含对流项抛物方程的热源识别的拟逆正则化方法

含对流项抛物方程的热源识别的拟逆正则化方法 1 2 1帆, 万诗敏, 李敦刚 杨 ( )1 . 兰州理工大学 理学院 , 甘肃 兰州 730050 ; 2 . 天津城市建设学院 基础学科部 , 天津 300384 摘要 : 利用拟逆正则化方法对含对流项的一维抛物方程的热源进行识别 ,得到该反问题的一个正则近似解 ,并且给 出正则解和精确解之间具有 Ho?lder 型的误差估计 . 关键词 : 热源 ; 正则化 ; 拟逆 中图分类号 : O175 . 26 文献标识码 : A A qua si2reversible regularizat ion method f or ident if icat ion of heat source in para bol ic equat ion wit h convect ion term 1 2 1YA N G Fa n, WA N Shi2mi n, L I D u n2ga ng ( 1 . School of Science , L a nzho u U niv. of Tech . , L a nzho u 730050 , Chi na ; 2 . Dep a rt ment of Funda ment al Subject , Tia nji n In stit ut e of U r ba n )Co n st r uctio n , Tianji n 300384 , Chi na Abstract : B y u si ng qua si2rever si ble re gula rizatio n met ho d , t he heat so urce i n t he p a ra bolic equatio n wit h co nvectio n t e r m wa s i de ntified . The app ro xi mat e regula r sol utio n of t he i nver se p ro ble m wa s o bt ai ned a nd it wa s i ndicat e d t hat t he Ho?l der t yp e e sti mat e of t he er ro r bet wee n t he re gula r sol utio n a nd t he e xact sol u2 tio n wa s give n . Key s : heat so urce ; re gula rizatio n ; qua si2rever si bilit y ( ) 是在 实 际 问 题 中 g x 只 能 通 过 测 量 得 到 , 故 用利用附加条件识别数学物理方程的非齐次项问 ( ) ( ) 题叫热源识别反问题 . 这类问题是不适定的 ,即问题 g x, gδ x分别示在 t = 1 处的精确值和测量值 , () 的解 如果存在的话不连续依赖于测量数据 . 因此 并且满足 : δ( )δ 2 热源识别的数值计算和理论都非常困难. 目前用的‖g - g‖ ? [ 122 ] [ 3 ] 2 ( ) δ方法 有 : 磨 光 滑 方 法、边 界 元 方 法、迭 代 算 这里 ‖?‖表示 L R空间中的范数 ,是测量误 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] 法、基本解方法、条件稳定性、逆谱方法等. ( ) 差 . 作为不适定问题 , 假设未知热源 f x 存在如下 本文利用拟逆正则化方 法 识别 含有 对流 项 的 先验界 : ( ) ( )非抛物方程只含有空间变量的热源 ,即考虑如p ‖f ?‖? E3 0 > p 下问题 :( ) 这里 ‖f ?‖定义如下 :p 1/ 2 ? ? ( )0 , x t > u+ uu - f x = ? Rt xx x 2 2 p((ξ) ξ ( ) ξ) ‖f ?‖p :=f | d 1 + | x ? R - ? ? ( )( )u x , 0 1 = 0 ( )4 x ? R( ) ( )= g xu x , 1 ) ( 定义函数 f x的 Fo urier 变换如下 : ( ) ( ) ( ) 其中 , f x 是未知热源 ,u x , 1= g x 是附 加 条 ? ? 1 ξx - i件 . 而 u是对流项 , 在 x 轴方向上以常速度运动着x (ξ) ( ) ( )f : = e f xd x5 - ? ?π2 介质的扩散 , 悬浮粒子的扩散以及流体的热传导规 () 利用 Fo urie r 变换在频域空间中求解问题 1得 律都可用含有对流项的热传导方程来描述 . 通过数 2 (ξξ) - +it ? ? 1 - e ξ) ( )(ξ() ( ) ( ) 6 u , t= 据函数 g x, 利用拟逆方法识别未知热源 f x . 但f 2 ξξ+ i 利用附加条件得 收稿日期 : 2008209212 ? 2? ξ ξ 再利用 Fo urier 逆变换得分情况讨论 : 2 ? ? ξ ξ1 ξ+ i 1 ix情形 1 (ξ) ξξ( ) ( )f x= eg d μξ 8 如果 || 0 2 ?: = , 0 << 1 时ξξ)(- +i - ?μ ?π 2 1 - e 4 2 1 1 + 1 几个重要引理 μ μ 1 2 2(ξ) ? D?D = 1 2 2 - μ μ μ1 - e 为了获得误差分析 ,给出如下重要不等式 . ( )20 ξξ引理 1 如果?R ,且?1 时 , 则有 则 1 ( )?29 2 ξ- 2 2 1 - e (ξ) (ξ)( ) 21 ?B ? D 2 μ ξ引理 2如果?R 时 ,则有 ξξ>0 时 , 情形 2 如果 || 24 2 ξξ+ i ξξ+ 2 ( )?10 242(ξ) ξ)2D ?2 ξ+i (- ξ- ξ ( )ξξ?2 2 22 + 1 - e 1 - e 因此μ引理 3 如果 0 << 1 ,则有如下不等式成立 : 2 pξ2 22 2 1 p 2 2 -2 (ξ) ( )?B ?23 1 - μμ( ξ) ?ma x{,} sup1 + 22 222 ξ( ξμ)μ?R1 + ξμ 1 + () () ( )结合式 21 ,23,式 12成立. 11 4 2 ( ) ( ) ξ 从式 7或式 8的右边及引理 2 知 , 当|| ??ξ ξ 2 2+ ( )?12 sup2 2 2 - ξ 22 ξ?R μξξ+ i ( ) ( μξ)1 - e 1 + 2 时 ,是 二 次 幂 递 增 的. 要 使 (ξξ)- + i 1 - e 证明 令 ? ? 2 p1 ξ) ξ) () ((2 -f ?L R, g 必须是负二次幂降的 . 但在实际 2 1 - ( ξ) ( )(ξ) 13 G: = 1 + 22ξμ1 + ( ) ( ( ) ) 问题中只知道 g x的测量值 gδ x , 并且 gδ x 仅 () 不等式 11的证明分为 3 种情形 : 2 ( ) ( )仅属于 L R, 一般不会满足幂降条件 . 因此 gδ x 1 ξ ξ1 如果|| 情形 ?: = 时的微小扰动将会引起解的巨大的误差 . 由此看出问 0 μ ( ) 题 1是一个不适定问题. 11pξ)( μ ( )? ? G= 14 p p ξξ0 2 拟逆正则化方法和误差估计 ξξ<0 时 , 情形 2 如果 1 < || ( )拟逆正则化方法的基本思想如下 : 对 问题 1 2 2 pξμ 2 -2 (ξ) ( ξ) ? G=1 + 22ξμ1 + 的第一个方程的左端加上一个小小的扰动 ,使得扰 22 - p μξ2 2 - p 动后的定解问题变为适定的 . 进而用扰动问题的解 ( )μξ15 ? 22ξμ1 + 来构造原不适定问题的近似解 ,这里小扰动的参数 如果 0 < p ?2 时 , () 就是正则化参数. 在问题 1的第一个方程的左端加22 - ppξμμξ)( ( )G 2 ?= 160 μf 项 ,即上 x x 2 如果 p > 2 时 ,μ( ) ( )( )u+ u- u+ f x= f x24 t x x x x x 222 - pμξ)ξ(μ( )G ? 17 ? 拟逆这种正则化思想是受到 El dné 的启发 ,在文 [ 8 ] ξ 情形 3 如果||?1 时 ,中 , El dné 用这种正则化方法解决逆热传导问题 ,文 2 2 p ξμ2 -2 ξ)[ 9 ]用这种正则化方法解决逆热传导中的热流识别 ( ? ( ξ) ?G1 + 22ξμ1 + 问题. 考虑问题 p 22 2 - 22 ξμ( ξ) μ1 +? ( )18 2 μt > 0 , x u+ uu( )? R - + f = t xx xf x x x () () 结合式 14 ,16 ,17 ,18,式 11成立 . x ? R )( u x , 0 = 0 () x ? R 下面来证式 12.)( ) ( u x , 1 = gδ x 令()25 4 2 ξ ξ + μ式中 :是正则化参数. (ξ) B : =2 ξ 22 - )( ξμ) ( 1 +1 - e () 在频率空间中求解问题 25得( )19 2 4 2 (ξξ) 2 2 - +it ? ξ ξ + ? ( ξμ ) ( 1 +1 - e ) (ξ) D : =2 (ξ ) (ξ)() 26 u , t = f ξ- 2 ξ+ i 1 - ξe ? ? 4 2 ξ) (ξ) (δ ξξ 再由 u , 1= g, 得 +δ ?sup 2 - ξ 22 2ξ? ? || ?R ? ( ) ( ξμ) ξ1 - e 1 + ξi + (ξ) (ξ)(ξ) f δμ = f = gδ :,2 (ξ ξ) - +i22 ) ( ξμ)( 1 - e 1 +p 2 2 2 μμδ ma x{,} E + =2 μ( )27 p 2 - 2 p +2 p +2 p +2利用 Fo urie r 逆变换 ,得 δ δ δ ma x 2 2 δ E + = , E E E ( ) fδμ x,= 2 - p 2 ? p 2 2 + p ? ξ ξδ 1 ξ+ i ix2 p +2 p +2δ(ξ) ξ gδ d 2 e2E 1 + ma x 1 ,2(ξ ξ) - +i22 - ??E 4 π) ( ξμ)( 1 - 2e 1 + 注 1δ 当?0 时 , 如果 0 < p ?2 时 , 则 ( )28 2 - p 2 + p ] ( ) ( ) μ 从式 27或者式 28以及引理 2 可知 , 当 =δ ( ) ( ) ma x 1 , = 1 , ‖f ?- fδμ ?‖?0, E ( ) ( ) μ 0 , gδ = g , f δμ x= f x; 另一方面 , 当 取定以后 ,, 2 如果 p > 2 时 , 则 ξξ+ i 2 ξ是 有 界的 . 因 此??时 , 2 - p 2 - p + i 2 2 - (ξ ξ) 2 + p 2 + p ( ) ( ξμ )1 - e 1 + δ δ ma x 1 , = E E ( ) ( ) fδ,μ x 可 以 作 为 f x 的 一 个 稳 定 的 近 似 . 把 p 2 - p 2 p + 22 + p p + 2 ( ) ) ( fδμ x叫做精确解 f x 的拟逆正则 近 似解 , 并 且 ,δδδ注意到=, 故有 ( ) μ还可以看出式 27 , 28中的 是正则化参数. ( ) ( ) ‖f ?- fδ,μ ?‖?0 μ下面证明通过正则化参数 的适当选取 ,由式 ( ) ( ) 从而 , fδμ x可以作为问题 1的一个正则近似解., () ( ) 28给出的拟逆正则解可以稳定的逼近问题 1的 ( ) 致谢 :本文 得到 兰州 理 工大 学校 基 金 92111 精确解. () 和兰州理工大学校基金 92104的资助 ,在此表示感 ( ) ( ) ( ) 定理 1 设 f x 是由式 9所给的问题 1的谢 . ( ) ( ) ( ) 精确解. fδμ x 是由式 28所给的问题 1的拟逆 ,参考文献 : ( ) 正则近似解 . 假设条件 2 , 3成立 , 那么如果选取正 μYI Z , MU R IO D A . Identificatio n of so urce t er ms i n 22D I H CP [ 1 ] 则化参数 满足 : 1 [J ] . Co mp ut er s a nd Mat he matics wit h Applicatio n s , 2004 , 47 : p +2 δ μ ( ) 29 =151721533 . E YI Z , MU R IO D A . So urce t er m identificatio n i n 12D I H CP [ 2 ] 则成立如下误差估计 : [J ] . Co mp ut er s a nd Mat he matics wit h Applicatio n s ,2004 ,47 : ( )( ) ‖f ?δμ ? f,?| - 192121933 . 2 - p p 2 2 + p [ 3 ] FA RCA S A ,L ESN IC D. The bo unda r y2element met ho d fo r t he δ 2 p +2 p +2δ( )2 2E 30 ma x1 + 1 , 4 E det er mi natio n of a heat so urce dep endent o n o ne va ria ble [ J ] . J o ur nal of Engi neeri ng Mat hematics ,2006 ,54 :3752388 . ( )证明 由 Pa r seval , 并注意到条件 2 , 3 [ 4 ] J O HA N SSON T ,L ESN IC D. Det er mi natio n of a spacewi se de2 (() ) 以及不等式 9,12和式 29,有p endent heat so urce [J ] . J o ur nal of Co mp ut atio nal a nd Applied ? ? ( ) ( ) ( ) ( )‖f ?- fδμ ?‖ =f δμ ?‖ =‖f ?- , , Mat hematics ,2007 ,209 :66280 . 2 2 ? ? [ 5 ] YA N L , FU C L , YA N G F L . The met ho d of f unda ment al so2 ξξξξ+ i + i ξ)((ξ)δ g - g2 2 ? ξξξ(()ξ) - - +i 2 2 +i l utio n s fo r t he i nver se heat so urce p ro blem [J ] . Engi neeri ng A2 ξμ)) ( (1 + 1 - e1 - e nal ysi s wit h Bo undar y Ele ment s ,2008 ,32 :2162222 . 2 2 ? ? ξξξ+ i ξ+ i (ξ)(ξ) g g - 2 2 + L I G S , TA N Y J . A co nditio nal st a bilit y fo r an i nver se p ro b2 [ 6 ] (ξ(ξξ)ξ) - - +i 2 2 +i ) (ξμ ) ( 1 + 1 - e1 - ele m a ri si ng i n gro undwat er poll utio n [ J ] . N u merical Mat he2 2 ? ξξ+ i ( ) matics ,2005 ,14 3 :2172225 . (ξ) g - 2 (ξξ)2 2 - +i ) ( ξμ )( 1 + 1 - e 赵 廷 刚. Chebyshev2L egendre 逆 谱 方 法 解 非 经 典 抛 物 方 程 [ 7 ] 2 ? ξξ + i [ J ] . 兰州理工大学学报 ,2006 ,32 : 1472149 .(ξ) gδ 2 ? ξ)ξ+i 2 2 (- EL D ? N L . App ro xi matio n s fo r a Ca uchy p ro ble m fo r t he heat [ 8 ] ( ) ( ξμ ) 1 - 1 + e equatio n [ J ] . Inver se Pro ble ms ,1987 ,3 : 2632273 . ? p p 1 2 2 - 2 21 - (ξ) ( ξ) ( ξ) f 1 +1 + + 22Q IA N Z , FU C L , XION G X T. A mo dified met ho d fo r det er2 [ 9 ] ξμ1 + mi ni ng t he surf ace heat fl ux of I H CP [J ] . Inver se Pro ble ms i n 2 ξξ+ i ? ? 2 ξ)(ξ) (sup‖g - gδ ‖ ? Science a nd Engi neeri ng ,2007 ,15 :2492265 . ξξ) (- +i 2 2 ξ|| ?R ) ( ξμ )( 1 - e 1 + ? pp1 2 2 -2 2 1 - ξ) (ξ) ((ξ) sup‖f 1 +‖ +1 + 22ξ{ || ?Rξμ 1 +