高中数学 2.1.2曲线与方程教案2 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学教案

§2．1．2求曲线的方程【学情分析】：通过上节课的学习，领会了“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；对坐标法求点的轨迹方程有一定了解；【教学目标】：知识与技能1、了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程2、画出方程所表示的曲线3、能利用曲线的方程研究曲线的性质过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.了解求点的轨迹方程的几种常用方法3.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】：求曲线方程的方法、步骤【教学难点】：利用方程研究曲线的性质【课前准备】：多媒体、实物投影仪【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。二．坐标法与解析几何主要研究问题1.坐标法在笛卡尔以前，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到二元方程的解都是不确定的对于这种“不定方程”，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的。笛卡尔却对对这个“没有意义的课题”赋予了新的生命，他没有把看成是未知数，而是创造性地把看成是变量(从此，变量引入了数学)，让连续地变，则对每一个确定的的值，一般来说都可以从方程算出相应的值(这就是函数思想的萌芽)然后，他把这些点的集合便构成了一条曲线C由这样得出的曲线C和方程有非常密切的关系：曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应的点都在曲线上这就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系这个“一一对应”的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法（就是借助于坐标系研究几何图形的方法）2．解析几何的创立意义及其基本问题在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫解析几何它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科，产生于十七世纪初期，法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人另一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域3．平面解析几何研究的主要问题（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质能过对数学史的介绍激发学生学习数学的兴趣。三．例题1．例2：设A、B两点的坐标分别是（－1,－1），（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程解：如图设点M（x，y）是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是属于集合：由两点间的距离公式，点M的条件可表求为：上式两边平方，并整理得：①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程。由求方程的过程可知，垂直平分线上的每一点的坐标都是方程①的解；设点的坐标是方程①的解，即，即点到A、B的距离分别是所以，即点M在线段AB的垂直平分线上由（1）、（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程2．讨论，求简单的曲线方程的一般步骤是怎样的？引导学生归纳求曲线的方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点一般地，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明。3．例3：已知一条直线和它上方的一个点F，点F到的距离是2，一条曲线也在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。引导学生分析探索解题思路，由学生板演解题过程解：如图，取直线为x轴，过点F且垂直于直线为y轴，建立坐标系xOy设点M（x，y）是曲线上任意一点，作轴，垂足为B，则点M属于集合由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为①将①式移项后两边平方，得化简得因为曲线在x轴的上方，所以．虽然原点的坐标（0,0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是（）它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点．学生通过讨论归纳，培养学生归纳能力及合作交流精神。例题巩固。整理后得(≠±1)(2)设点的坐标是方程(x≠±1)的解，即，∴由上述证明可知，方程(x≠±1)是点M的轨迹方程说明：所求的方程后面应加上条件ｘ≠±１六．小结1.求简单的曲线方程的一般步骤2.求动点的轨迹方程中的注意点：（1）.注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。（2）.注意平面几何知识的运用。（3）.注意要求是求轨迹方程还是轨迹3.求点的轨迹的常用方法1.直接法;2.定义法（和几何法联系）3.相关点法;4.参数法五、作业教科书习题2.1A组3、4、5B组1、2练习与测试：1.由动点P向圆引两条切线、，切点分别为、，，动点轨迹方程是2．已知A﹑B﹑D三点不在一条直线上，且A（-2，0），B（2，0），||=2，=(+).则E点的轨迹方程是；3．已知点H（－6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足当点P在y轴上移动时，则点M的轨迹方程为4．求点P到点F（4，0）的距离比它到直线+5=0的距离小1的点的轨迹方程5．过点P(2,4)作互相垂直的直线,，若交轴于A，交轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程6．已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线练习与测试解答：1.由圆的几何性质知、组成一个以，，且的直角三角形，故，∴点轨迹方程为2．x2+y2=1解：设E(x，y)，=+，则四边形ABCD为平行四边形，而=(+)，∴E为AC的中点，∴OE为ΔABD的中位线，∴||=||=1，∴E点的轨迹方程是x2+y2=13．（）解：设点M的坐标为由由点Q在x轴的正半轴上，得.故，所求点的轨迹方程为：（）4．解：设P为所求轨迹上任意一点，∵点P到F的距离比它到直线+5=0的距离小1.故点P到F（4，0）的距离与点P到直线+4=0的距离｜PD｜相等∴｜PF｜=｜PD｜∴=｜-(-4)｜∴5．解法一：设M为所求轨迹上任一点，∵M为AB中点，∴A（2,0),B(0,2),∵⊥且,过点P（2，4），∴PA⊥PB∴∵=(x≠1),=∴·=-1即+2-5=0(≠1)当=1时，A（2，0）、B（0，4）,此时AB中点M的坐标为（1，2），它也满足方程+2-5=0.∴所求点M的轨迹方程为+2-5=0解法二：连结PM.设M,则A（2,0),B(0,2)∵⊥,∴△PAB为直角三角形∴｜PM｜=｜AB｜即化简：+2-5=0∴所求点M的轨迹方程为+2-5=06．解以AB所在直线为x轴，以AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0)设M(x,y）是轨迹上任意一点则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0点M的轨迹是以(－，0）为圆心，为半径的圆PAGE1