参数法求轨迹方程[会要]
参数法求轨迹方程
一、教学目标
(一)知识教学点
深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系,进一步掌握参数方程与普通方程的互化
(
(二)能力训练点
掌握运用参数求轨迹方程的方法,了解设参的基本原则和选参的一般依据,能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性,培养多向思维的流畅性(
(三)学科渗透点
通过学习选参方法,学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法(
二、教材
1(重点:运用参数求轨迹方程的方法(
2(难点:选择参数应遵循的一般依据,消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论(
3(疑点:设参的基本原则(
三、活动
1(活动:问答、思考(
2(教具:投影仪(
四、教学过程
(一)回忆、点题和明确任务
求动点的轨迹方程,如果动点坐标x、y之间的关系比较明显,那么可以用直接法,也就是建系、列式、化简(如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽,但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义,那么可以用定义法,也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量),然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程(如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义,那么就可以引进一些参数,用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来,然后消掉参数,这就是所谓的参数法求轨迹方程(
同学们常用的交轨法、换标法,实际上也是消去一些元,留下动点坐标x、y的方法,都可以叫参数法(在实践中大家已经知道,参数法求轨迹方程的步骤是:首先根据运动系统的运动规律设参,然后运用这些参数列式,再从这些式子中消参,最后讨论轨迹的纯粹性和完备性,我们称之为议参(其中,最关键的一步是设参,参设得不同,整个思维和运算过程不同,参设得不好,运算量增大,甚至根本就算不出来;最畏难一步是消参,经常遇到参消不了而越消越复杂的情况;最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论(如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密,大家可以从下面的例子中来思考和
(
(二)讲例1,设参基本原则
请看屏幕(投影,读题)(
例1 矩形ABCD中,AB=2a,BC=b,a,b,E、F分别是AB、CD的中点,平行于EC的直线l分别交线段EF、FC于M、N两点,求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)(
首先需要建立坐标系,请考虑,建立直角坐标系一般应选择什么位置,
学生1答:
选择边界、中心等特殊位置(
那么,这一题如何建立坐标系,
解:以E为原点,EB为x轴建立直角坐标系(各点坐标如图(投影换片,加上坐标系与相关点坐标)(
运动系统中,l主动,M、N从动,P随之 运动,请思考,在这一运动系统中有几种设参方法,
学生2答:
(1)l的纵截距c,
(2)|OM|=t,
(3)|FM|=t(
…
为什么可以这样设参,
一参对一点P,一P对一参,参变化P运动,参固定P静止,一句话:一切可以控制运动系统的量都可以设参(
这就是设参的基本原则(
|FM|=t,t?[0,b],P(x,y)( 设
学生3答:
不必要,只要找x、y、t间的最简单式子,从中能消参即可,这是列式的基本要求(
上面的消参方法,可以视x、y为常数代入消参,也可以是两式作用消参(参数t?[0,b]范围明显,但由于没有显参数方程,所以不便通过议参来确定x、y的范围,此时可根据运动系统的运动全过程,由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性(
l过F时,P合于F,l?OC时,P?B故x?0,y,0(
影片,显示轨迹)(
(三)讲例2,选参的一般依据
上面例1,设一个参数就可以了,并且消参也容易,下面的例2就不是这种情况,请看屏幕(投影,读题)(
例2 点A(1,1)、B、C是抛物线y2=x上的动点,满足AB?AC,作矩形ABPC,求P点的轨迹方程(图3-10)(
运动系统中,
面上看有B、C两个动点,实际上由于AB?AC,所以若B主动,则C从动,P随之运动,故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统(请思考,这题有几种设参方法,各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来,
学生4答:
(2)设点B坐标(t2,t)?kAB?kAC?C?P(
上述两种设参方法中,参数与动点P的关连都比较远,课后大家可以计算一下,实现这一关连,计算很是复杂(那么再考虑,能否再找一种设参方法,这种设参
方法不局限于一个参数,但确使参数与动点P间的关连比较近,
学生5答:
解:设B(t12,t1),C(t2,t2)?P(x,y)( 2
参数与P的关连很近,但参数多了一个,大家向来怕参数多,实际上,t1、t2之间本身有一个关系,F(t,t2)=0,而这一关系在消参的运用上或许无需显1
解成t1=f(t),只需要将F(t1,t2)=0用一下就可以达到消参目的(而前面的两2
种设参方法在消参过程中,实际上就是把t1、t2的关系F(t,t2)=0显解成1
t1=f(t),然后消参时又恢复成F(t1,t2)=0的重复计算过程(这种重复计算就2
是一开始所说的有时很复杂,有时根本就算不出来(是否真的如此,算算看:
? (t1+t)2=t2+t22+2tt2, 211
? (y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2](
即:(y+2)2=x-2(
想一想看,如果显解出t1=f(t2)再两式消t2,将会出现两个关于t2的二次方程,这就是消参计算复杂性的原因,因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中,选择与动点坐标关连密切的为参数(
这就是选参的一般依据,并且选参不要求唯一,多个参之间不一定独立(例1中一个参数需二个式,例2中二个参数需三个式,所以一般来说,n个参数需列n+1个式,而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参(
最后来讨论纯粹性和完备性(同例1不一样,显然x、y是参数的显示数,但是两个参数的函数,且两个参数有关连,并非独立,所以x、y范围难求(而用几何直观也比较困难,把两者结合起来:
示轨迹)(
由此可知,讨论轨迹的纯粹性和完备性,可以把几何直观与参数函数相结合(
(四)小结(已在教学过程中逐条总结并板书)
参数法求轨迹方程的步骤:
设参:一切可以控制运动系统的量都可以设参(基本原则),从中选择与动点关连密切的为参数(一般依据)(设参数不要求唯一,多个参数之间不一定独立(
用参:列式要弃繁就简,n个参数需列n+1个式(
消参:视x、y为常数,代人消参,两式作用消参,整体元消参(假含参式(即虽有x、y,但并非动点坐标)不能参与消参(
议参:几何直观与参数函数相结合(
五、布置作业
1(E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD、BC中点,长为
的轨迹(图3-11)(
解:以EF为x轴,EF中点为原点建立直角坐标系,则E(-1,0),
2即 x2-y=1(
据M点从A到OA中点及角到O的运动过程,画图可知,轨迹为双
22(点A(1,1),B、C是圆x2+y=4上的动点,且AB?AC,求BC中点P的轨迹方程(图3-12)(
解:设B(2cosα,2sinα)、C(cosβ,2sinβ)、P(x,y)(
2? x2+y=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)( kAC?kAB=-1,4(cosαcosβ+sinαsinβ)=2(cosα+cosβ)+2(sinα+sin
β)+2(
2? x2+y-2=2x+2y+2(
2即(x-1)2+(y-1)=2(
3(教材第121页第7、8题(
六、板书设计