第四章\tn阶线性微分方程(10学时)

第四章 n阶线性微分方程(10学时) 教学目的: 本章主要讨论n阶线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，n阶线性微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法。 教学要求: 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程。 教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想；常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；幂级数解法。 教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数解法。 教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段: 传统板书与多媒体辅助教学相结合。 课题导入 在第二章介绍了一阶微分方程的解法,在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。 第一讲 § 4.1  n阶线性微分方程的一般理论(3学时) 教学目的: 本节主要讨论线性齐次和非齐次微分方程的基本概念、基本理论和常数变易法。 教学要求: 掌握线性微分方程的基本概念和基本理论。 教学重点: 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想。 教学难点: 函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质。 教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍它的基本理论。 4.1.1. 线性微分方程的一般概念 我们将未知函数 及其各阶导数 ,…, 均为一次的 阶微分方程称为 线性微 方程，它的一般形式为： …     （4.1） 其中 … 及 都是区间 上的连续函数,如果 ,则方程(4.1)变为 …                       (4.2) 我们称(4.2)为 阶齐次线性方程，简称齐线性方程,而称(4.1)为非齐线性微分方程，简称非齐线性方程，且通常把(4.2)叫对应于(4.1)的齐线性方程。 如下面4个方程是线性微分方程 前两个是齐次的，后两个是非齐次的。 同一阶方程一样，高阶方程也有着是否有解和解是否惟一的问题，因此作为讨论的基础，下面我们将给出方程(4.1)的解的存在惟一性定理。 定理1 如果 … 及 都是区间 上的连续函数，则对于任一 ，方程(4.1)存在惟一解 区间 上, 且满足初始条件： 从这个定理可看出，初始条件唯一确定了方程(4.1)的解，而且这个解在所有 … 及 连续的区间 上有定义。 4.1.2 阶线性齐次方程的一般理论 首先我们讲述齐次线性方程 …                       (4.2) 的一般理论。假设(4.2)系数 … 在 上连续。 定理2(叠加原理)  如果 是方程(4.2)的k个解，则它们的线性组合 也是方程(4.2)的解，这里 。 证明  因为 ，故有 上面k个等式第i个后相加,依据微分的性质有 故 为(4.2)的解. 例1 验证 。 解:  分别将 .我们有 在定理2中,若 任意常数，反过来，如果方程(4.2)的任意一个解 都可表为 (4.3) 即(4.3)是方程(4.2)的通解。自然，我们关心的是 在什么情况下能够使(4.3)为方程的通解。为回答这个问题，我们首先介绍函数组在已知区间上线性相关和线性无关及Wronsky行列式的概念。 1．函数线性相关性 定义 定义在区间 上的函数 ，如果存在不全为零的常数 使得 在 上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。 如： 在任何区间上线性无关，但 在任何区间线性相关 又如函数 在任何区间上都是线性无关的，因为恒等式 (4.4) 只有当所有的 则(4.4)的左端是一个不高于n次的多项式，它至多有n个不同的根，因此，它在所考虑的区间上不能有多于n个零点，更不可能恒为零。 注1在函数组 中，如果有一个函数，如 在 上恒等于零，则 在 上线性相关。 注2  函数组的线性无关性依赖于所在的区间，如 在区间 上是线性无关，但在 相关的。 下面我们来建立线性相关和线性无关的判别法则，为此先引进 2.Wronsky行列式 定义  由定义在 上k个k-1次可微的函数 所作成的行列式 称为这些函数的Wronskiy行列式，也写作W(t). 定理3  若函数 在区间 上线性相关，则在 上它们的Wronskian行列式 。 证明 由假设可知存在一组不全为零的常数 使得 , 依次将此恒等式对 微分，得到 个恒等式 上述方程组是关于 的齐次方程组，它的系数行列式就是Wronsky行列式 ,由线性代数理论知，要使方程组存在非零解，则它的系数行列式必为零，即 。 注1 定理3的逆不成立 如函数               显然，对所有的 ，恒有 上却都是线性无关的。 事实上，假设存在恒等式 则当 在 上是线性无关的。 推论 如果函数组 的Wronsky行列式在区间 上某点 处不等于零，即 ，则该函数组在该区间上线性无关。 应该指出，如果函数组 是齐次方程的 个解，此时，它的Wronskian行列式等于零将成为该组在 上线性相关的充要条件。这可由下面定理推出。 定理4  如果定理（4.2）的解 在区间 上线性无关，则 在这个区间的任何点上都不等于零，即 ( ). 证明（反证法） 假设没有某个 ,使得 ，考虑关于 的齐次线性方程组 其系数行列式 ，故它有非零解 ，现以这组常数构造函数 由定理2知， 是方程（4.2）的解,又因为 这表明这个解 满足初始条件 (4.5) 但是 显然也是方程(4.2)满足初始条件(4.10)的解,由解惟一性定理知 因为 不全为零.这与 线性无关相矛盾。 由定理4易得下面结论 推论1 设 是方程(4.2)在区间 上的 个解，如果存在 使 ,则该组解在 上线性相关. 推论2 方程(4.2)的 个解 在区间 上线性无关的充要条件是存在 使 。 由上述结论知，由方程(4.2)的 个解构成的Wronskian行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。 由定理1知，方程(4.2)满足初始条件. 的解 一定存在，又因为 故由定理4知，这几个解一定线性无关，由此即得下面的定理5。 定理5 阶线性方程(4.2)一定存在 个线性无关的解。 3．通解的结构 定理6  如果 是方程(4.2)的 个线性无关的解，则方程(4.2)的通解可表为  (4.6) 其中 是任意常数，且通解(4.6)包含了方程(4.2)的所有解。 证明 首先由叠加原理知，（4.6）是(4.2)的解，它包含有 个任意常数，由于 因而这些常数 是彼此独立的，因而(4.6)为(4.2)的通解。 对方程(4.2)的任一解 ，且满足初始条件 考虑方程组 由它的系数行列式就是 ，由定理4知 。 因而上面方程组有惟一解 ，以这组常数构造 ，则 是(4.2)的解，且有 ，由解的惟一性定理得 ,即 。 推论  方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于 ，因此可得结论： 阶齐线性方程的所有解构成一个 维空间。 方程(4.2)的一组 个线性无关解称为方程的一个基本解组。 注: 基本解组不是唯一的。 例2 设 是线性方程(4.2)的任意 个解，它们所构成的Wronskian行列式 ，试证明 满足一阶线性方程 因而有 证明  由于 微分上述行列式，得： 分别以 乘上上述行列式的第一行，第二行，…，第 行元素,再将 它们分别加到最后一行上去,这时,行列式最后一行的元素是: 由于 均是方程(4.2)的解，故可得 则 即: 从而 所以 故 例3  对二阶微分方程 ，若 是方程的一个解， 求它的通 解。 解  设 是与 不同的解，由刘维尔公式得 用 乘以上式两端，得 由此可得       取 则 ，是二阶方程的另一解，又因为 所以 是与 线性无关的解，从而通解为 （★） 例4  求方程 的通解。 解：容易看出，所给方程有解 ，在此处 由上面导出的二阶方程通解公式（★）可得该方程的通解为 4.1.3 阶线性非齐次方程的一般理论 1. 解的性质 性质1 阶线性非齐次方程(4.1)的通解等于它的对应齐次方程(4.2)的通解与它本身的一个特解之和. 性质2  阶线性非齐次方程(4.1)的任意两个解之差是对应齐次方程(4.2)的解. 2. 解的求法(常数变易法) 由此可见，求(4.1)的通解问题，就归结为求(4.1)的一个特解和对应齐次方程(4.2)的一个基本解组的问题了. 和一阶非齐次线性微分方程组一样，对于非齐次方程(4.1)，也能够由对应齐次方程的一个基本解组求出它本身的一个特解，即常数变易法. 具体做法如下: 设 是(4.1)的对应齐次方程(4.2)的 个线性无关解，则函数 是(4.2)的通解，其中 是任意常数。 现在设一组函数 ，使 （4.7） 成为非齐次方程(4.1)的解. 由非齐次方程(4.1)与一阶非齐次方程组的等价关系和第三章的(3.18)式，可知， 满足下面的非齐次方程组 它是关于变量 的线性代数方程组，由于它的系数行列式恰是齐次方程的 个线性无关解的Wronsky行列式，故它恒不为零，因此，上述方程组关于 有唯一解。解出后再积分，并代入到（4.7）中，便得到(4.1)的一个特解。 例5 求方程 的通解,已知它对应齐线性方程的基本解组为 . 解: 利用常数变易法.令 将它代入原方程. 则可得关于 和 的方程组.  解得:                                        因此,    于是原方程的通解为 其中 为任意常数. 教学反馈: 作业布置: P177-178,  1-12题