数学竞赛试题

1.已知 、 满足 ， ，求 的值. 2.设实数 ,满足 , ,且 ， ；则 . 3.满足 的整数对 共有多少对，请写出所有的m , n的值. 4.设 ， ；试比较P和Q的大小关系. 5.已知 ，求 的值. 6.已知 ，求 的值. 7.分解因式： 8..已知 ，求 的值. 9.如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，AD=4，BC=2，求AB的长度. 10.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC , AB=10，CD=4，延长BD至E，使得DE=BD，作EF⊥AB于F，求AF的长. 11.如图 ，D为等边三角形ABC内的一点，DB=DA，BP=AB,∠DBP=∠DBC，求∠BPD的角度. 12.如图，在△ABC中，∠FBC=∠ECB= ,求证：BE=CF. 13.如图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证： . 14.已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC， （1）若BC=AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明； （2）若BC=BA+CD，求∠A的度数？ （3）若∠A=100°，求证：BC=BD+DA 分析： （1）在BC上截取BE=BA，连接DE，证△ABD≌△EBD，推出AD=DE=CE，∠A=∠DEB，证出∠A=2∠C，因为∠C=∠B，根据三角形内角和定理求出即可； （2）在BC上截取CF=CD，连接DF，证△ABD≌△FBD，推出∠A=∠DFB，推出2∠A-∠C=180°，根据三角形内角和定理得到∠A+2∠C=180°，解方程组即可求出； （3）BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW，求出CQ=DQ，证△WBD≌△CBD，推出∠W=∠DQB，证AD=DW，即可推出答案 解答： 解：（1）答：∠A=90°．理由如下： 在BC上截取BE=BA，连接DE． ∵BC=AB+AD， ∴CE=AD， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠EBD， ∵AB=BE，BD=BD， ∴△ABD≌△EBD， ∴AD=DE=CE，∠A=∠DEB， ∴∠C=∠EDC， ∴∠A=∠DEB=∠C+∠EDC=2∠C， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴4∠C=180°， ∴∠C=45°，∠A=2∠C=90°， 即∠A=90°； （2）解：在BC上截取CF=CD，连接DF． ∵BC=BA+CD， ∴BF=BA， ∵∠ABD=∠FBD，BD=BD， ∴△ABD≌△FBD， ∴∠A=∠DFB， ∵CD=CF， ∴∠CDF=∠CFD， ∴∠C+2∠DFC=180°， ∵∠A+∠DFC=180°， ∴2∠A-∠C=180°， ∵∠A+2∠C=180°，解得：∠A=108°，答：∠A的度数是108°． （3）证明： 在BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW． ∵∠A=100°，AC=AB， ∴∠C=∠ABC=40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBQ=20°， ∵BD=BQ， ∴∠DQB=∠BDQ= （180°-∠DBQ）=80°， ∴∠CDQ=∠DQB-∠C=40°=∠C， ∴DQ=CQ， ∵在△WBD和△QBD中:   BW＝BQ ∠WBD＝∠QBD BD＝BD           ∴△WBD≌△QBD， ∴∠W=∠DQB=80°，DW=DQ=CQ， ∵∠BAC=100°， ∴∠WAD=180°-100°=80°=∠W， ∴AD=DW=DQ=CQ， ∴BC=BD+DA． 点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．