角的比较与运算

3.4 角的比较与运算 A卷  基础知识达标 （45分钟  100分） 一、选择题（每题5分，共35分） 1．下列语句中，正确的是（  ）． A．比直角大的角钝角;                  B．比平角小的角是钝角 C．钝角的平分线把钝角分为两个锐角;    D．钝角与锐角的差是锐角 2．两个锐角的和（  ）． A．必定是锐角;        B．必定是钝角; C．必定是直角;        D．可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角 3．两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角（  ）． A．一个是锐角，一个是钝角;  B．都是钝角; C．都是直角;                D．必有一个是直角 4．下列说法错误的是（  ）． A．两个互余的角都是锐角;              B．一个角的补角大于这个角本身; C．互为补角的两个角不可能都是锐角;    D．互为补角的两个角不可能都是钝角 5．如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（  ）． A．42°，138°或40°，130°;    B．42°，138°; C．30°，150°;                  D．以上都不对 6．如果∠A和∠B互为余角，∠A和∠C互为补角，∠B与∠C的和等于120°，那么这三个角分别是（  ）． A．50°，30°，130°;      B．75°，15°，105°; C．60°，30°，120°;      D．70°，20°，110° 7．如图1所示，∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则（  ）． A．∠α=β    B．∠β=∠γ    C．∠α=∠β=∠γ    D．∠α=∠γ (1)                (2)                      (3) 二、填空题（每题5分，共25分） 8．如图2，OB是_____的角平分线；OC是_____的角平分线，∠AOD=______，∠BOD=______度． 9．如图3，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BCO，∠AOB为直角，∠EOD=70°，则∠BOC的度数为_______． 10．∠1= ∠A，∠2= ∠A，则∠1和∠2的关系是_______． 11．如图4，射线OA表示北偏东_____，射线OB表示_____30°，射线OD表示南偏西_______，欲称西南方向，射线OC表示________方向． (4)                  (5)                  (6) 12．如图5，小于平角的角有______个，∠EOC=_____+_______． 三、解答题（每题10分，共40分） 13．如图6所示，直线AB上一点O，任意画射线OC，已知OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，求∠DOE的度数． 14．如图3-4-5所示，已知∠BOD=2∠AOB，OC是∠BOD的平分线，试表示出图中相等的角． 15．如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD． 16．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE为射线，试问，图中小于平角的角共有几个？ 请一一列出． 随堂检测： 1、∠β与∠α互余，∠γ与∠α互补，∠α=37°21′，那么∠β=______，∠γ=_____. 2、（1）一个角的补角比它的余角的2倍还大18°，求这个角. （2）已知一个角的补角比它的余角的3倍还多18°, 求这个角的度数。 （3）已知一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好是这个角的4倍, 求这个角的度数。 （4）已知一个角的余角比它的补角的 还少6o，求这个角。 B卷  发散创新应用 （45分钟  100分） 一、综合题（1题21分，2题13分，共34分） 1．（1）如图所示，ON是∠BOC的平分线，OM是∠AOC的平分线，如果∠AOC=28°，∠BOC=42°，那么∠MON是多少度？ （2）如果∠AOB的大小保持与上图相同，而射线OC在∠AOB的内部绕点O转动，那么射线OM、ON的位置是否发生变化？ （3）∠MON的大小是否发生变化？如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围． 2．一个角的补角是它的余角的3倍但少20°，求这个角的大小． 二、应用题（每题14分，共28分） 3．有一张地图（如图），有A、B、C三地，但地图被墨迹污损，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能确定C地的位置吗？ 4．如图所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm（此时位置记作C点）． （1）画出蚂蚁的爬行路线；（2）求出∠OBC的度数． 三、创新题（每题14分，共28分） 5．如图所示，已知钝角∠α，画出它的补角和它的补角的余角． 6．如图所示，共有多少个角？一般地，你能得到什么结论？ 四、中考题（每题5分，共10分） 7．如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB的度数为______度． 8．若∠A=34°，则∠A的余角度数为（  ）． A．54°    B．56°    C．146°    D．66° 答案: 一、 1．C  分析：从锐角、钝角的定义入手，比平角小的角有可能是直角或锐角，比直角大的角可能是平角或周角．设α是钝角，90°<α<180°，45°< <90°，可见α的一半是锐角． 2．D  点拨：从锐角的定义全面考虑． 3．D  分析：设这两个角的度数分别为x、y， 由两个角互补的定义得（x+y）+（x-y）=180°，2x=180°，则x=90°，故选D． 4．B  分析：当一个角是钝角时，它的补角是锐角，而锐角小于钝角． 5．B  点拨：用验证法，从倍数关系与两角之和应为180°两方面考虑． 6．B  点拨：用验证法得知及是正确答案． 7．D  点拨：∠α和∠γ都是∠β的余角．二、 8．∠AOC  ∠AOD  60°  45 点拨：关键在于正确使用角平分线的定义． 9．50°  分析：∠EOD的度数是∠AOC的度数的一半，而∠BOC=∠AOC-∠AOB． 10．相等  分析：∠1为∠A的一半，∠2为∠A的一半，则∠1=∠2． 11．30°  北偏西  45°  正南 12．9  ∠COD  ∠DOE  分析：以OA为角的始边，分别以OE、OD、OC和OB为终边形成∠AOE、∠AOD、∠AOC和∠AOB；以OE为始边，分别以OD、OC和OB为终边所形成的角为∠EOD、∠EOC和∠EOB；以OD为始边分别以OC、OB为终边所形成的角为∠DOC和∠DOB；以OC为始边，OB为终边所形成的角为∠COB．这些角中除∠AOB为平角除外，故共有9个角．因OC为∠DOB内的一条射线，故∠EOC=∠COD+∠DOE． 三、 13．90°  分析：因为OD平分∠AOC，OE平分∠COB，∠DOC= ∠AOC，∠COE= ∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB， ∵∠AOB=180°，∴∠DOE= ×180°=90°． 点拨：∠DOE=∠DOC+∠COE，利用角平分线定义，可得∠DOE= ∠AOC+ ∠BOC． 14．∠AOB=∠BOC=∠COD，∠AOC=∠BOD  分析：利用角平分线的定义和题目中提供的倍数关系． ∵∠BOD=2∠AOB．OC是∠BOD的平分线， ∴∠DOC=∠COB=∠AOB． 又∵∠DOC=∠COB=∠AOB，∠DOC+∠BOC=∠BOC+∠AOB，即∠BOD=∠AOC． 点拨：等角的和仍相等． 15．15°  分析： （1）∠COD是∠BOD与∠BOC之差， 而∠BOC是∠AOB与∠AOC之差． 解：∠BOC=∠AOB-∠AOC=165°-90°=75°，∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-75°=15°． （2）∠AOC+∠BOD=180°①，∠AOB=165°②，①式中的度数大于②式中的度数， 这是因为∠AOC与∠BOD中都含有∠COD，即∠AOC+∠BOD中有两个∠COD， 而在∠AOB中只有一个，所以两者之差即∠COD的度数． 解：∠COD=（∠AOC+∠BOD）-∠AOB=（90°+90°）-165°=15°． 16．8个，它们是∠AOE、∠AOD、∠EOD、∠EOB、∠DOB、∠BOC、∠COA、∠COE． 分析：当构成角的两边的射边方向相反时，所夹的角称为平称． 此题要求列出小于平角的角，只要从点O发出的五条射线中任取两条，除去OA与OB、OC与OD两组即可． B卷 一、（1）35°  分析：∠MON=∠MOC+∠CON，根据角平分线的定义 ∠MOC= ∠AOC= ×28°，∠CON= ∠COB= ×42°，从而∠MON的度数可求． 解：∠MON=∠MOC+∠CON= ∠AOC+ ∠COB= （∠AOC+∠COB） = （28°+42°）=35°． （2）OM、ON的位置发生变化  分析：当OC绕点O转动时，∠AOC的大小发生变化， 由于∠AOM= ∠AOC，所以∠AOM的度数也发生变化， 又因为射线OA的位置不变， 所以OM的位置随OC的位置变化而变化． （3）∠MON的大小不变，为 ∠AOB=35°． 分析：∠MON= ∠AOC+ ∠BOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB= ×70°=35°． 2．这个角为35°  分析：设这个角为α，则它的补角为180°-α，它的余角为90°-α， 依题意知180°-α=3（90°-α）-20°，解得α=35°，即这个角为35°． 二、 3. 分析：因C在A地北偏东30°，在B地南偏东45°，在A、B两点作出方位图C，既在AC上，又在BC上，所以求出两条射线的交点即可． 4．（1） 分析：先以O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画45°的角，使它的一边OB′落在东与北之间，在射线OB′上取OB等于2.5cm，同理可以B点为顶点，画出BC=3cm，则：OB、BC是蚂蚁所行的路线． （2）75°  分析：∵∠COB=∠OBD=45°，∠EBC=60°，∠DBC=90°-∠EBC=90°-60°=30°， 那么∠OBC=∠OBD+∠DBC=45°+30°=75°． 三、 5． 如图，∠BOC是∠α的补角，∠BOD即是它们的补角的余角．  分析：延长AO，则∠BOC即是∠α的补角， ∵∠BOC+∠α=180°；过O作OD⊥CA， 则∠BOD即是它的补角（即∠BOC）的余角， ∵∠BOD+∠COB=90°． 6．10个角  个角  分析：如图以OA1为始边的角有：∠A1OA2，∠A1OA3，…∠A1OAn+1，共n个， 同理以OA2为始边的角有（n-1）个，…以OAn为始边的角只有∠AnOAn+1， 所以共有n+（n-1）+…+1= 个角．… 四、 7  分析：观察图形可知，所求两角之和刚好是两个直角的和． 解：∠AOC+∠DOB=2×90°=180°． 点拨：结合图形解题是几何的一大特点． 8．分析：如果两个角的和等于90°，则这两个角互余．90°-34°=56°． 解：选B．点拨：根据余角的定义计算．