高中数学椭圆面积公式高中数学椭圆面积公式
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
c1c2clone依据某定理,
定理内容如下
:
如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k,那么甲面积是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πab
c1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推导
因为两轴焦点在0点,所以椭圆的面积可以分为4个相等...
高中数学椭圆面积公式
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
c1c2clone依据某定理,
定理内容如下
:
如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k,那么甲面积是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πab
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因为两轴焦点在0点,所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分,分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域,所以只要求出一个象限间所夹的面积,然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧,先求第一象限所夹部分
的面积。 根据定积分的定义及图形的性质,我们可以把这
部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形,整个图形的面积
就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法,在图 形
中任找取一点,然后再取距这点距离无限近的另一个点,这
两点间的距离记做dx,然后取以dx为底边,两点分别对应
的y为高,与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s,显然,
s=y*dx 现在求s的定积分,即大图形的面积S,S=?[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤:(第一象限全
取正,后面不做说明)
S=?[0:a]ydx=?[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设
x^2/a^2=sin^2t 则
?[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=?[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率 ?[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
=[a*b*t](0:pi/2)-?[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式:
?[0:pi/2]f(sinx)dx=?[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下
sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则
?[0:pi/2]f(sinx)dx=?[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)=
-?[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=?[0:pi/2]f(sinu)du=?[0:pi/2]f(sinx)dx 则?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt
=[a*b*t](0:pi/2)-?[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*?[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关,所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置,其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率
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