双曲线中点弦存在性的探讨加工修改

双曲线中点弦存在性的探讨 求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种： （1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程． （2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解． 无论使用点差法还是联立法，都要运用 来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下： 利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）． 当 在区域Ⅰ内时，有 当 在区域Ⅱ内时，有 当 在区域Ⅲ内时，有 ． 利用上述结论，可以证明： 当 在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下： 设双曲线 的弦 两端点为 ， ，中点为 ，则 ， ， 运用点差法得出 的斜率 令直线 的方程为 ，即 把②代入 ，整理得 ， 把①代入③，整理得 ． 双曲线渐近线方程为： ，若 在Ⅱ内有 ，平方得 ， ，这时 ，中点弦存在。 若 在Ⅲ区域内有 ，平方得 ，双曲线上横坐标为 的点纵坐标为：   ，显然有 ，即   成立，   ，化简得 ，这时 ，则中点弦存在。 因此当 或   ， 成立 ，此时中点弦存在； 若 在Ⅰ区域内有 ，平方得 ，双曲线上纵坐标为 的点横坐标为：   ，显然有 ，即   成立，   ，化简得 ，再由 则 ，这时 ，中点弦不存在． 例  过点 作双曲线 的弦 ，使 点为 的中点，则 的方程为（ ） （A） （B） （C） （D）不存在 分析  将 及 联立得 ．此时， ，则选（D）． 若运用上述区域法，只要判断 在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．