矩阵论简明教程习题答案

矩阵论简明教程习题答案 习 题 一 1. 设为的任一特征值,则因 为的特征值, 故即 或2. 2. A,B, C,D时, 分别存在可逆矩阵P和Q, 使得 令 则 T是可逆矩阵,且 3. 设xi是对应于特征值的特征向量, 则 用左乘得 即 故 是A的特征值 4. (1) 可以 (2) 不可以. 5. (1) A的特征值是0, 1, 2. 故A=,(b,a)2=0. 从而 b=a.又 将代入上式求得 A=0. 有特征值 2, 2, ,1. 所对应的方程组 (2I,A)x=0 有解向量 ,1所对应的方程组 (I+A)x=0 有解向量 令 则 于是有 1 100100100 7( ,A有2阶子式 , ,4不是的因子, 所以的初等因子为,A的 Jordan形为 设A的相似变换矩阵为P=(p1,p2,p3), 则由AP=PJ得 解出 (2) 因为，故 , 设变换矩阵为 P=(p1,p2,p3), 则 的不变因子是 , 因为A可对角化，可分别求出特征值,1，2所对应的三个线性无关的特征向量: 当,1时，解方程组 求得两个线性无关的特征向量 当时，解方程组 得 2 (4) 因 ,故 A, 设变换矩阵为P=(p1,p2,p3), 则 p1,p2是线性方程组 的解向量，此方程仴的一般解形为 p 取 为求滿足方程 的解向量p3, 再取 根据 , 由此可得 s=t, 从而向量 pT 的坐标应満足方程 取 最后得 8. 设 的最小多项式为 作带余除法得于是 9. A的最小多项式为 设 则 于是 由此求出 3 f 的最小多项式为 , 11. 将方程组写成矩阵形式: 则有 其中 令 x=Py, 将原方程组改写成 : dy 则 解此方程组得: yt 于是 12. (1) A是实对称矩阵有特征值 10, 2, 2. 当时. 对应的齐次线性方程组 (10I,A)x=0的系数矩阵 , 由此求出特征向量p122 1=(,1, ,2, 2)T, 单位化后得 当时, 对应的齐次线性方程组 (I,A)x=0的系数矩阵 , 由此求出特征向量 p2=(,2, 1, 0)T, pT3=(2, 0, 1). 单位化后得 e3=( 235 , 435 , 5 35 则 )T. 令 (2) A是Hermit矩阵. 同理可求出相似变换矩阵 0i212 2 13. 若A是Hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵U, 使得 ， 于是 2 令 2 则 A=B2. 反之,当 A=B2且B是Hermit正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit正定矩阵,故A是Hermit 正定的. 因A是Hermit矩阵,则存在酉矩阵U,使得 令x=Uy, 其中 y=ek. 则 于是 ? 5 令 n)UH, 则 任取 有 2 xHAx=xHPHPx=Px2?0. 习 题 二 2. 当 时, 有 x，0; 当 x,0时, 显然有 x=0. 对任意有 n k 2 n k k 2 为证明三角不等式成立,先证明Minkowski不等式: 设 1?p，?, 则对任意实数 有 ? n p 1p n p 1p n p 1p 证 当 p=1时，此不等式显然成立. 下设 p，1, 则有 n k p ? n n 对上式右边的每一个加式分别使用Hölder不等式, 并由 (p,1)q=p, 得 n k p ? n n n p 1p n 1 n 1pq n p 1p n 1 ) 再用 除上式两边,即得 Minkowski 不等式. p 1p 则有 现设任意 n k 2 2 n ? 2 n ? n n 2 3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的 等价定义: 12 ? b) 121 ? 6 =max( xa,xb)+max( ya,yb) (2) 只证三角不等式. ?k1xa+k1ya+k2xb+k2yb =( k1xa+k2xb)+( k1ya+k2yb) . 1 22 列和范数(最大列模和行和范数(最大行模和)=9 ; 5. 非负性: A?O时于是 ,0. A=O时, 显然 A=0; 齐次性: 设则 三角不等式 m m m m m m ? ?m m m 相容性 m 6. 因为In?O, 所以In,0.从而利用矩阵范数的相容性得: ?InIn,即In?1. 7. 设 且 A=aij, 则 i,j ?? i k ikkik 2 i k ? [a i k ik k]2= a[2i k k ]2 =nAx2?nA=Amx2. 8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A=(aij), 且 A=maxi,j aij, B=aij, C=maxcst. 则 i,j s,t M ??max{m ,n }(A+B) i,j i,j M; AC M ? i,t k i,t k ?max{m ,n }max{ i,t k 2 不等式) k 2 =max{m ,n }nAC?max{m ,n }max{n ,l }AC=AMM. 下证与相应的向量范数的相容性. 设 则有 k ?k i k ikk ik ik ) ? ? k k 7 =AMx1; 2 i k 2 ? (a i k ik ? i k k 22k ) (Hölder不等式) = i k ?mnAx2 k 2 ?max{m ,n}Ax2=AMx2; Ax ? i i nn {?maxi k 2 ? k i 2 =nAD? 9. 只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性. 设 且 A=aij, B=maxbst, 则 i,j s,t AB G k n ikkt b? i,t2 k ?mlmax{ i,t ? 2 2 不等式) k ?mlnab=(mna)(nlb)=AGBG. i mn 2ikk (a i k ik k)2 ? ? (Hölder不等式) k k 2 i k 2 =AGx2. 10. 利用定理2.12得 2 2 2 11. 1 25 12(设x是对应于的特征向量, 则又设 是Cn上与矩阵范数 相容的向量 范数,那么 52 λ m ?Amxv v v 8 因 xv,0, 故由上式可得 λ ?Am. ? 习 题 三 当，1时, 根据定理3.3, A为收敛矩阵. 1. λI S(N)=S , 则 2. 令 (N) m N 反例: 设 则因 发散, 故 发散, 但 lim k 3. 设 , 则 ρ(A)?行和范数=0.9,1, 根据定理3.7, =(I, 4. 我们用用两种方法求矩阵函数eA: 相似对角化法-ia 当 时, 解方程组 (ia,A)x=0, 得解向量 p1=(i, 1)T. 当 λ=,ia时, 解方 程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p2=(,i, 1)T.令 , 则 =1于是 - . 利用待定系数法. 设eλ=(λ2+a2)q(λ)+r(λ), 且 r(λ)=b0+b1λ, 则由 0=cosa , b1=a sina .于是 sina 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设 或 则有 -sinia 与 由此可得 9 与 故 与 5. 对A求得 根据p69方法二, , 现设 则有 ,tet,2, b2=tet,et+1. 于是 ,te, , 同理,由 10 ,2, b2=1,tsint,cost. 将其代入 b0求出 7. 设 N N 则 f(A)=SN并且由于 (SN )T =N N 所以 =f(A)T. 8, (1) 对A求得 则有 t t2et et 2 et tet 对A求出 11 01000001 则有 11 2i211 44 =eO=I (2) sin(A+2πI)=sinAcos(2πI)+cosAsin(2πI) 11112!4!3!5!1111 = sinA[1,(2π)2+(2π)4,…]I+cosA[2π,(2π)3+(2π)5,…]I 2!4!3!5! =sinA[I,(2πI)2+(2πI)4,…]+cosA[2πI,(2πI)3+(2πI)5,…] =sinAcos2π+cosAsin2π (3)的证明同上. (4) 因为 A(2πiI)=(2πiI)A ,所以根据定理3.10可得 =eAe2πiI=eA[I+(2πI)+(2πiI)2+(2πiI)3+…] =eA{[1,(2π)2+(2π)4,…]+i[2π,(2π)3+(2π)5,…]}I =eA{cos2π+isin2π}I =eA 此题还可用下列方法证明: 12! 14! 13! 15! 12! 13! 12 用同样的方法可证 10. AT=,A, 根据第7题的结果得 于是有 11. 因A是Herm(iA)H=,iAH=,iA , 于是有 12. 根据定理利用定理3.14得 (d 15. 取 则 困为 dd所以当(A(t))A(t)=A(t)A(t)时, 有 dtdt 16. (1) 设 则 于是有 13 由于 BX与 的迹相同，所以 (2) 设则有 ， kllklk kk 17. 设则 且 18. 在上式中令t=0, 则有 的最小多项式为 记并设 则 14 于是 ,根据可得; 于是 2!3!2!3! 习 题 四 1. Doolite分解的说明,以3阶矩阵为例: 1112 r13 第1框 l21r22 r23 第2框 l l32 r33 第3框 计算方法如下: (?) 先i框，后i+1框,先r后l.第1框中行元素为A的第1行元素; (?)第2框中的r2j为A中的对应元素a2j减去第,框中同行的l21与同列的r1j之积(第3框中的r33为A中的对应元素a33先减去第1框中同行的l31与同列的r13之积，再减去第2框中同行的l32与同列的r23之积; (?)第2框中的l32为A中的对应元素a32先减去第1框中同行的l31与同列的r12之积，再除以r22. 计算如下: 1 3 0 2-6 15 2.Crout分解的说明,以3阶矩阵为例: l u12 u13 第1框 l21 l22 u23 第2框 l31l32 l33 第3框 (?) 先i框,后i+1框.每框中先l后r.第1框中的列元素为A的第1列的对应元素; (?)第2框中的li2为A中对应元素ai2减去第1框中同行的li1与同列的u12之积; (?)第2框中的u23为A中的对应元素a23减去第1框中同行的l21与同列的u13之积,再除以l22.第3框中的l33为A中的对应元素a33先减去第1框中同行的l31与同列的u13之积,再减去第2框中同行的l32与同列的u23之积. 计算如下: 0 2 -6 -6 2. 先看下三角矩阵的一种写法: 0a22a32 01a32a22 0a220 对本题中的矩阵A 求得Crout分解为 利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得 0150 16 5 对A的第1列向量β(1), 构造Householder矩阵H1使得 对A1列向量 1的第 , 类似构造Householder矩阵H2: 令 则有 并且 4. 对A的第1列向量 构造Givens矩阵 17 对A1的第1列向量构造 令 则有 于是 设对向量组施行正交化, 令 于是 18 写成矩阵行式 最后得 6. 令 则 再令 最后令 则有 ,1, 1)T, 是Householder矩阵. 同理, 对取 则 是Givens矩阵 8. 对 计算 ,2uu= 20 令 则 同理，对为构造Givens矩阵，令 当时， ，则 1. (1) 对A施行初等行变换 , , (3) , 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向量 e1,e2,e3,从而 21 令则 的特征值是，，对应的特征向量分别为 ， 取 构造正交矩阵于是 ‘ 所以，A的奇异值分解为 11. 根据第一章定理1.5, AHA的特征值之和为其迹，而由第二章2.7 F,范数的定义 的特征值之和 22