概率论与数理统计第二版谢永钦课后答案
概率论与数理统计习
及答案 习题 一
1.?略.见教材习题参考答案.
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事
件:?
(1) A发生,B,C都不发生;
(2) A与B发生,C不发生;?
(3) A,B,C都发生;
(4) A,B,C至少有一个发生;?
(5) A,B,C都不发生;
(6) A,B,C不都发生;?
(7) A,B,C至多有2个发生;
(8) A,B,C至少有2个发生.?
【解】(1) A (2) AB (3) ABC
(4) A?B?CC?B?A?BC?AC?AB?ABC
5 6
7 BC?AC?AB?C?A?B???
8 AB?BC?CAAB?AC?BC?ABC
3.?略.见教材习题参考答案?
4.设A,B为随机事件,且P(A)0.7,PA?B0.3,求P().?
【解】 P()1?P(AB)1?[PA?PA?B]
1?[0.7?0.3]0.6
5.设A,B是两事件,且P(A)0.6,PB0.7,求:?
(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值??
(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值??【解】(1) 当ABA时,P(AB)取到最大值为0.6.
(2) 当A?BΩ时,P(AB)取到最小值为0.3.
6.设A,B,C为三事件,且P(A)P(B)1/4,P(C)1/3且P(AB)P(BC)0,?P(AC)1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.?
【解】P(A?B?C)PA+PB+PC?PAB?PBC?PAC+PABC
++?
7.?从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?
【解】p
8.?对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;
(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】(1) 设A1五个人的生日都在星期日,基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P(A1)()5 (亦可用独立性求解,下同)
(2) 设A2五个人生日都不在星期日,有利事件数为65,故
P(A2)5
3 设A3五个人的生日不都在星期日
P(A3)1?PA11?5
9.?略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(nN).试求其中恰有m件(m?M)正品(记为A)的概率.如果:?
(1) n件是同时取出的;
(2) n件是无放回逐件取出的;?
(3) n件是有放回逐件取出的.?
【解】(1) P(A)
2 由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有种,n次抽取中有m次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取m件的排列数有种,从N?M件次品中取n?m件的排列数为种,故
P(A)
由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成
P(A)
可以看出,用第二种方法简便得多.
(3) 由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为Nn种,n次抽取中有m次为正品的组合数为种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,m次取得正品,都有M种取法,共有Mm种取
法,n?m次取得次品,每次都有N?M种取法,共有(N?M)n?m种取法,故
此题也可用贝努里概型,共做了n重贝努里试验,每次取得正品的概率为,则取得m件正品的概率为
11.?略.见教材习题参考答案.
12.? 50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?
【解】设A发生一个部件强度太弱
13.?一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.
【解】 设Ai恰有i个白球(i2,3),显然A2与A3互斥.
故14.?有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:
(1) 两粒都发芽的概率;
(2) 至少有一粒发芽的概率;
(3) 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai第i批种子中的一粒发芽,(i1,2)
1
2
3
15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
(1) 问正好在第6次停止的概率;
(2) 问正好在第6次停止的情况下,第5次也是出现正面的概率.
【解】(1) 2
16.?甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率.
【解】 设Ai甲进i球,i0,1,2,3,Bi乙进i球,i0,1,2,3,则
0.32076
17.?从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.
【解】
18.?某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:
(1) 在下雨条件下下雪的概率;(2) 这天下雨或下雪的概率.
【解】 设A下雨,B下雪.
(1)
(2)
19.?已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).
【解】 设A其中一个为女孩,B至少有一个男孩,样本点总数为238,故
或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.
20.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).
【解】 设A此人是男人,B此人是色盲,则由贝叶斯公式
21.?两人约定上午9?00~10?00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率
题21图题22图
【解】设两人到达时刻为x,y,则0?x,y?60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|30.如图阴影部分所示.
22.?从(0,1)中随机地取两个数,求:
(1) 两个数之和小于的概率;
(2) 两个数之积小于的概率.
【解】设两数为x,y,则0x,y1.
(1) x+y2 xy23.?设P()0.3,PB0.4,PA0.5,求P(B|A?)
【解】
24.?在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】 设Ai第一次取出的3个球中有i个新球,i0,1,2,3.B第二次取出的3球均为新球
由全概率公式,有
25. 按以往概率论考试结果
,努力学习的学生有90%的可能
考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:
(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?
(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?
【解】设A被调查学生是努力学习的,则被调查学生是不努力学习的.由题意知P(A)0.8,P()0.2,又设B被调查学生考试及格.由题意知P(B|A)0.9,P(|)0.9,故由贝叶斯公式知
(1)
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
2
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26. 将两信息分别编码为A和B传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2?1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?
【解】 设A原发信息是A,则原发信息是B
C收到信息是A,则收到信息是B
由贝叶斯公式,得27.?在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)?
【解】设Ai箱中原有i个白球(i0,1,2),由题设条件知P(Ai),i0,1,2.又设B抽出一球为白球.由贝叶斯公式知
28.?某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A产品确为合格品,B产品被认为是合格品
由贝叶斯公式得
29.?某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计
表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?
【解】 设A该客户是“谨慎的”,B该客户是“一般的”,
C该客户是“冒失的”,D该客户在一年内出了事故
则由贝叶斯公式得30.?加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.
【解】设Ai第i道工序出次品(i1,2,3,4)31.?设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.
即为
故 n?11
至少必须进行11次独立射击.
32.?证明:若P(A|B)PA|,则A,B相互独立.
【证】 即
亦即
因此 故A与B相互独立.
33.?三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为,,,求将此密码破译出的概率.
【解】 设Ai第i人能破译(i1,2,3),则
34.?甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.
【解】设A飞机被击落,Bi恰有i人击中飞机,i0,1,2,3
由全概率公式,得
0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.70.2+
0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.70.6+0.4×0.5×0.7
0.458
35.?已知某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:
(1) 虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.
(2) 新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.
【解】(1)
2
36.?一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:
(1) A“某指定的一层有两位乘客离开”;
(2) B“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;
(3) C“恰有两位乘客在同一层离开”;
(4) D“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为106种.
(1) ,也可由6重贝努里模型:
(2) 6个人在十层中任意六层离开,故
(3) 由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:?4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有种可能结果;?4人同时离开,有种可能结果;?4个人都不在同一层离开,有种可能结果,故
(4) D.故
37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:
(1) 甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;
(2) 甲、乙、丙三人坐在一起的概率;
(3) 如果n个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.
【解】 (1)
2
3
38.?将线段[0,a]任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率?
【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由
0xa,0ya,0a?x?ya所构成的图形,有利事件集为由
构成的图形,即
如图阴影部分所示,故所求概率为.
39. 某人有n把钥匙,其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k次(k1,2,„,n)才能把门打开的概率与k无关.
【证】
40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i面涂有颜色的概率P(Ai)(i0,1,2,3).?
【解】 设Ai小立方体有i面涂有颜色,i0,1,2,3在1千个小立方体中,只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的,这样的
小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上(除去八个角外)的小立方体是两面涂色的,这样的小立方体共有12×896个.同理,原立方体的六个面上(除去棱)的小立方体是一面涂色的,共有8×8×6384个.其余1000?(8+96+384)512个内部的小立方体是无色的,故所求概率为
,41.对任意的随机事件A,B,C,试证?
P(AB)+P(AC)?P(BC)?PA.?
【证】42.?将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.
【解】 设杯中球的最大个数为i,i1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有43种,杯中球的最大个数为1时,每个杯中最多放一球,故
而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故
因此
或 43.?将一枚均匀硬币掷2n次,求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷2n次硬币,可能出现:A正面次数多于反面次数,B正面次数少于反面次数,C正面次数等于反面次数,A,B,C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P(A)P(B).所以
由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为 故
44.?掷n次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设A出现正面次数多于反面次数,B出现反面次数多于正
面次数,由对称性知P(A)P(B)
(1) 当n为奇数时,正、反面次数不会相等.由P(A)+P(B)1得P(A)P(B)0.5
2 当n为偶数时,由上题知
45.?设甲掷均匀硬币n+1次,乙掷n次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】 令甲正甲掷出的正面次数,甲反甲掷出的反面次数.
乙正乙掷出的正面次数,乙反乙掷出的反面次数.
显然有
(甲正?乙正)(n+1?甲反?n?乙反)
(甲反?1+乙反)(甲反乙反)
由对称性知P(甲正乙正)P(甲反乙反)
因此P甲正乙正
46.?证明“确定的
”(Sure?thing):若P(A|C)?PB|C,PA|?PB|,则P(A)?PB.
【证】由P(A|C)?PB|C,得
即有 同理由
得
故
47.一列火车共有n节车厢,有kk?n个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.?
【解】 设Ai第i节车厢是空的,(i1,„,n),则
其中i1,i2,„,in?1是1,2,„,n中的任n?1个.
显然n节车厢全空的概率是零,于是
故所求概率为
48.设随机试验中,某一事件A出现的概率为ε0.试证明:不论ε0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则A迟早会出现的概率为1.?
【证】
在前n次试验中,A至少出现一次的概率为
49.袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?
【解】设A投掷硬币r次都得到国徽
B这只硬币为正品
由题知则由贝叶斯公式知
50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又有多少??
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件,则有.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r根,说明已取了2n?r次,设n次取自B1盒(已空),n?r次取自B2盒,第2n?r+1次拿起B1,发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验,则所求概率为
式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是B2盒先取空).
(2) 前2n?r?1次取火柴,有n?1次取自B1盒,n?r次取自B2盒,第2n?r次取自B1盒,故概率为
51.?求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由
以上两式相减得所求概率为
若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得52.设A,B是任意两个随机事件,求P(+B)(A+B)(+)(A+)
的值.
【解】因为(A?B)?(?)A?B
(?B)?(A?)AB?
所求?
故所求值为0.
53.设两两相互独立的三事件,A,B和C满足条件:?
ABC,PAPBPC 1/2,且P(A?B?C)9/16,求P(A).
【解】由
故或,按题设P(A),故P(A).
54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,求P(A).
【解】 ?
?
故 故 ?
由A,B的独立性,及?、?式有
故
故或(舍去)
即P(A).
55.随机地向半圆0y a为正常数内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少??
【解】利用几何概率来求,图中半圆面积为πa2.阴影部分面积为
故所求概率为
56.?设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.
【解】 设A两件中至少有一件是不合格品,B另一件也是不合格品
57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.?
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;?
(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q【解】设Ai报名表是取自第i区的考生,i1,2,3.
Bj第j次取出的是女生表,j1,2.
则
1
2
而 故
58. 设A,B为随机事件,且P(B)0,PA|B1,试比较PA?B与PA的
大小. 2006研考
解:因为
所以.
习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,
以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律. 【解】
故所求分布律为
X 3 4 5
P 0.1 0.3 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任
取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:
(1) X的分布律;
(2) X的分布函数并作图;
3
.
【解】
故X的分布律为
X 0 1 2
P
(2) 当x0时,F(x)P(X?x)0
当0?x1时,F(x)P(X?x)PX0
当1?x2时,F(x)P(X?x)PX0+PX1
当x?2时,F(x)P(X?x)1
故X的分布函数
3
3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次
射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击
中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数.则X0,1,2,3.
故X的分布律为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
分布函数
4.(1) 设随机变量X的分布律为
PXk,
其中k0,1,2,„,λ>0为常数,试确定常数a.
(2) 设随机变量X的分布律为
PXka/N, k1,2,„,N,
试确定常数a.
【解】(1) 由分布律的性质知
故
2 由分布律的性质知
即5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:
(1) 两人投中次数相等的概率;
(2) 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b3,0.7
1
+ 2
0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01每条跑道只能允许一架飞机降落?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b200,0.02,设机场需配备N条跑道,则有
即
利用泊松近似
查表得N?9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX1PX2,求概率PX4.
【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
故
所以9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;
(2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)
2 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;
(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】(1)211.设PXk, k0,1,2
PYm,m0,1,2,3,4
分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知PX?1,试求PY?1.
【解】因为,故.
而
故得
即 从而
12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b2000,0.001.利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.
【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人
寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1
月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元
赔偿金.求:
(1) 保险公司亏本的概率;
(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
(1) 在1月1日,保险公司总收入为2500×1230000元.
设1年中死亡人数为X,则X~b2500,0.002,则所求概率为
由于n很大,p很小,λnp5,故用泊松近似,有
2 P保险公司获利不少于10000
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上?
P(保险公司获利不少于20000)
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%? 15.已知随机变量X的密度函数为
fxAe?|x|, ??x+?,
求:(1)A值;(2)P0X1; 3 Fx. 【解】(1) 由得
故 2
3 当x0时,
当x?0时,
故
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为
fx
求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;
(2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率;
(3) F(x).
【解】
(1)
2
3 当x100时F(x)0
当x?100时 故
17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数.
【解】 由题意知X~?[0,a],密度函数为
故当x0时F(x)0
当0?x?a时
当xa时,F(x)1
即分布函数
18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.
【解】X~U[2,5],即
故所求概率为
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求PY?1.
【解】依题意知,即其密度函数为
该顾客未等到服务而离开的概率为
,即其分布律为
20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).
(1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?
(2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?
【解】(1) 若走第一条路,X~N(40,102),则
若走第二条路,X~N(50,42),则
++
故走第二条路乘上火车的把握大些.
(2) 若X~N(40,102),则
若X~N(50,42),则
故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N(3,22),
(1) 求P2X?5,P?4X?10,P|X|>2,PX>3;
(2) 确定c使PX>cPX?c.
【解】(1)
2 c3
22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度
在10.05?0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】
23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,σ2),
若要求P120
3;
(3) 求分布密度f(x).
【解】(1)由得
(2)
325.设随机变量X的概率密度为
f(x)
求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).
【解】当x0时F(x)0
当0?x1时 当1?x2时 当x?2时
故
26.设随机变量X的密度函数为
(1) fxae??|x|,λ0;
2fx
试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).
【解】(1) 由知
故
即密度函数为
当x?0时
当x0时
故其分布函数
2 由
得b1
即X的密度函数为
当x?0时F(x)0
当0x1时
当1?x2时 当x?2时F(x)1
故其分布函数为
27.求正态分布的上分位点,
(1)0.01,求;
(2)0.003,求,.
【解】(1)
即
即
故 (2) 由得
即
查表得
由得
即
查表得
28.设随机变量X的分布律为
X ?2 ?1 013
Pk 1/51/6 1/5 1/1511/30
求YX2的分布律.
【解】Y可取的值为0,1,4,9
故Y的分布律为
Y 0 1 49
Pk 1/5 7/30 1/5 11/30
29.设PXkk, k1,2,„,令 求随机变量X的函数Y的分布律.
【解】
30.设X~N(0,1).
(1) 求YeX的概率密度;
(2) 求Y2X2+1的概率密度;
(3) 求Y|X|的概率密度. 【解】(1) 当y?0时,
当y0时,
故
2
当y?1时
当y1时 故
3
当y?0时
当y0时
故
31.设随机变量X~U(0,1),试求:
(1) YeX的分布函数及密度函数;
(2) Z?2lnX的分布函数及密度函数.
【解】(1)
故
当时
当1ye时
当y?e时
即分布函数
故Y的密度函数为
(2) 由P(0X1)1知
当z?0时,
当z0时, 即分布函数
故Z的密度函数为 32.设随机变量X的密度函数为 fx
试求YsinX的密度函数. 【解】
当y?0时,
当0y1时,
当y?1时,
故Y的密度函数为
33.设随机变量X的分布函数如下:
试填上1,2,3项.
【解】由知?填1。
由右连续性知,故?为0。
从而?亦为0。即
34.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,求抛掷次数X的分布律.
【解】设Ai第i枚骰子出现6点。(i1,2),PAi.且A1与A2相互独立。再设C每次抛掷出现6点。则 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。
35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?
【解】令X为0出现的次数,设数字序列中要包含n个数字,则
X~bn,0.1
即
得 n?22
即随机数字序列至少要有22个数字。
36.已知
F(x)
则F(x)是( )随机变量的分布函数.
(A) 连续型;(B)离散型;
(C) 非连续亦非离散型.
【解】因为F(x)在(??,+?)上单调不减右连续,且
,所以F(x)是一个分布函数。
但是F(x)在x0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F(x)是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C)
37.设在区间[a,b]上,随机变量X的密度函数为fxsinx,而在[a,b]外,fx0,则区间 [a,b]等于( )
A [0,π/2]; B [0,π];
C [?π/2,0]; D [0,].
【解】在上sinx?0,且.故fx是密度函数。
在上.故fx不是密度函数。
在上,故fx不是密度函数。
在上,当时,sinx0,fx也不是密度函数。
故选(A)。
38.设随机变量X~N(0,σ2),问:当σ取何值时,X落入区间(1,3)的概率最大?
【解】因为
利用微积分中求极值的方法,有 得,则
又
故为极大值点且惟一。
故当时X落入区间(1,3)的概率最大。
39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(λ),每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该
种物品相互独立,求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.
【解】
设购买某种物品的人数为Y,在进入商店的人数Xm的条件下,Y~bm,p,即
由全概率公式有
此题说明:进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布,购买这种物品的人数仍服从泊松分布,但参数改变为λp.
40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明:Y1?e?2X在区间(0,1)上服从均匀分布【证】X的密度函数为
由于P(X0)1,故01?e?2X1,即P(0Y1)1
当y?0时,FY(y)0
当y?1时,FY(y)1
当0y1时,
即Y的密度函数为
即Y~U(0,1)
41.设随机变量X的密度函数为
fx
若k使得PX?k2/3,求k的取值范围 2000研考
【解】由P(X?k)知P(Xk)
若k0,PXk0
若0?k?1,PXk 当k1时P(Xk)
若1?k?3时P(Xk)
若3k?6,则P(Xk)
若k6,则P(Xk)1
故只有当1?k?3时满足P(X?k).
42.设随机变量X的分布函数为
Fx
求X的概率分布 (1991研考)
【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系,可知
X的概率分布为
X ?1 1 3
P 0.4 0.4 0.2
43.设三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知A至少出
现一次的概率为19/27,求A在一次试验中出现的概率. 【解】令X为三次独立试验中A出现的次数,若设P(A)p,则 X~b3,p
由P(X?1)知P(X0)(1?p)3
故p
44.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程y2+Xy+10有实
根的概率是多少?
【解】
45.若随机变量X~N(2,σ2),且P2X40.3,则
PX0
【解】
故
因此
46.假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.7可以直接出厂;以概率0.3需进一步调试,经调试后以概率0.8可以出厂,以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了nn?2台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求
(1) 全部能出厂的概率α;
(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β;
(3)其中至少有两台不能出厂的概率θ
【解】设A需进一步调试,B仪器能出厂,则
能直接出厂,AB经调试后能出厂
由题意知B?AB,且
令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数,则X~6(n,0.94),
故
47.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
【解】设X为考生的外语成绩,则X~N(72,σ2)
故
查表知 ,即σ12
从而X~N(72,122)
故48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252)).试求:
(1) 该电子元件损坏的概率α;
2 该电子元件损坏时,电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1电压不超过200V,A2电压在200~240V,
A3电压超过240V,B元件损坏。
由X~N(220,252)知
由全概率公式有
由贝叶斯公式有
49.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量Ye2X的概率密度fYy.
【解】
因为P(1X2)1,故P(e2Ye4)1
当y?e2时FY(y)PY?y0 当e2ye4时,
当y?e4时,
即
故
50.设随机变量X的密度函数为
fXx
求随机变量YeX的密度函数fYy1995研考 【解】P(Y?1)1
当y?1时,
当y1时,
即 故51.设随机变量X的密度函数为 fXx,
求Y1?的密度函数fYy
【解】
故52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次
数N(t)服从参数为λt的泊松分布.
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布; (2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8
小时的概率Q.(1993研考)
【解】(1) 当t0时,
当t?0时,事件Tt与Nt0等价,有
即
即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。
(2)
53.设随机变量X的绝对值不大于1,PX?11/8,PX11/4.在事件?1X1出现的条件下,X在?1,1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,试求X的分布函数F(x)PX?x1997研考
【解】显然当x?1时F(x)0;而x?1时F(x)1
由题知
当?1x1时,
此时
当x?1时,
故X的分布函数
54. 设随机变量X服从正态分N(μ1,σ12,Y服从正态分布Nμ2,σ22,且P|X-μ1|1P|Y-μ2|1,试比较σ1与σ2的大小2006研考
解: 依题意 ,,则
,因为,即
,
所以有 ,即.
习题三
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
0 1 2 3
1 0 0
30 0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,
以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合
分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表: 0 1 2 3
0 0 0
1 0
2 P0黑,2红,2白
0
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)
求二维随机变量(X,Y)在长方形域内的概率. 【解】如图
题3图
说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度
f(x,y)
求:(1) 常数A;
(2) 随机变量(X,Y)的分布函数;
(3) P0?X1,0?Y2.
【解】(1) 由
得 A12?
(2) 由定义,有
35.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)
(1) 确定常数k;
(2) 求PX<1,Y<3;
(3) 求PX1.5;
(4) 求PX+Y?4.
【解】(1) 由性质有
故 ?
(2)
3
4
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,0.2)上服从均匀
分布,Y的密度函数为
fY(y)
求:(1) X与Y的联合分布密度;(2) PY?X.
题6图
【解】(1) 因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
而
所以
2
7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)
求(X,Y)的联合分布密度.
【解】
8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)
求边缘概率密度.
【解】
题8图 题9图
9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)
求边缘概率密度.
【解】
题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)
(1) 试确定常数c;
(2) 求边缘概率密度.
【解】(1)
得?.
2
11.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)
求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).
题11图
【解】
所以
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中
最小的号码为X,最大的号码为Y.
(1) 求X与Y的联合概率分布;
(2) X与Y是否相互独立? 【解】(1) X与Y的联合分布律如下表 3 4 5
1
2 0
3 0 0
2 因
故X与Y不独立?
13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 2 5 8
0.4
0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03
(1)求关于X和关于Y的边缘分布;
(2) X与Y是否相互独立?
【解】(1)X和Y的边缘分布如下表?
2 5 8 PYyi
0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 0.2 0.42 0.38
2 因
故X与Y不独立.?
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀
分布,Y的概率密度为
fY(y)
(1)求X和Y的联合概率密度;
(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y0,试求a有实根的概率.
【解】(1) 因
故
题14图
2 方程有实根的条件是
故 X2?Y,
从而方程有实根的概率为:15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X和Y相互独立,且服从同一分布,其概率密度为
f(x)
求ZX/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
1 当z?0时,
(2) 当0z1时,(这时当x1000时,y)如图a
题15图
3 当z?1时,(这时当y103时,x103z)(如图b)
即
故
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xii1,2,3,4,则Xi~N(160,202),
从而
17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 PXkp(k),k0,1,2,„,
PYrq(r),r0,1,2,„.
证明随机变量ZX+Y的分布律为
PZi,i0,1,2,„.
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,
所以
于是
18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项
分布.证明ZX+Y服从参数为2n,p的二项分布.
【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,„,2n
方法二:设μ1,μ2,„,μn;μ1′,μ2′,„,μn′均服从两
点分布(参数为p),则
Xμ1+μ2+„+μn,Yμ1′+μ2′+„+μn′,
X+Yμ1+μ2+„+μn+μ1′+μ2′+„+μn′,
所以,X+Y服从参数为(2n,p的二项分布. 19.设随机变量(X,Y)的分布律为
01 2 3 4 5
0
1
2
3 0 0.010.03 0.05 0.07 0.09
0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.050.050.06 0.01 0.02 0.04 0.060.060.05
1 求PX2|Y2,PY3|X0;
(2) 求V(X,Y)的分布律;
(3) 求Umin(X,Y)的分布律;
(4) 求WX+Y的分布律.
【解】(1) (2)
所以V的分布律为