一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法 -------摘自高中数学网站 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次 32方程的求根公式的配只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式 3化为x+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公 3式的形式。归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为33x=型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，A，B 下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q示A和B。方法如下: 33(1)将x=两边同时立方可以得到 A，B 3333(2)x=(A+B)+3( ) ABA，B 3333(3)由于x=，所以(2)可化为 x=(A+B)+3x，移项可得 A，BAB 333(4)x,3x,(A+B),0，和一元三次方程特殊型x+px+q=0作比较，可知 AB 3(5),3,p,,(A+B)=q，化简得 AB p3(6)A+B,,q，AB,— ()3 (7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题， 2因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 bc(8)y，y,,,y×y= 1122aa pbc3(9)对比(6)和(8)，可令A,y，B,y，q,，,, ()12aa3 2(10)由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为 22，,,,bb4acbb4acy,, ，y,, 可化为 122a2a bbcbbc22,,,,，,(11)y,,()()，y2,()() 1aaaaaa2222 pbc3将(9)中的A,y，B,y，q,，,,代入(11)可得 ()12aa3 qqpqqp2323,,()，(),，()，()(12)A,，B, 223223 33(13)将A，B代入x=得 A，B qqpqqp232333(14)x=+ ,(),()，(),()，()，()223223 式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。