(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式

特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、（一阶线性递推式）设已知数列 的项满足 ,其中 求这个数列的通项。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为 ，则当 时， 为常数列，即 ，其中 是以 为公比的等比数列，即 . 证明：因为 由特征方程得 作换元 则 当 时， ，数列 是以 为公比的等比数列，故 当 时， ， 为0数列，故 （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列 满足： 求 解：作方程 当 时， 数列 是以 为公比的等比数列.于是 例2．已知数列 满足递推关系： 其中 为虚数单位。当 取何值时，数列 是常数数列？ 解：作方程 则 要使 为常数，即则必须 二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。 若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。 例3：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法） 由 ，得 ， 且 。 则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，于是 。把 代入，得 ， ， ， 。 把以上各式相加，得 。 。 解法二（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： 。 , 。 又由 ，于是 故 三、(分式递推式)定理3：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 . （1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时， 若 则 若 ，则 其中 特别地，当存在 使 时，无穷数列 不存在. （2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则 ， 其中 例3、已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式. 解:依定理作特征方程 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 ∴ ∴ 即 例5．已知数列 满足：对于 都有 （1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？ 解：作特征方程 变形得 特征方程有两个相同的特征根 依定理2的第（1）部分解答. (1)∵ 对于 都有 (2)∵ ∴ 令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在， 当 ≤4， 时， . (3)∵ ∴ ∴ 令 则 ∴对于 ∴ (4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有 令 则得 且 ≥2. ∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在. 于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在. 练习题： 求下列数列的通项公式： 1、 在数列 中， ，求 。（key： ） 2、 在数列 中， 且 ，求 。（key： ） 3、 在数列 中， ，求 。（key： ） 4、 在数列 中， ，求 。（key： ） 5、 在数列 中， ，求 。（key： ） 6、 在数列 中， ，且 .求 .（key： 时， ； 时， ） 7、 在数列 中， （ 是非0常数）.求 .（key： ( )； ）( ) 8、在数列 中， 给定， .求 .(key: ；若 ，上式不能应用，此时， 附定理3的证明 定理3(分式递推问题)：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 . （1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时， 若 则 若 ，则 其中 特别地，当存在 使 时，无穷数列 不存在. （2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则 ， 其中 证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换 则 ① ∵ 是特征方程的根，∴ 将该式代入①式得   ② 将 代入特征方程可整理得 这与已知条件 矛盾.故特征方程的根 于是                                 ③ 当 ，即 = 时，由②式得 故 当 即 时，由②、③两式可得 此时可对②式作如下变化： ④ 由 是方程 的两个相同的根可以求得 ∴ 将此式代入④式得 令 则 故数列 是以 为公差的等差数列. ∴ 其中 当 时， 当存在 使 时， 无意义.故此时，无穷数列 是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根 、 ，∴其中必有一个特征根不等于 ，不妨令 于是可作变换 故 ，将 代入再整理得 ⑤ 由第（1）部分的证明过程知 不是特征方程的根，故 故 所以由⑤式可得： ⑥ ∵特征方程 有两个相异根 、 方程 有两个相异根 、 ，而方程 与方程 又是同解方程. ∴ 将上两式代入⑥式得 当 即 时，数列 是等比数列，公比为 .此时对于 都有 当 即 时，上式也成立. 由 且 可知 所以 (证毕) 注:当 时, 会退化为常数;当 时, 可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.