A04第一章32

3.2　全集与补集1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的______，这个给定的集合叫作全集，常用符号____示．全集含有我们所要研究的这些集合的______元素．2．设U是全集，A是U的一个子集(即______)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的______(或______)，记作______，即∁UA＝___________________.3．补集与全集的性质(1)∁UU＝______；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁UA)＝____；(4)A∪(∁UA)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁UA等于(　　)A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于(　　)A．{x|－22}D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁UB)等于(　　)A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁UB，B＝∁UP，则A与P的关系是(　　)A．A＝∁UPB．A＝PC．APD．AP5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁IS)D．(M∩P)∪(∁IS)6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是(　　)A．A∪BB．A∩BC．∁U(A∩B)D．∁U(A∪B)7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁UA＝________，∁UB＝______，∁BA＝________.9．已知全集U，AB，则∁UA与∁UB的关系是____________________．10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁UA＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁UB)＝A，求∁UB.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A等于(　　)A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.3．2　全集与补集知识梳理1．子集　U　全部　2.A⊆U　补集　余集　∁UA　{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅　(2)U　(3)A　(4)U　(5)∅作业设计1．D　[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁UA.]2．C　[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．]3．D　[由B＝{2,5}，知∁UB＝{1,3,4}．A∩(∁UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B　[由A＝∁UB，得∁UA＝B.又∵B＝∁UP，∴∁UP＝∁UA.即P＝A，故选B.]5．C　[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁IS，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS)，故选C.]6．D　[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}　{7,8}　{0,1,3,5}解析　由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁UA＝{0,1,3,5,7,8}，∁UB＝{7,8}，∁BA＝{0,1,3,5}．9．(∁UB)(∁UA)解析　画Venn图，观察可知(∁UB)(∁UA)．10．解　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b∈A，∴b∈U，由此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋2a－3＝5，,b＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝3))经检验都符合题意．11．解　因为B∪(∁UB)＝A，所以B⊆A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.①若x2＝3，则x＝±eq\r(3).当x＝eq\r(3)时，A＝{1,3，eq\r(3)}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，eq\r(3)}，此时∁UB＝{eq\r(3)}；当x＝－eq\r(3)时，A＝{1,3，－eq\r(3)}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－eq\r(3)}，此时∁UB＝{－eq\r(3)}．②若x2＝x，则x＝0或x＝1.当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而∁UB＝{3}．综上所述，∁UB＝{eq\r(3)}或{－eq\r(3)}或{3}．12．D　[借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故选D.]13.解　如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a，b，x.根据题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋x＝20，,b＋x＝11，,a＋b＋x＝30－4.))解得x＝5，即两项都参加的有5人．