2011年高考数学湖北卷理科第21题赏析

2011年高考数学湖北卷理科第21赏析 摇 (2011 年第 7 期?高中版) 试题赏析 56 2011年高考数学湖北卷理科第21题赏析 430010 武汉二中 张鹄 2011年高考数学湖北卷理科第21题为: 已知函数，求函数的最大值; ,fxxxx,,，,，,ln1,0,fx，，，，，，，， 设均为正数，证明: ,,abkn,1,2,,,，，，，kk bbbn12若，则 1abababbbb，，，,，，，aaa,,,,1，，112212nnn12n 1bbb222n12若，则 2bbb，，，,1,,,,,，，，bbbbbb，，12n1212nnn 1背景分析 本题第一问体现了导数作为工具用于研究函数最值等方面的应用，设问的函数也是理科考生所熟知的类型.因而,有利于稳定考生情绪，便于考生逐步进入后面的问题情境.第2问是以“若则”的命题形式pq两道证明题，旨在向考生暗示:结论要成立，需要具备一定的条件，这样引导考生注重对条件和结论 bbbn12在结构上的差异性分析，从而需要转化为成立即可，进而bababalnlnln0，，，,aaa,,,,1121122nnn 想到利用的结论所包含的不等式去掉对数符号，转化为条件的结构形式即得的证明.这体,1ln1aa,,，，，，kk 现了化归与转化的思想方法在突破解题困境时的重要作用. 至于最后一问，首先，与下面的不等式在结构上极为相似: xxx，，，12n222,,xxx，，，xxx12nn12设为正有理数，求证:，这是前国家集训队教练浙江xxx,,,,,xxx,,12n12nxxx，，，12n,, 大学数学系教授李胜宏所编《平均值不等式与柯西不等式》(数学奥林匹克小丛书高中卷4)第53页的第6题.事实上，令即为本题右边不等式.可以看出，这又是一道推陈出新的题目.从命题者给xxx，，，,112n 出的答案可见一斑:两者均从不等式等号成立的条件入手，这也是不等式证明中常用的方法之一. 1bbb222n12其次，若在两边取以常数为底的对数，则会发现它e,2.71828,,,,,，，，bbbbbbe，，1212nnn 其实是某些函数如与在0,1上的凸凹性的直接结论.由此可见，它具有高等数学的背景，yx,lnyxx,ln，， 具有替高校选拔优秀人才的功能，显然是全卷的压轴题. 最后，在试题结构和解法上与2005年全国,卷理科数学第22题: (?)设函数，求的最小值; f(x)f(x),xlogx，(1,x)log(1,x) (0,x,1)22 (?)设正数p，p，p，？，p,1p,p,p,？,p满足，证明: nn12312322 plogp，plogp，plogp，？，plogp,,n nn121222323222 nnnpp1ii,n22有一定的联系.事实上,2005年全国卷第二问也即 ppnpp,,,,,,logloglog2,,,iiii222n22222000,,ii,i 由此可见，今年湖北卷最后一问的两个不等式是根据两个已有的不等式改造而来的，这也明改造陈题变式推广仍是命制高考题的重要方法. 摇 (2011 年第 7 期?高中版) 试题赏析 56 2解法分析 2.1基本解法 nnnn易知，的结论包含着重要的不等式:.由此得到 ,babaabbln10,,,,,ln1xx,,，，，，,,,,kkkkkkk,,,,1111kkkk 1其次，的结论可从等号成立的条件入手分析.当条件中各相等时均为，又与的条件对照得知， ,,b1，，，，in nn11，为此可令，而，所以又可令.从而，由的结论可得， abb,,1a,1ain,,11,1,2,,，，，，,,iiiiinbnb,,11iiii bbbn12,,,,,,11111bbb，，bbb12nn12, ，即，. ,,nn？,bbb1,,,,,,12nbbbn12nbnbnbbbbn1212,,,,,,nn 同样的，由于中间小于等于右边的不等式与前面刚刚证明的不等式在结构上存在相似性，容易使人产生类 n2比推理的思维情境.这样，设想将右边转化为1，为此要两边除以右边的和式，于是可将它看成整体. Sb,,i,i1 nnb1bb2bin12由于想转化为利用来证明，因此，需要创造结论成立的条件.从而，由想,,aaa,,,,11bb,,12iinSS,,11ii bbbn12bbbb,,,,,,bbbb，，，bb222i12nnn1212到构造，于是由又得，即. 11bbbSSbbb,,,，，，a,,，，i1212nn,,,,,,SSSS,,,,,, 2.2高等解法 nn1,,2 这里，着重分析第二问的两个不等式.首先，欲证原不等式成立，只需证即可. bbb,,lnlnln,,,,iiin,,11ii,, n因为，再加上待证不等式形式结构与函数的凸凹性相似，因此，可构造函数，Gxxx,,ln,0,1b,1，，，，,i,1i 1''由于其二阶导数，所以，，是上凸函数.进而，由上凸函数的性质得到， Gx,lnxGx,,,0，，2x nnnnn,,,,2？， bbGbGbb1,bblnbln,,,,，，,,,,,,,,,kkkkkkkk,,,,,k1k1,,,,k1k1k1 另一方面，若想到最后的待证式在结构上与刚刚证明的不等式相同而方向相反，则不难想到构造一个 nnn1111111,,,,,,''下凸函数Fxxx,ln，则.从而,，又,, 得到FbFbFb,FFx,,0,ln，，，，，，,,,k,,kk,,,,nnnnx,,11,1nnkkk,,,,,, 原不等式成立. 由此可见，该题与高等数学中的函数的凸凹性有密切的联系.以往，湖北卷只在选择题中出现这种知识背景.今年则放在压轴题中进行考查.这样一来，关于这部分的知识内容要不要向学生讲以及讲多少的问题可能会成为课改背景下的研究性学习的内容. 2.3其它解法 2010年湖北高考最后一题最后一问也是设计数列不等式的问题.这类问题除导数外，还可以尝试用数学归纳法.细心的老师和学生会发现，那里给出的参考答案里也有数学归纳法.可见，数学归纳法也是解答 ,此类问题的常用方法.而且，前面列出的与本题有关联的2005年全国卷理科数学第22题就是用的这种方法.这样一来，若在平时多角度或横向或纵向的研究高考试题便不难得到下面的解法. 1 i当时,即证,由于bb，,1,记函数 n,2lnlnln,，bbbb，，1211222 gb,bbbbbbbblnlnln1ln1，,，,,,则 ，，，，，，111221111 摇 (2011 年第 7 期?高中版) 试题赏析 56 b'1， gbb,,ln,0,1，，，，111,b1 111,,易知当时取最小值; gbg,lnb,，，11,,222,, 1假设时,结论成立,即当个正数满足时,不等式 iibbb，，，,1,，，，bbbbbbnk,klnlnlnln，，12k1122kkk 成立. 则时, 由个正数满足得, , bbbb，，，，,1bbbb，，，,,1nk,，1k，1121kk，121kk， kbbbbb1k12ii记,则, 由归纳假设知, , 1,,bx1,lnln，，，,,k，1kxxxxx,1i kk1从而, , xxbbb，,,lnlnln,,iiik,,11ii kkk，11进而又得, , xxbbbbbbbbb，,，,，,lnlnlnlnlnln,,,ikkiikkii，，，，1111kiii,,,111 1因为， 记上边不等式左边为函数, hxbx,,1,,,，，1ln1lnlnxxxxx，，，，，，k，1k kkx1'''则, 从而, 时,;时,. hx,0hx,00,,xx,hx,，lnln，，，，，，1，k1，k1,xk kkkkkk11,,,,,,hxh,所以=+=.所以时成立. 1ln1,,lnnk,，1lnln，，，,,,,,,1，k11，，kk1，k111，，，kkkk,,,,,, 3简要评析 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时也考查综合运用数学知识进行推理的能1，， 力、以及化归与转化的思想方法. 从考查的过程来看，对不等式的考查力度较往年有所加大，同时也体现了对学生在高中数学主干知2，， 识等方面的较高的综合能力的要求. 这道试题入题容易，但完整解出较难.可见,命题体现了“起点低，落点高，分步把关，层层推进”3，， 的特点.从而，既有利于大多数考生的水平发挥，又利于为高校选拔思维品质优秀的考生. 4本题的命题过程体现如下特点:改造陈题变式演绎，前面不等式的结论又作为后面的研究基础，将，， 研究性学习方式纳入考查范围,为明年湖北首届课改高考作些铺垫.这就要求我们,在常规教学或高考复习中要注重以课改理念为基准，深入研究往年高考试题，准确理解主干知识所蕴含的方法和能力的要求，积极稳妥的引导学生思考问题，改进学习方式，从而培养他们的探究能力. (收稿日期:20110610)