江西科技师范大学
《高等
AII》考试大纲及
一、考试大纲
第八章 空间解析几何与向量代数
1、熟练掌握向量的运算:加法、减法、向量与数的乘法、数量积和向量积;以及运用数量积求两个向量的夹角、判别两个向量的垂直性;运用向量积求三角形的面积、平行四边形的面积、判别两向量的平行性;
2、会求向量的模以及一个向量在另一个向量上的投影;
3、熟练掌握平面方程和直线方程的求法;
4、会判别直线与直线、平面与平面、平面与直线的位置关系;
5、会求点到平面的距离以及点到直线的距离;
6、会求坐标平面内的曲线绕坐标轴旋转而成的旋转面的方程。
第九章 多元函数微分法及其应用
1、重点掌握多元函数偏导数的求法,特别是多元复合函数的求导、以及隐函数(一个方程的情形)的求导;
2、会求一些简单的二元函数的高阶偏导数(主要是二阶和三阶偏导数);
3、会求多元函数的全微分;
4、掌握二元函数极值的求法;
5、掌握在实际问题中最值的求法。
第十章 二重积分
1、重点掌握在直角坐标系下计算二重积分;
2、重点掌握在极坐标系下计算二重积分;
第十一章 曲线积分与曲面积分
1、熟练掌握对弧长的曲线积分的计算法;
2、熟练掌握对坐标的曲线积分的计算法;
第十二章 无穷级数
1、掌握常数项级数敛散性的判别法,特别是正项级数和交错级数敛散性的判别;
2、掌握级数的条件收敛与绝对收敛;
3、熟悉常数项级数敛散性的定义和性质,特别是级数收敛的必要条件;
1
4、会求幂级数的收敛半径和收敛域(包括区间端点)。
5、会求特殊的数项级数的和(如通过裂项法)
二、练习题
第八章 习题
1、在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限: (1);(2);(3);(4)。 A(2,,2,3)B(2,3,,4)C(2,,3,,4)D(,2,,3,1)2、已知两点和,求向量的模。 M(3,0,2)M(4,2,1)MM2112
,,,,,,,,,,,,,,,3、已知, 求向量的模。 a,2b,ca,2i,3i,4k,b,,3i,4j,7k,c,5i,2j,k
,,,,,,,,a4、已知向量,求(1);(2);(3)与的夹角a,ba,bba,(1,1,,4),b,(1,,2,2)
,,,a;(4)在上的投影。 b
,,,,,,,,,,,,,b,35、已知a,2,,c,4,,计算 。 a,b,c,0a,b,b,c,c,a6、求以三点、B和为顶点的三角形的面积 A(3,,2,1)B(4,3,,2)C(5,,8,3)
,,,,,,4aaa,(3,2,1),b,(2,,k),bb7、设试确定(1)的值使?;(2)的值使?。 kk123
8、求点到平面的距离. A(3,2,1)x,2y,3z,16,0
y,1x,1z,2,,9、求点到直线的距离. (1,2,,1)212
10、求过点、和三点的平面方程. (1,1,,1)(,2,,2,2)(1,,1,2)
,,11、求过点且平行于向量和的平面方程. (1,0,,1)a,{2,1,1}b,{1,,1,0}12、求通过x轴和点的平面的方程。 (4,,3,,1)
13、求过点且与平面平行的平面方程。 (3,0,,1)3x,7y,5z,12,0
14、求过点且与平面垂直的直线方程。 (1,,2,4)2x,3y,z,4,0
M(3,,2,1)M(,1,0,2)15、求过点和点的直线方程。 12
x,4z,316、求过点(,3,2,5)且与两平面和2x,y,5z,1的交线平行的直线方程。
17、研究以下各组平面之间、直线之间、直线与平面之间的位置关系:
2
(1)和; ,:2x,y,z,1,0,:,4x,2y,2z,1,012
123213x,y,z,x,y,z,:(2):和; L,,L,,12213426,,
432x,2y,5z,1x,y,z,:L:,,(3)和; L,,1212224,5
x,3y,2z,1L:,,(4)和; ,:8x,4y,6z,11,042,3
第八章 习题
1、(1)第四卦限;(2)第五卦限;(3)第八卦限;(4)第三卦限;
,,,,,93192、模等于; 3、 4、(1);(2);2a,b,a,b,(,6,,6,,3)
,,329,(3),46;(4); 5、; 6、; ,Prja,,3,b42
2625k,7k,,、(1);(2); 8、; 9、; 141233310、; 11、; 12、; x,3y,2z,0x,y,3z,4,0y,3z,0
x,1y,2z,4,,13、; 14、; 3x,7y,5z,4,02,31
x,3y,2z,1x,3y,2z,5,,,,15、; 16、 ,42143117、(1)平行但不重合;(2)平行但不重合;(3)垂直;(4)垂直;
第九章 习题
221、求函数在点处的偏导数。 (1,2)z,x,3xy,y
332、求函数 的偏导数. z,xy,yx
223、求函数 的偏导数. z,yln(x,y)
4、求函数 的偏导数. z,ln(xy)
25、求函数 的偏导数. z,sin(xy),cos(xy)
xz,lntan6、求函数 的偏导数. y
y
zu,x7、求函数 的偏导数.
222,z,z,z44228、设,求 ,和. z,x,y,4xy22,x,x,y,y
3
222,z,z,zx9、设,求 ,和. z,y22,x,x,y,y
x10、求函数 的全微分. z,xy,y
y
x11、求函数 的全微分.; z,e
yz11、求函数 的全微分. u,x
xy12、求函数在点处的全微分。 z,e(2,1)
yyz13、求函数u,x,sin,e的全微分。 2
dyx214、设,求 . siny,e,xy,0dx
dyy15、设,求。 y,xe,x,0dx
ydy22x,ylnarctan16、设=,求 . xdx
,z,zxz17、设,求 及 . ,ln,xzy,y
332218、求函数的极值。 f(x,y),x,y,3x,3y,9x
38m19、某厂要用铁板做成一个体积为的长方体有盖水箱,问长、宽、高各为多少时,才
能使用料最少,
3a20、求
面积为而体积为最大的长方体的体积。
第九章 习题答案
,z,z2332,,,3xy,y,z(1,2),7z(1,2),81、, 2、 ,x,3xy yx,x,y
2,z2y,z2xy223、, ,,ln(x,y),2222,xx,y,yx,y
,z1,z1,,4、, ,x,y,,,,2xlnxy2ylnxy
,z,z,,,,,y,,cosxy,sin2xy,,,,,,,xcosxy,sin2xy5、, ,x,y
4
z2x2x,z22x,6、 , csc,csc,,2,xyyyyy,
yyy,1,uy,uy,u1zzz7、 ,, ,x,,x,lnx,x,lnx2,xz,zz,yz
222,z,z,z22228、 ,12x,8y,,12y,8x,,,16xy22,x,y,x,y
222,z,z,zx2x,2z,19、,, ,y,lny,,,xx,1y,,,y1,xlny22,x,x,y,y
y,,,,11y1,,x,,,,10、 11、; y,dx,x1,dy,edx,dy,,2,,,,yyxx,,,,,,
yz,1yzyz22yzxdx,zx,lnxdy,yx,lnxdz12、 13、 dz,edx,2edy
2x1yy,eyzyzdu,dx,(cos,ze)dy,yedz14、 15、 22cosy,2xyy2dye,1,zz,zzx,y,16、 17、 18、 ,,,ydx1,xex,y,,,xx,z,xyx,z
2m19、为极小值,为极大值。 20、当长、宽、高都为时,f(1,0),,5f(,3,2),31
663所用材料最少。 21、当长方体的长、宽、高都为时,体积最大,且最大的体积为a。 a636
第十章 习题
x,2Dy,xxyd,1、求二重积分,其中由直线、和所围成的闭区域。 y,1,,D
2Dxyd,2、求二重积分,其中由抛物线和直线所围成的闭区域。 y,x,2y,x,,D
x,y,,D,(x,y)0,x,1,0,y,1ed,、求二重积分3,其中。 ,,D
22,,D,(x,y),1,x,1,,1,y,1(x,y)d,4、求二重积分,其中。 ,,D
D(3x,2y)d,5、求二重积分,其中由两坐标轴和直线x,y,2所围成的闭区域。 ,,D
Dxcos(x,y)d,6、求二重积分,其中是顶点分别为(0,0)、(,,0)和(,,,)的三角形,,D
闭区域。
5
2xx,27、求二重积分,其中由直线、及双曲线所围成的闭区域。 Dy,xd,xy,12,,yD
22,(x,y)228、求二重积分ed,,其中由圆所围成的闭区域。 Dx,y,1,,D
2222229、求二重积分,其中是圆环形闭区域 。 Dx,yd,a,x,y,b,,D
222210、求二重积分,其中由圆所围成的闭区域。 Dx,yd,x,y,2y,,D
11、交换下列积分次序
1yelnx(1); (2); dyf(x,y)dxdxf(x,y)dy,,,,0010
第十章 习题答案
,945820321、; 2、; 3、; 4、; 5、; 6、,; e,e88332
2,93233,17(b,a)、; 8、; 9、; 10、; ,(1,e)493
111e11、(1);(2); dxf(x,y)dydyf(x,y)dxy,,,,x00e
第十一章 习题
(x,y)dsL1、计算,其中为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段. ,L
2xdsL2、计算其中为由直线y,x及抛物线所围成的区域的整个边界. y,x,L
22n(x,y)dsLx,acost,y,asint3、计算,其中圆周 (0; ,t,2,),L
222(x,y)dxL4、计算,其中是抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一y,x,L
段弧.
,x,Rcostydx,xdyL5、计算,其中为圆周,上对应从0到的一y,Rsintt,L2
段弧.
222(x,2xy)dx,(y,2xy)dyL6、计算,其中是抛物线上从点到点(,1,1)y,x,L
的一段弧. (1,1)
232(x,xy)dx,(y,2xy)dy,L7、计算其中是四个顶点分别为(0,0)、 ,L
(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.
L(2x,y,4)dx,(5y,3x,6)dy8、计算O(0,0)A(3,0)B(3,2),其中为以、、,L
6
为顶点的三角形正向边界.
第十一章 习题答案
1562n,11、; 2、; 3、; 4、; (55,62,1)2,a,21512
145、0; 6、; 7、8; 8、 12,15
第十二章 习题
1、判别下列级数的敛散性:
,,,,1nn1!nn(1); (2); (3); (4); (1),,(1),,,,nnnlnn210nn,1n1n1,,1,
1,,
(5); (6) (n,n,1),,(2n,1)(2n,1)n1n1,,
2、判别下列级数的敛散性;若收敛,则说明其是条件收敛还是绝对收敛。
2n,,,n2sin1nn1,; (2); (3); (1)(1),,(1),,,2n!nnnn1n1,1,,3、求下列幂级数的收敛半径和收敛域。
nn,,,,x211n1nn,nn(1); (2); (3); (4); (,1)(,1)(x,)xn!x,,,,n!n2nn,1nn11,,0n,
n,,1x(,5)n(5); (6) (x,1),,n2,nn1n1n,,
第十二章 习题答案
1、(1)收敛; (2)发散; (3)收敛; (4)收敛; (5) 发散;
(6) 收敛; 2、(1)绝对收敛; (2)条件收敛; (3)发散
R,0x,0R,1R,,,3、(1),; (2),; (3),; (,1,1](,,,,,)
1R,2R,1R,(4),; (5) ,; (6) , [4, 6); (0,1][,1,3)2
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