轴 上
在 上找到点 1 和 2 ( 1 2 ) , 使
<
2
ε ε( 1 1 ) = 0 ε ,
+ -
间 开区 ( 0 , 0 ) 有理数 内必有一 ′ , 即 - +
2
2 2( 2 1 ) = 0 ε ,
+ +
ε ε
性 由有理数的稠密 , 在 1 和 2 理 之间至少有一个有 0 ′ 0 ,
- < < +
2 2
点 , 记它为 : 12 , 调性可得 则由单 < <
ε ε 2 2 2
0 0( 1 1 ) <( 1 ) <( 2 1 ) ,
量 同 , 的开区间 轴上 ( - , + ) 内 也 必 有 + + +
2 2
也即
理数 一有 〃 , 即
2
0 ε( 1 ) < 0 ε .
- < + +
ε ε
0 〃 0 ,
- < < + 例 4 若 是 [ , ] 度可测集 上的正测 , 则 中 2 2
至少存在两点 , 为有理数 它们之间的距离 .
以 这样 0 为中心 , 2 ε 方形内有有理 为边长的开正 明 证 设λ 0 , 由 于 有 理 数 集 是 可 列
= >
点 ( ′ , 〃 ) , 而 此 开 正 方 形 包 含 于 开 圆 ( 0 ,
ε )( 因
的 , 故可将 01 () , 数依次排为 上的全部有理
2 2
1 , 2 ,,,方形的对角线长 开正 ( 2 ε ) + ( 2 ε ) = 2 ε , 恰好 0 用 1 将 表示 平移 1 所得之集 , 不 根据测度的平移 开 等于 圆 的 直 径 ) , 于 是 开 圆 ( , ε ) 内 有 有 理 点 变性 , 经 即可测集平 移 后 , 仍 为 可 测 集 且 测 度 不 变 , ( ′ , 〃 ) . 稠密的 面上有理点集是 所以平 .
2 [ 2 ] 9
便有1. 用 2 表示将 移 平 2 集 所得之 ,
例 2 证 明 单 调 增 加 函 数 的 不 连 续 点 至 多 =
则 有2 =? .用示将 表 平移之 所得
可列个 只有 .证 明 设 ( ) 函数 为单调增加 , 点 是它的一 集 ,
则有=? .上述每个 炒 [ , + 1 ] ,
因此
连续点 个不 , 不连续点 调函数只有第一类 由于单 , 故 ?
( 0 ) , ( 0 ) 存在 , 有限 , 且
- +[ , 1 ] ,
? 炒 +
= 1
( - 0 ) < ( + 0 ) .可 以证明 , 集 诸个集相交 中至少有两 , 事实上 ,
如
令 与开区间 ( ( - 0 ) , ( + 0 )) 对应 . 设点 又 是 果 所有集两互不相交 两 , 加 么由测度的可列可 那 ( ) 一不连续点 的另 , 且, 则有
>
性 , 有
( + 0 ) < ( - 0 ) ,?
?
从 而 ( ( - 0 ) , ( + 0 )) 与 ( ( - 0 ) , ( + 0 )) 不 ( ?)
=
=
?
= 1
= 1
相交 , 这样单增函数 ( ) 与 连续点所成之集 不 轴λ λλ? , + + + + =
开区间所成之集 个由互不相交的 上某 一一对应 .
调性 但又由测度的单 , 有
面证明集 下 可列 至多 , 事 实 上 由 有 理 数 的 稠 ?
( ?) ? [ , 1 ] = 1 ,
+ + -
密性 , 可在 理数做代表 个开区间内取一有 中的每 , = 1
于是产生矛盾 , 所 以 诸 集中 存 在 这 样 两 个 集这些开区间是 互
因为 不 相 交 的 , 从 而 所 取 出 的 有 理
和 ( ) , ? . 设 , 则
互不相等的 数是 , 样 这 与 有 理 数 集 的 一 个 子 集? ? ?
? ?
ξ ,,
对应 一一 , 集 是 而有理数 可 列 的 , 因 此 至 多 可 列 , ? ? ξ ξ
进而 至多可列 , 于是单增函数 ( ) 的不连续点至 存在 , ? 得
使
有可列个 多只 . = + , = +, ξ ξ高 等 数 学 研 究 013 2 年 9 月
2 0
从而 到 的一一对应 . 事实上 , 若有 1 , 2 , 1 2 ,
? ?
+ = +, 而有
因此 , , ,
= = =
1 2 1 2 1 2-= - ? 0 , 则由式 1 () 及 1 ? 2 , 可得 说明至少存在两 个 不 这就 同 的点, , 它 ( 2 ) - ( 1 ) <( 2
1 ) ,
? ?-
1
间的距离 们之 ( , ) =- 理数 是有 .
ρ ( 1 ) - ( 2 ) <( 1 2 )- 2
3 [ ]
例 5 证明存在 可 列 个 开 球 , 使 任 一 开 集 都 同时成立 , 但由 , 成 上面两式不能同时 可知 =
1 2
中某些开球的并 为这可列个开球 可表 .
立 , 一一的 明了上述对应是 这一矛盾说 . 于是 多 至 证 明 在 ? 点 中取以有理 ( 个坐标都是有
可列 . 类似可证 可列 至多 , 故 至多可列集 为 . 理数 ) 为中心 , 以有理数 为半径的开球 ( , )( 称 例 7 设 心在点 为中 的开 单 位 圆 , 作 半 径 理开球 为有 ) . 由有 理 数 集 是 可 列 的 , 又 由 例 1 知 平 1 π
为 同心圆周 的 , 圆周 再作中心在 上 , 半径为
3 3
有理点集是可 列 面上 的 , 应 用 数 学 归 纳 法 及 可 列 个 圆族 的一切可能的开 , 这 些 开 圆 组 成 集 的 无 限 覆 集之并仍是可列 集 可列 这 个 性 质 , 可 证 得 维 有 理 盖 . 覆盖 盖中可选出可列 证明从此覆 .
也是可列的 点集 , 进 而 再 利 用 有 理 数 集 的 可 列 性 及 证明 设 圆 周 的 半 径 向 量 与 某 固 定 半 径 所 可 列 个 可 列 集 之 并 的 可 列 性 ,又 推 得 有 理 开 球 成的角是 απ , 当 α 是 有 理 数 时 , 就 称 圆 周 上 的 这 点 ( , ) 有可列个 .
( 半径向 量 的 终 点 ) 为 有 理 点 . 这 样 , 有 理 数 集 与 圆 任 取开集 ? ? , 对每一点 ? , 存在 的邻
周 点集构 上的有理 成 一 一 对 应 . 因 此 由 有 理 数 集
域 ( ) 炒 , 数集的稠密 由有理性 , 又 由 例 1 知 平 性 的可列性和稠密 , 推 得 圆 周 上 有 理 点 集 的 可 列 性 有理点集的稠密 面上 , 法 应用数学归纳 , 可证 维 性和稠密性 .
点集是稠密的 理 有 , 此 据 , 存 在 有 理 开 球 ( 0 , 0 ) ,
由于圆周 上 有 理 点 集 的 可 列 性 , 因 而 以 圆 周 得 使 ? ( 0 , 0 ) , 且 ( 0 , 0 ) 炒 ( ) . 于 是 这 2
有理开球既覆盖 一切 又 含 于 , 因 而 就 是 这 可 有理点为中心 的 , 以 的开圆有可列个 为半径 . 现
3
有理开球之并 列个 .
来 证从 可 样的可列个开圆即 覆盖中分出这 的无限 例 6 设 ( ) 是定义在 ( , ) 上 的 函 数 , 则 其 覆盖 . 事实上 , 对 于 任 意 的 点, 设 它 到 点 ?
左 、 多可列集 相等的点构成一至 右导数存在而不 . 的 距离是 ( < 1 ) , 且射线与圆周 交于点 0 , 证明 不妨令
这时有
= { : ? ( , ) , ′ + ( ) ? ′ - ( } ) ,1 2 = { : ? ( , ) , ′ + ( ) < ′ - ( } ) ,0 .
= - <
3 3
= { : ? ( , ) , ′ + ( ) > ′ - ( } ) ,2 若 0 点 是有理 , 则中心在点 0 、 半径为 包 的开圆 则有 = ? . 要证 至多可列 , 只要证 及 皆 3
可列 至多 . 现证 多可列 至 .
0
含点 ; 若 理点 是无 , 利 用 圆 周 上 有 理 点 的 稠 对任一 ? , 性 由有理数集的稠密 , 可选有理 密 性 , 圆周 可在 上找出 0 点 近的这样的一有理 附 数使
2
1 , 使 0 1 1 , 则中心在 1 点 、 半径为 开 的 < -
3
′ + ( ) << ′ - ( ) ,
有理数 再选及( ) , 使 圆包含点 . 因为由三角不等式 这是 , 有 < < <
( , 1 ) ? ( , 0 ) + ( 0 , 1 ) ?
( ) - ( )
ρ ρ ρ ( ) ,
> < <
-
1 2
( ) + 1 ( ) = ,
- -
( ) - ( ) 3 3 ( ) , < < <
-
于是 , 中的某圆内 所选可列个开圆 的每一点含于 . 上述两式 合并 , 得
参考文 献
( ) - ( ) < ( - ) 1 [] 夏道 行 , 吴卓人 , 严 绍 宗 , 等 . 实 变 函 数 论 与 泛 函
分 析 : 上
( , ) . 1 ) (
? < <
册 [ ] . 北京 : 人 民教育出 版社 57 ? 956 197 . : ,
可列的 三维有理点集是 由于 , 而
2 [] 程其 襄 , 张 奠 宙 , 魏 国 强 , 等 . 实 变 函 数 与 泛 函 分
析 基 础
{ (,,) :,,数 为有理 ,}
= ?
[ ] . 北京 : 高等 教育出版 社 9 2 ? 0128 20 . : , 子集 为其 , 可列 当然至多 .
3 [] 盖尔 鲍姆 . 实分 析习题 及解 答 [ ] . 西 安 : 陕 西 人 民 教 育
令 与有理数组 (,,) 对应 , 应为 则此对 ( 下 转 第 5 0 页 ) 出版 社 8810 19 :. ,