浅谈构造法在中学数学中的应用--毕业论文

浅谈构造法在中学数学中的应用--毕业论文 【标题】浅谈构造法在中学数学中的应用 【作者】向兴志 【关键词】 构造法 中学数学 应用 创新思维 【指导老师】王玲芝 【专业】数学与应用数学 【正文】 1. 引言:创新教育是实施素质教育的有效突破口，是素质教育的具体化，而科学创新教育则以培养学生的创新能力为重点。创新能力的核心是创造性思维的培养，创新思维的实质就是合理地、协调地运用多种思维方式，使有关信息有序化的产生积极的效果和结果。在数学创新教育中，如何培养创新能力呢,而构造法作为重要数学方法之一属于非常规思维，带有试探性，不规则性和创造性，在中学数学教学过程中适当的应用有利于学生创新能力的培养。 构造法即构造性解题方法，是指在解题过程中，由于某种需要，把题设的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型之上得到实现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题获得解决。在这种思维过程中，对已有知识和方法采取分解、组合、变换、类比、限定、推广等手段进行思维的再创造，构成新的式子或图形来帮助解题的方法称之为构造法。用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解所给问题A，而是构造一个与问题A有关的辅助问题B，这里引出问题B并非为了它本身，而是通过它帮助解决问题A。如果问题B比问题A更简单更直观，那么这种思考问题的方法可能获得成功。在中学数学解题过程中，灵活正确地运用构造法，对培养学生的类比、概括、联想、迁移、转化等数学品质，对培养学生的创造性思维具有重要意义。本文将从以下十三个方面举例说明构造法在中学数学中的应用。 2.常用的构造法. 2.1构造函数法 由题设条件及数量关系，构想、组合成一种新的函数关系，使问题在新的函数关系下实现转化。通过对函数的研究使问题获得解决的方法称为构造函数法。 例1、 ,求证: + + 分析 不等式中四个式子形状相似均为 型，相当于函数f( )= 在相应四个点的函数值，这启发我们可以设置辅助函数来研究不等式。 :构造函数f( )= , + ,则研究这个函数性质如下: 当0 1 2时， f( 1),f( 2)= , = >0, 所以 函数f( )= 在 上是严格递增的。 又因为 . 所以有 ， 即 = + . 说明:利用不等式的特点，构造辅助函数，将不等式的证明转化为利用函数增减性与极值来研究，是很有用的方法。 2.2构造命题法 在对有些命题采取直接论证发生困难时，我们可以考虑去构造等价命题、辅助问题或引理，从而获得问题解决的方法，称为构造命题法。 2.2.1构造等价命题 如果遇到的数学问题直接证明(或求解)较困难时，我们可以构造其等价(或接近)命题，并通过证明其等价(或接近)命题成立，从而使原命题成立。 例2、求证:面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖。 证 首先我们把问题转化为它等价的逆否命题。 1) 若 ?PQR的顶点在?ABCD的内部(包括在边界上)， 则S?PQR S? ABCD. 把问题转化为1)的形式之后，结论显得直观。在图中对于图形(a)那样的特殊情况。即?PQR有两个顶点在平行四边形的同一边上是，显然有S?PQR S? ABCD.对于图(b)那样的情况，只通过PQR的任意一顶点例如P，引平行于AB的直线，分别交AD、QR、BC于E、M、F则转化为两个图(a)那样的特例了。 这时有 S?PQR=S?PQM+S?PMR S?ABFE+ S?EFCD. 2.2.2构造辅助命题 在解题时如果缺乏现成的根据，那么我们可以分析题目的特点，构造一个辅助命题，以此作为“桥梁”，只要证明了辅助命题是真命题，原命题就可以解出。 例3、解方程 - = - ? 分析 通常的做法是用移项，两边平方，合并同类项，化为简单的一元二次方程。但是根号内二次项的系数不为1，则在计算时比较烦琐。这时我们注意观察等式两边未知数系数都相同，我们可以用平方差的知识，构造一个辅助等式。 解:构造辅助等式 ( )-( )=( )-( ) ? 因为?式两端不等于0，由???， 得 + = + ? 由?+?得 = ， 所以，经验证 是原方程的根。 2.3构造数列法 在处理与自然数 有关的数学问题时，根据题目提供的特征，通过代换构造出一个与欲解(证)问题有关的数列，并对该数列的特征进行分析，由此探寻出解题的途径，我们把这种方法称为构造数列法。 例4、设 + +„+ (n N)， 证明 < < . (1985年高考试题) 分析 本题是求证与自然数 有关的不等式问题，通过对所证不等式的观察可以看出其本质与数列有关，我们可以考虑构造一个数列来帮助解决问题。 证明:构造数列 ，因为 =( )-[ - ] = =- 0 所以 ，, ,是递减数列， <0 故有 . 再构造数列 ，因为 = - =0 所以{ }是递增数列。 0 0 故 . 综上可知 . 2.4构造几何图形法 如果题目条件中的数量关系有明显的或隐含的几何特征，或能以某种方法与几何 图形建立起联系，则可以考虑通过构造几何图形，将题目中的数量关系直接在几何 图形中得以实现，借助图形的性质寻求问题的结论，这种解题方法称为构造几何图 形法。 例5、已知 均为正数，且 , = 求证: . 分析 由 可以得知且满足三角形的勾股定理，可联想构造直角三角形，又依 想到， 依前一直角边为斜边， 为一边构造另一个三角形，然后解题。 证明:如图所示，作Rt?ABC， 使AB= ,BC= .AC= . 又作CD?AB于D，且令CD= , 依射影定理有， =BC2=DB?AB 即所构造出来的图形满足题设条件. 由面积公式有 . 所以题设得证。 例6、已知 均为正数， . 求证 : 证明:设 ,( 均为锐角)， 则 。 由上式知，可构造一长方体，对角线 长于l,且与棱BB1，A1B1，B1C1的夹角分 别为 如图 因为 + + = + + =3+ 3+2+2+2=9 例7、求函数 值域. 解:令 =- = ,构造图形 如图， 为单位圆， = 表示连接定点P(2，3)与单位圆上任意 一点( )所得直线 的 斜率，显然该直线与圆相切时 取得最值， 此时原点到这条直线的距离为1 即 =1 故 ， 所以， . 2.5构造对偶式法 例8求 的值。 分析:本题是计算三角函数值的问题，通常是运用和差积商的方法将式子转化成 特殊的三角函数值，但这样做复杂且易出错，我们可以同过构造与题目相对应的式 子来求解。 解:构造对偶式 设 = = . 则 =( ) +( ) = . ? =( ) -( ) = =- ? 由?+? 得 = . 故 = 。 2.6构造不等式法 研究某些等式或不等式问题，可以通过构造一个(或几个)不等式，则问题转化为 研究这个(或这些)不等式的某个(些)的性质。构造不等式的技巧往往依赖于对 原问题的结构特点的研究，隐含条件的挖掘和丰富的联想思维以及较高的抽象思维 能力 例9、已知 ,求证 . 分析:直接利用条件进行比较，思路不好定，不妨从研究简单问题开始，构造不等 式. 解:已知 , . 因为 , , 所以 , , . 即构造出不等式 . 继续构造:已知 ,利用上面的结论有 . 即构造出不等式 同理有: . 即构造出不等式 , 所以题设得证。 2.7构造复数法 例10、解方程组 分析 本题用一般的方法解比较困难，因为在化简的时候有三次方不好消元，并且在计算的过程中比较烦琐，且容易出错。我们观察题目的特征，可用复数的性质来帮助解决。 解:构造复数Z1= i,Z2= i, 由| Z1+ Z2| | Z1|+| Z2|得 把 和 代入(4)得 即 又因为 所以 从而， 。由于(4)等号成立的条件是 ，因此有 ， 则方程(1)，(2)有唯一一组解 ，它也适合(4)式， 故原方程的解为 。 2.8构造表达式法 根据问题A的特征，构造新的变量和式子用来代换原变量或式子，使问题转化为熟知的问题B的研究，从而获得A的解决方法称之为构造表达式法。 例11、已知 是方程 的两个根，且 不解方程，求 的值。 分析:利用韦达定理可得 , 但所求式 不是关于 , 的对称式，关键是构造关于 、 的对称式 解:设A= ，B= , 则 A+B=2( )+3( ) =2 +3[( )-2 ] = =100 , A-B 2 =2 . 由于 ，所以有 于是， = = 所以 = 。 2.9构造方程法 所谓构造方程通常是构造一些特殊的方程，如一元二次方程等，因为一元二次方程本 身具有一些扩展的内容，如方程有实根则其判别式不小于0;其根与系数之间有特殊的关系——韦达定理;方程在区间上实根可与函数的图象产生对应等等。 例12、已知 是实数，且满足 ， 求证: 分析 若直接从题中条件推导结论，不知如何入手。不妨转化条件，研究 满足 的条件，构造一个有关的方程。 证明:由题意得 又因为 , 所以 = 由(1)、(2)可知， 是方程 ( )=0 的两个实根。 所以 ?=(8- )-4( ) 0 整理得 3 解得 同理可证 ， 。 2.10构造反例法 对某个命题来说，反例就是符合命题的条件，但与命题的结论相矛盾的例子。构造反例是一种从无到有的创造，往往需要直觉洞察力。通过构造反例的训练，有利于学生增强数学严密性，发展直觉洞察力，更有利于学生批判性思维和创新精神的培养。 例13、三边长和面积的数值都是整数的三角形叫海伦(Heron)三角形。命题“任何海伦三角形都有一条高长为整数”是否正确, 分析 这个命题不正确。例如构造一个三角形的三边分别为a=5,b=29,c=30,则半周长P= =32， 于是由海伦公式，得三角形面积 S= = =72 而三边上的高分别为 , , 它们都不是整数。所以构造的反例，说明原命题是错误的。 2.11构造向量法 向量是数学的基础知识，是代数学与几何学的联姻的重要媒介，有了向量(矢量代数)，可以把纯几何问题代数化，有了向量，代数学中的空间就有更丰富的可想象性，因此，向量就成为解决数学问题的一种有力工具。它的思想方法可以使很多辣手，繁杂的问题得以合理、顺利的解决，同时，可为许多抽象的，高维的数学问题提供形象的几何模型与背景。 例14、讨论方程组 是否有唯一一组解，若有请求出这组解，若没有请说明理由。 分析:通过给出的方程组可构造两个空间向量，通过向量的坐标运算和数性积讨论两向量的位置关系来获得两向量的坐标间的关系，进而探究方程组解的存在性。 解:根据给出的方程组，构造向量 =( )， ，那么 ， 又 由上两式得 ，所以 与 共线。故可设 代人方程 ，解得 ，所以，方程组存在唯一一组解， 且为 ， ， 。 2.12构造坐标法 例15、已知向量a与b不平行，求证向量 与 不平行。 分析 在解题时用通常的方法难以入手，因为从题目中很难找出对解题有帮助的信息。但是，题目说到是与向量有关的问题，我们就可以考虑从向量入手。把向量有坐标系中的坐标点来表示。构造出坐标点来帮助解题。 证明:构造坐标点 设 , 因为 不平行 , 所以 , 所以 与 不平行。 例16、已知正数 满足 ,求证 证明:构造坐标点 (-2，2)， ( )则不等式左边就是 ， 又因为是 ( )直线 被坐标轴截的 线段AB上的点， 且AB的中点C到P点的距离 = ， 又|PC|是等腰PAB底边的高，则有|PQ| |PC| 即命题 2.13构造模型法 构造模型法是通过建立模型来揭示客体的形态、特征和本质的方法。构造数学模型是求解数学问题的 一种重要方法。这种构造方式是将问题中的条件、数量关系在已构造的模型上实现，并得到一种解释，从而实现问题的证明、后转化为在所构造的“模型”上对相应问题的证明。 例17、求证 。 分析 注意到组合数性质: ，要证等式的左边可以变形为 ，因此，可以建立适当的组合计算模型来证明。 证明:设有 个白球， 个红球，从这2 个球中取出 个球的取法种数，即为 另一方面，可以看成 次如下的取球活动:从 个白球中取 个，再从 个红球中取( )个，取法种数为 ， =0,1,2,„, 。符合题意的取球种数是 故 例18、证明: 证明:构造概率模型，从装有 个白球， 个红球的袋子里，随机摸出k(k ) 个球来，其中恰好有白球的概率. 令 ={恰好有个白球}，则 ， 注意到事件 为必然事件，且诸 互不相容， 有 ( )= 于是有 + + = 1 两端同乘 ，即有原恒等式。 3结束语:解题中构造法的运用，虽灵活多变，但有一定的规律可循，只要解题者具有扎实的中学数学基础知识，掌握基本解题方法，有一定的联想、类比的技能技巧，对待新问题能够透过现象看本质，合理有效地进行知识的迁移，构造问题的新的条件特征，从而寻找最佳的解题途径，就能理解构造法简约而蕴涵着创新的特点，既而达到提高数学水平，培养能力的目的。