幂指函数极限和导数的计算方法

幂指函数极限和导数的计算 摘要:介绍了计算一元和多元幂指函数极限和导数的方法,旨在对幂指函数有更深的理解和掌握。 关键词:幂指函数;极限;导数;对数求导法 幂指函数是高等微积分学中一类特殊的函数,如何来计算幂指函数的极限和导数是一难点。本文介绍计算一元幂指函数的极限、导数和多元幂指函数的重极限、偏导数的方法,给出相应的求解思路和重要结论,供初学者参考学习。 一、一元幂指函数[y=uxvxux>0,ux≠1] 1.极限计算 命题1:设[limux]=[A>0],[limvx]=[B],则[limuxvx]=[limevxlnux]=[elimvxlnux]=[elimvx?lnux]=[ eBlnA]=[AB]=[limuxlimvx]。 命题2:设[limux]=1,[limvx]=[∞],且[limvxux-1]=[A],则[limuxvx]=[eA]。 命题3:设[αx]和[βx]是同一自变量趋近过程的无穷小,且[limfx=1],[αx]~[α'x],[βx]~[β'x],若[limfx-1βx]=[A],[limα'x+11β'x]=[B],则[limαx+fx1βx]=[BeA]。 特别地, 当[limfx-1βx]=0时,[limαx+fx1βx]=[limα 'x+11β'x]。 2.导数计算 方法一:对数求导法。等式两边取对数,得[lny=vxlnux];等式两边对x求导,得 [y'y=v'xlnux+vxu'xux]; 即[y'=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。 注1:使用对数求导法时注意函数的取值是否为正。 方法二:复合函数求导法。将y的达式变形为[y=evxlnux]。由复合函数求导法则得, [y'=vxlnux'evxlnux=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。 二、二元幂指函数[z=ux,yvx,yux,y>0,ux,y ≠1] 1.重极限计算 命题4:设[limu][x,y]=[A>0],[limv][x,y]=[B], [则limux,yvx,y=AB=limux,ylimvx,y]。 命题5:设[limu][x,y]=[1],[limv][x,y]=[∞],且[limv][x,y][ux,y-1]=[A],则[lim][ux,y][vx,y]=[eA] 2.偏导数计算 方法一:对数求导法。等式两边取对数,得 [lnz=vx,ylnux,y]; 等式两边对x求偏导得,[1zδzδx=δvδxlnux, y+vx,yux,yδuδx]; 即[δzδx=δvδxlnux,y+vx,yux,yδuδxux, yvx,y]。同理可求得[δzδy]。 方法二:二元复合函数求导法。将z的表达式变形为[z=evx,ylnux,y]。由二元复合函数求导法则得, [δzδx=evx,ylnux,yδvx,ylnux,yδx=δvδxlnux, y+vx,yux,yδuδxux,yvx,y]。同理可求得[δzδy]。 注2:对于三元幂指函数[u=ux,y,zvx,y,zux, y,z>0,ux,y,z≠1]类似可求得相关结论。 参考文献 [1]同济大学数学系.高等数学()[M].北京:高等教育出版社,2014:103-104. [2]张辉,敬斌,李应岐.一个幂指函数极限的计算方法探讨[J].数学学习与研究,2017:16. [3]张辉,李应岐,陈春梅,敬斌.高等数学常见疑难问题解析[J].郑州师范教育,2014,3(4):69-71. 基金?目:陕西省教育厅专项科研计划项目(编号: 16JK1696)资助。