对导数解决函数恒成立问题与存在性问题的探究
关于用导数解决函数恒成立问题与存在性问题的探究
山东省平度市第九中学 王新民 导数,作为解决与函数有关问题的强有力工具,越来越受到高考命题专家的重视。其中,
利用导数解决函数恒成立问题或存在性问题中参数的取值范围,更是成为近年来高考的热点。解决这类问题的关键是运用等价转化的
思想,下面笔者根据教学经验,通过自编的
一个题目介绍一下此类问题的解法,期望对考生有所帮助。
fxaxx()ln,,()a,R例:已知函数.
2,,,,xee,fx()0,? 若对,函数恒成立,求实数的取值范围。 a,,
2,,,,xee,fx()0,? 若,使得函数成立,求实数的取值范围。 a,,
2,,,,xee,fx()0,? 若,使得函数成立,求实数的取值范围。 a,,
2fxgx()(),,,x1,2? 设,若对,恒成立,求实数的取值范围。 gxxx()1ln,,,a,,
2fxgx()(),,,x1,2? 设,若,使得成立,求实数的取值范围。 gxxx()1ln,,,a,,
22,,,,xee,,,x0,1? 设,当时,若,,使得,a,0gxxx()24,,,fxgx()(),,,1212,,
求实数的取值范围。 a
22,,,,xee,,,x0,1? 设,当时,若,,使得,a,0gxxx()24,,,fxgx()(),,,1212,,
求实数的取值范围。 a
22,,,,xee,,,x0,1? 设,当时,若,,使得,a,0gxxx()24,,,fxgx()(),,,1212,,
求实数的取值范围。 a
,lnx22,,,,xee,,xee,,fxaxx()ln0,,,解:?由题意知,恒成立,即,恒成a,,,,,x
,lnx1ln,x22,,,,xee,,,xee,,立。设,即,。而,,aFx,()Fx(),Fx()0,,,max2,,,,xx
2222,,ee,Fx()故在区间上为增函数,所以,所以。 a,,FxFe()(),,,max2,,2ee
,lnx22,,,,,,xee,xee,,Fx()?由题意知,使成立,即,。因为在aFx,()a,min,,,,x
112,,ee,区间上为增函数,所以,所以。 a,,FxFe()(),,,min,,ee
,lnx2,,,,xee,yFx,()ya,?由题意知,使成立,即与的图像有交点,故的a,a,,x
1212,,,,Fx()a,,,,Fx(),,,,取值范围即函数的值域。由??知,故。 22,,,,eeee,,,,
1fxgx()()0,,?由题意知,恒成立,即,恒成立,设,,x1,2x,1,2ax,,,,,,x
2x,11,Gx(),即,。而,,故在x,1,2Gx()0,,x,1,2aGx,()Gxx(),,,,,,min2xx
区间上为增函数,所以,所以。 1,2a,2GxG()(1)2,,,,min
1Gx()?由题意知,,x1,2,使成立,即,x,1,2。因为在区间aGx,()ax,,,,,,maxx
55上为增函数,所以,所以。 1,2GxG()(2),,a,,,max22
ax,111,?由题意知,且,而,故函fxa()0,,,,fxgx()(),gx()3,11max2min2minxx11
1222,,ee,数在区间上为增函数,所以,所以。 fxfeae()()2,,,fx()0,,a11max2,,e
2,,ee,?由题意知,且,因为函数在区间上为增函fxgx()(),gx()4,fx()1max2max2max1,,
222数,所以,所以。 fxfeae()()2,,,0,,a1max2e
2,,ee,?由题意知,且,因为函数在区间上为增函fxgx()(),fx()gx()3,1min2min2min1,,
2数,所以,所以。 fxfeae()()1,,,0,,a1mine
总结:一个变量一个函数的恒成立与存在性问题中的不等式问题,既可以选择分离参数,也可以选择直接求最值,关键是注意求函数的最大值还是最小值,存在性问题中的等式问题一般转化成函数值域问题;一个变量两个函数的恒成立与存在性问题,一般选择将一个函数先移项,之后既可以选择分离参数,也可以选择直接求最值,建议优先考虑分离参数;两个变量两个函数的恒成立与存在性问题,既可以选择分离参数,也可以选择直接求最值,因为是涉及两个变量的任意性与存在性,所以分离参数后最值的选择会困难些,因此建议优先考虑直接求函数最值。