2020-2021学年广东深圳福田区莲花中学八年级上期中数学试卷

2020-2021学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题1．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．4的平方根是（）A．±2B．2C．±D．3．“厉害了，华为!”2019年1月7日，华为宣布推出业界最高性能ARM﹣based处理器一鲲鹏920．据了解，该处理器采用7纳米制造工艺．已知1纳米＝0.000000001米，则7纳米用科学记数法示为（）A．7×10﹣9米B．7×10﹣8米C．7×108米D．0.7×10﹣8米4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．，，C．8，15，17D．5，12，135．下列计算正确的是（）A．2×3＝6B．+＝C．2﹣＝2D．2÷＝6．x，y满足方程，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，过点A（0，3）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是（）第1页（共19页）A．y＝2x+3B．y＝x﹣3C．y＝x+3D．y＝3﹣x9．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（）A．a＜bB．a＜3C．b＜3D．c＜﹣210．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或1011．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）12．两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝72；③c＝98．其中正确的是（）A．②③B．①②③C．①②D．①③二、填空题第2页（共19页）13．一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝．14．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b的值为．15．点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2020＝．16．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是．三、解答题17．计算．（1）（﹣2）×﹣6．（2）．18．解方程组．（1）．（2）．19．某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．（1）月用电量为100度时，应交电费元．（2）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式为．（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？20．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，第3页（共19页）PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OG；（2）若设AP为x，试求CG（用含x的代数式表示）；（3）求AP的长．21．如图，已知直线AB：y＝x+4与直线AC交于点A，与x轴交于点B，且直线AC过点C（2，0）和点D（0，1），连接BD．（1）求直线AC的解析式．（2）求交点A的坐标，并求出△ABD的面积．（3）在轴上是否存在一点P，使得△APD周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买2盒A品牌和3盒B牌的口罩共需480元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需370元．（1）求这两种品牌口罩的单价．（2）学校开学前夕，该药店对学生进行优恵销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售，B品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售，设购买x盒A品牌的口罩需要的y1元，购买x盒B品牌的口罩需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式．（3）当需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．第4页（共19页）（1）求正比例函数与一次函数的关系式．（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．第5页（共19页）2020-2021学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级（上）期中数学试卷参考与解析一、选择题1．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：＝6，无理数有：，，，共有3个，故选：B．2．4的平方根是（）A．±2B．2C．±D．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：A．3．“厉害了，华为!”2019年1月7日，华为宣布推出业界最高性能ARM﹣based处理器一鲲鹏920．据了解，该处理器采用7纳米制造工艺．已知1纳米＝0.000000001米，则7纳米用科学记数法表示为（）A．7×10﹣9米B．7×10﹣8米C．7×108米D．0.7×10﹣8米【解答】解：7纳米＝0.000000007米＝7×10﹣9米．故选：A．4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．，，C．8，15，17D．5，12，13【解答】解：A．∵32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵（）2+（）2≠（）2，∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵82+152＝172，第6页（共19页）∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝132，∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．5．下列计算正确的是（）A．2×3＝6B．+＝C．2﹣＝2D．2÷＝【解答】解：A、原式＝6，所以A选项错误；B、与不能合并，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项错误；D、原式＝，所以D选项正确．故选：D．6．x，y满足方程，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：，①+②得，6x+6y＝﹣12，6（x+y）＝﹣12，x+y＝﹣2，故选：A．7．在同一坐标系中，函数y＝kx与y＝x﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于负半轴，则﹣k＜0，则k＞0，故此选项错误；B、由y＝kx经过第二、四象限，则k＜0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k第7页（共19页）＜0，故此选项正确；C、由y＝kx经过第一、三象限，则k＞0，y＝x﹣k与y轴交于正半轴，则﹣k＞0，则k＜0，故此选项错误；D、由y＝kx没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；故选：B．8．如图，过点A（0，3）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的表达式是（）A．y＝2x+3B．y＝x﹣3C．y＝x+3D．y＝3﹣x【解答】解：由图可知：A（0，3），xB＝1．∵点B在直线y＝2x上，∴yB＝2×1＝2，∴点B的坐标为（1，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；故选：D．9．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1）都在直线l上，则下列判断正确的是（）A．a＜bB．a＜3C．b＜3D．c＜﹣2【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+t（k≠0），∵直线l过点（﹣2，3）．点（0，a），（﹣1，b），（c，﹣1），∴斜率k＝＝＝，即k＝＝b﹣3＝，第8页（共19页）∵直线l经过一、二、三象限，∴k＞0，∴a＞3，b＞3，c＜﹣2．故选：D．10．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或10【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；如图2所示，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：BD＝＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，则BC的长为6或10．故选：C．11．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）第9页（共19页）【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，又∵∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．12．两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝72；③c＝98．其中正确的是（）A．②③B．①②③C．①②D．①③【解答】解：由函数图象可知，甲的速度为8÷2＝4（米/秒），乙的速度为400÷80＝5（米/秒），第10页（共19页）∴a＝8÷（5﹣4）＝8，故①正确；b＝5×80﹣4×（80+2）＝5×80﹣4×82＝400﹣328＝72，故②正确；c＝400÷4﹣2＝98，故③正确；∴正确的是①②③．故选：B．二、填空题13．一次函数y＝kx﹣3的图象经过点（﹣1，3），则k＝﹣6．【解答】解；把（﹣1，3）代入y＝kx﹣3中，k•（﹣1）﹣3＝3，解得：k＝﹣6，故答案为：﹣6．14．若a、b为实数，且b＝+4，则a+b的值为3．【解答】解：由题意得，a2﹣1≥0，1﹣a2≥0，a﹣1≠0，解得，a＝﹣1，则b＝4，则a+b＝3，故答案为：3．15．点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2020＝1．【解答】解：∵点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，解得：a＝3，b＝﹣4，∴（a+b）2020＝（3﹣4）2020＝（﹣1）2020＝1．故答案为：1．16．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是（0，6）．第11页（共19页）【解答】解：∵A（1，4），B（3，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，∵|BC﹣AC|≤AB，∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，此时C（0，6）故答案为（0，6）三、解答题17．计算．（1）（﹣2）×﹣6．（2）．【解答】解：（1）＝＝＝﹣．（2）＝＝＝﹣2．18．解方程组．（1）．（2）．【解答】解：（1），由①，可得：y＝2x﹣5③，③代入②，可得：3x﹣2（2x﹣5）＝8，解得x＝2，把x＝2代入③，解得y＝﹣1，第12页（共19页）∴原方程组的解是．（2）∵，∴，①×3+②×2，可得7x＝﹣7，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入①，解得y＝﹣1，∴原方程组的解是．19．某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发．该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．（1）月用电量为100度时，应交电费60元．（2）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式为．（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？【解答】解：（1）由图可知，当x＝100时，y＝60，即当用电量为100度时，应交电费60元．故答案为：60．（2）当x≥100时，设y＝kx+b（k≠0），由图可知图象过（100，60），（200，110）两点，代入可得，解得：，第13页（共19页）故y与x之间的函数关系式为．故答案为：．（3）当用电量为260度时，（元），即应交电费140元．20．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD．（1）求证：OP＝OG；（2）若设AP为x，试求CG（用含x的代数式表示）；（3）求AP的长．【解答】（1）证明：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，∵△ABP沿BP翻折至△EBP，∴△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG；（2）解：∵△ODP≌△OEG，∴PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x；第14页（共19页）（3）解：由勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8．21．如图，已知直线AB：y＝x+4与直线AC交于点A，与x轴交于点B，且直线AC过点C（2，0）和点D（0，1），连接BD．（1）求直线AC的解析式．（2）求交点A的坐标，并求出△ABD的面积．（3）在轴上是否存在一点P，使得△APD周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线AC解析式y＝kx+b，把C（2，0），D（0，1）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直线AC解析式．（2）联立，解得．∴A（﹣2，2），把y＝0代入y＝x+4中，得x＝﹣4，第15页（共19页）∴B（﹣4，0），∵C（2，0），∴BC＝6，∴S＝＝＝6，S＝＝＝3，△ABC△DBC∴S＝S﹣S＝6﹣3＝3．△ABD△ABC△DBC（3）作D、E关于x轴对称，∴PD＝PE，∵△APD周长＝AP+PD+AD，∵AD是定值，∴AP+PD最小时，△APD周长最小，∵AP+PD＝AP+PE≥AE，∴A、P、B共线时，AP+PE最小，即AP+PD最小，连接AE交x轴于点P，点P即所求，∵D（0，1），D、E关于x轴对称，∴E（0，﹣1），设直线AE解析式y＝mx+n，把A（﹣2，2），E（0，﹣1）代入y＝mx+n中，，解得，∴，令y＝0得，解得，∴，即存在点P使△APD周长最小．22．口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售A、B两种品牌口罩，购买2盒A品牌和3盒B牌的口罩共需480元；购买3盒A品牌和1盒B品牌的口罩共需370元．第16页（共19页）（1）求这两种品牌口罩的单价．（2）学校开学前夕，该药店对学生进行优恵销售这两种口罩，具体办法如下：A品牌口罩按原价的八折销售，B品牌口罩5盒以内（包含5盒）按原价销售，超出5盒的部分按原价的七折销售，设购买x盒A品牌的口罩需要的y1元，购买x盒B品牌的口罩需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式．（3）当需要购买50盒口罩时，买哪种品牌的口罩更合算？【解答】解：（1）设A品牌口罩的单价为x元，B品牌口罩的单价为y元，依题意得：，解得；（2）由题意得y1＝90×80%x＝72x，当0≤x≤5时，y2＝100x；当x＞5时，y2＝100×5+100×0.7（x﹣5）＝70x+150；∴；（3）买A品牌更合算．当x＝50时，y1＝72×50＝3600（元），y2＝70×50+150＝3650（元），3600＜3650，∴买A品牌更合算．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝k2x的图象交点为C（3，4）．（1）求正比例函数与一次函数的关系式．（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．第17页（共19页）【解答】解：（1）A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k1x+b得：，解得，∴一次函数关系式为y＝x+2，C（3，4）代入y＝k2x得：4＝3k2，解得k2＝，∴正比例函数关系式为y＝x；（2）①∠DAB＝90°，过D作DE⊥x轴于E，如图：由y＝x+2可得B（0，2），∴OB＝2，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AB＝＝，∵△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，∴AD＝AB，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠OAB，而∠DEA＝∠AOB＝90°，∴△ADE≌△BAO（AAS），第18页（共19页）∴AE＝OB＝2，DE＝OA＝3，∴OE＝OA+AE＝5，∴D（﹣5，3），②∠ABD＝90°，过D作DE⊥y轴于E，如图：同①可得：BE＝OA＝3，DE＝OB＝2，∴OE＝5，∴D（﹣2，5），综上所述，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；（3）存在y轴上的点P，使△POC为等腰三角形，理由如下：设点P（0，m），而C（3，4），O（0，0），∴OC＝5，OP＝|m|，CP＝，①当OP＝OC时，|m|＝5，∴m＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5），②当CP＝OC时，＝5，∴m＝8或m＝0（舍），∴P（0，8），③当CP＝OP时，＝|m|，∴m＝，∴P（0，），综上所述，△POC为等腰三角形，P坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．第19页（共19页）