概率论与数理统计_第四版_第四章

第四章　随机变量的数字特征 1 ．（１） 在下列句子中随机地取一个单词 ，以 X表示取到的单词所包含的字 母个数 ，写出 X的分布律并求 E（ X） ． “THE GIRL PU T ON HER BEAU TIFUL RED HAT” ． （２） 在上述句子的 ３０个字母中随机地取一个字母 ，以 Y 表示取到的字母所 在单词所包含的字母数 ，写出 Y 的分布律并求 E（Y） ． （３） 一人掷骰子 ，如得 ６点则掷第 ２次 ，此时得分为 ６ ＋ 第二次得到的点数 ； 否则得分为他第一次掷得的点数 ，且不能再掷 ，求得分 X的分布律及 E（ X） ． 解 （１） 随机试验属等可能概型 ．所给句子共 ８个单词 ，其中含 ２个字母 ，含 ４个字母 ，含 ９个字母的各有一个单词 ，另有 ５个单词含 ３个字母 ，所以 X的分布 律为 X ２ ３ ４ ９ pk １８ ５８ １８ １８ 数学期望 E（ X） ＝ ２ × １８ ＋ ３ × ５８ ＋ ４ × １８ ＋ ９ × １８ ＝ １５４ ． （２） 随机试验属等可能概型 ，Y 的可能值也是 ２ ，３ ，４ ，９ ．样本空间 S由各个 字母组成 ，共有 ３０个样本点 ，其中样本点属于Y ＝ ２的有 ２个 ，属于 Y ＝ ３的有 １５ 个 ，属于 Y ＝ ４ 的有 ４ 个 ，属于Y ＝ ９ 的有 ９个 ，所以 Y 的分布律为 Y ２ ３ ４ ９ pk ２３０ １５３０ ４３０ ９３０ 数学期望 　 E（Y） ＝ ２ × ２３０ ＋ ３ × １５３０ ＋ ４ × ４３０ ＋ ９ × ９３０ ＝ ７３１５ ． （３） 分布律为 X １ ２ ３ ４ ５ ７ ８ ９ １０ １１ １２ pk １６ １６ １６ １６ １６ １３６ １３６ １３６ １３６ １３６ １３６ E（ X） ＝ １ × １６ ＋ ２ × １６ ＋ ３ × １６ ＋ ４ × １６ ＋ ５ × １６ ＋ ７ × １３６ ＋ ８ × １３６ ＋ ９ × １３６ 　 ＋ １０ × １３６ ＋ １１ × １ ３６ ＋ １２ × １ ３６ ＝ ４９１２ ． 2 ．某产品的次品率为 ０畅 １ ，检验员每天检验 ４次 ．每次随机地取 １０件产品进 行检验 ，如发现其中的次品数多于 １ ，就去调整设备 ．以 X 表示一天中调整设备 的次数 ，试求 E（ X） ．（设诸产品是否为次品是相互独立的 ．） 解 先求检验一次 ，决定需要调整设备的概率 ．设抽检出次品件数为 Y ，则 Y ～ b（１０ ，０畅 １） ．记需调整设备一次的概率为 p ，则 p ＝ P｛Y ＞ １｝ ＝ １ － P｛Y ＝ ０｝ － P｛Y ＝ １｝ ＝ １ － ０畅９１０ － １０１ · ０畅９ ９ · ０畅１ ＝ ０畅 ２６３ ９ ． 又因各次检验结果相互独立 ，故 X ～ b（４ ，０畅 ２６３ ９） ． X的分布律为 X ０ １ ２ ３ ４ pk （１ － p）４ ４ p（１ － p）３ ６ p２ （１ － p）２ ４ p３ （１ － p） p４ 于是 E（ X） ＝ １ × ４ p（１ － p）３ ＋ ２ × ６ p２ （１ － p）２ ＋ ３ × ４ p３ （１ － p） ＋ ４ × p４ ＝ ４ p ＝ ４ × ０畅２６３ ９ ＝ １畅０５５ ６ ． 以后将会知道若 X ～ b（n ，p） ，则 E（ X） ＝ np ． 3 ．有 ３只球 ，４ 个盒子 ，盒子的编号为 １ ，２ ，３ ，４ ．将球逐个独立地 ，随机地放 入 ４个盒子中去 ．以 X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如 X ＝ ３表 示第 １号 ，第 ２号盒子是空的 ，第 ３ 个盒子至少有一只球） ，试求 E（ X） ． 解法（i） 　 由于每只球都有 ４种放法 ，由乘法原理共有 ４３ ＝ ６４种放法 ．其中 ３只球都放在 ４ 号盒中的放置法仅有 １ 种 ，从而 P｛ X ＝ ４｝ ＝ １６４ ． 又｛ X ＝ ３｝表示事件“１ ，２号盒子都是空的 ，而 ３号盒子不空” ．因 １ ，２号盒子 都空 ，球只能放置在 ３ ，４号两个盒子中 ，共有 ２３ 种放置法 ，但其中有一种是 ３ 只 球都放在 ４号盒子中 ，即 ３ 号盒子是空的 ，这不符合 X ＝ ３的要求需除去 ，故有 P｛ X ＝ ３｝ ＝ ２３ － １６４ ＝ ７６４ ． 88 概率论与数理统计习全解指南 同理可得 P｛ X ＝ ２｝ ＝ ３３ － ２３６４ ＝ １９６４ ， P｛ X ＝ １｝ ＝ ４３ － ３３６４ ＝ ３７６４ ． 因此 E（ X） ＝ 钞 ４ k ＝ １ kP｛ X ＝ k｝ ＝ ２５１６ ． 注 ：P｛ X ＝ １｝也可由 １ － （ P｛ X ＝ ４｝ ＋ P｛ X ＝ ３｝ ＋ P｛ X ＝ ２｝）求得 ． 解法（ii） 　 以 Ai（ i ＝ １ ，２ ，３ ，４）记事件“第 i个盒子是空盒” ．｛ X ＝ １｝表示事件 “第一个盒子中至少有一只球” ，因此｛ X ＝ １｝ ＝ A　— １ ，故 P｛ X ＝ １｝ ＝ P（ A　— １ ） ＝ １ － P（ A１ ） ＝ １ － ３４ ３ ＝ ３７６４ ． （因第一个盒子为空盒 ，３ 只球的每一只都只有 ３ 个盒子可以放 ，故 P（ A１ ） ＝ （３／４）３ ．） ｛ X ＝ ２｝表示事件“第一个盒子为空盒且第二个盒子中至少有一只球” ，因 此｛ X ＝ ２｝ ＝ A１ A　— ２ ．故 P｛ X ＝ ２｝ ＝ P（ A１ A　— ２ ） ＝ P（ A　— ２ A１ ） P（ A１ ） ＝ （１ － P（ A２ A１ ）） P（ A１ ） ＝ １ － ２３ ３ ３ ４ ３ ＝ １９６４ ． （因在第一个盒子是空盒的条件下 ，第二个盒子也是空盒 ，则 ３ 只球都只有 ２ 个 盒子可以放 ，故 P（ A２ A１ ） ＝ ２３ ３ ．） 类似地 ， P｛ X ＝ ３｝ ＝ P（ A１ A２ A　— ３ ） ＝ P（ A　— ３ A１ A２ ） P（ A２ A１ ） P（ A１ ） ＝ １ － １２ ３ ２ ３ ３ ３ ４ ３ ＝ ７６４ ， P｛ X ＝ ４｝ ＝ １ － ３７６４ － １９６４ － ７６４ ＝ １６４ ， 因此 ， E（ X） ＝ 钞４k ＝ １ kP｛ X ＝ k｝ ＝ ２５１６ ． 解法（iii） 　 将球编号 ．以 X１ ，X２ ，X３ 分别记 １号 ，２号 ，３号球所落入的盒子 的号码数 ．则 X１ ，X２ ，X３ 都是随机变量 ，记 X ＝ min｛ X１ ，X２ ，X３ ｝ ，按题意 ，本题 需要求的是 98第四章 　随机变量的数字特征 E（ X） ＝ E［min｛ X１ ，X２ ，X３ ｝］ ． 因 X１ ，X２ ，X３ 具有相同的分布律 X j １ ２ ３ ４ pk １４ １４ １４ １４ 因而 X１ ，X２ ，X３ 具有相同的分布函数 F（ z） ＝ ０ ， z ＜ １ ， １ ４ ， １ ≤ z ＜ ２ ， ２ ４ ， ２ ≤ z ＜ ３ ， ３ ４ ， ３ ≤ z ＜ ４ ， １ ， z ≥ ４ ． 于是 X ＝ min｛ X１ ，X２ ，X３ ｝ 的分布函数为 ： Fmin （ z） ＝ １ － ［１ － F（ z）］３ ＝ １ － （１ － ０）３ ＝ ０ ， z ＜ １ ， １ － １ － １４ ３ ＝ ３７６４ ， １ ≤ z ＜ ２ ， １ － １ － ２４ ３ ＝ ５６６４ ， ２ ≤ z ＜ ３ ， １ － １ － ３４ ３ ＝ ６３６４ ， ３ ≤ z ＜ ４ ， １ － （１ － １）３ ＝ １ ， z ≥ ４ ． X ＝ min｛ X１ ，X２ ，X３ ｝ 的分布律为 X １ ２ ３ ４ pk ３７６４ １９６４ ７６４ １６４ 得 E（ X） ＝ ２５１６ ． 4 ．（１） 设随机变量 X的分布律为 P X ＝ （ － １） j ＋ １ ３ jj ＝ ２３ j ，j ＝ １ ，２ ，… ， 说明 X的数学期望不存在 ． （２） 一盒中装有一只黑球 ，一只白球 ，作摸球游戏 ，规则如下 ：一次从盒中随 机摸一只球 ，若摸到白球 ，则游戏结束 ；若摸到黑球放回再放入一只黑球 ，然后再 09 概率论与数理统计习题全解指南 从盒中随机地摸一只球 ．试说明要游戏结束的摸球次数 X的数学期望不存在 ． 解 （１） 因级数 钞 ∞ j ＝ １ （ － １） j＋ １ ３ jj P X ＝ （ － １） j＋ １ ３ j j ＝ 钞 ∞ j ＝ １ （ － １） j ＋ １ ３ jj · ２ ３ j ＝ ２ 钞 ∞ j ＝ １ （ － １） j ＋ １ j 不绝对收敛 ，按定义 X的数学期望不存在 ． （２） 以 A k 记事件“第 k次摸球摸到黑球” ，以 A k 记事件“第 k次摸球摸到白 球” ，以 Ck 表示事件“游戏在第 k次摸球时结束” ，k ＝ １ ，２ ，… ．按题意 Ck ＝ A１ A２ … Ak－ １ A　— k ， P（Ck） ＝ P（ A　— k | A１ A２ … Ak－ １ ）P（ Ak－ １ | A１ A２ … Ak－ ２） … P（ A２ | A１） P（ A１ ） ． P｛ X ＝ １｝ ＝ P（ A　— １ ） ＝ １２ ， P｛ X ＝ ２｝ ＝ P（ A１ A　— ２ ） ＝ P（ A　— ２ | A１ ） P（ A１ ） ＝ １３ · １２ ， P｛ X ＝ ３｝ ＝ P（ A１ A２ A　— ３ ） ＝ P（ A　— ３ | A１ A２ ） P（ A２ | A１ ） P（ A１ ） ＝ １４ · ２ ３ · １ ２ ＝ １ ４ · １ ３ ， X ＝ k时 ，盒中共 k ＋ １ 只球 ，其中只有一只是白球 ，故 P｛ X ＝ k｝ ＝ P（ A１ … A k－ １ A　— k） ＝ P（ A　— k 　A１ A２ … Ak－ １ ） P（ Ak－ １ A１ A２ … Ak－ ２ ） … P（ A２ A１ ）P（ A１ ） ＝ １k ＋ １ · k － １k · k － ２k － １ · … · ２ ３ · １ ２ ＝ １k ＋ １ · １k ． 若 E（ X）存在 ，则它应等于 钞 ∞ k ＝ １ kP｛ X ＝ k｝ ．但 钞 ∞ k ＝ １ kP｛ X ＝ k｝ ＝ 钞 ∞ k ＝ １ k · １k ＋ １ · １k ＝ 钞 ∞ k ＝ １ １k ＋ １ ＝ ∞ ， 故 X的数学期望不存在 ． 5 ．设在某一规定的时间间隔里 ，某电气设备用于最大负荷的时间 X（以 min 计） 是一个随机变量 ，其概率密度为 f（ x） ＝ １ １ ５００２ x ， ０ ≤ x ≤ １ ５００ ， － １ １ ５００２ （ x － ３ ０００） ， １ ５００ ＜ x ≤ ３ ０００ ， ０ ， 其他 ． 19第四章 　随机变量的数字特征 求 E（ X） ． 解 按连续型随机变量的数学期望的定义 ，有 E（ X） ＝∫ ∞－ ∞ x f （ x）d x ＝∫０－ ∞ x f （ x）d x ＋∫１ ５０００ x f （ x）d x 　 ＋∫３ ０００１ ５００ x f （ x）d x ＋∫ ∞３ ０００ x f （ x）d x ＝∫０－ ∞ x · ０d x ＋∫１ ５０００ x · x１ ５００２ d x 　 ＋∫３ ０００１ ５００ x · － （ x － ３ ０００）１ ５００２ d x ＋∫∞３ ０００ x · ０d x ＝ １１ ５００２ x３ ３ １ ５００ ０ ＋ １ １ ５００２ ３ ０００ × x２ ２ － x３ ３ ３ ０００ １ ５００ ＝ １ ５００（min） ． 6 ．（１） 设随机变量 X的分布律为 X － ２ ０ ２ pk ０畅４ ０畅３ ０畅３ 求 E（ X） ，E（ X２ ） ，E（３ X２ ＋ ５） ． （２） 设 X ～ π（λ） ，求 E １X ＋ １ ． 解 （１） X的分布律为 X － ２ ０ ２ pk ０畅４ ０畅３ ０畅３ E（ X） ＝ （ － ２） × ０畅 ４ ＋ ０ × ０畅３ ＋ ２ × ０畅 ３ ＝ － ０畅 ２ ． 由关于随机变量函数的数学期望的定理 ，知 E（ X２ ） ＝ （ － ２）２ × ０畅 ４ ＋ ０２ × ０畅 ３ ＋ ２２ × ０畅 ３ ＝ ２畅８ ， E（３ X２ ＋ ５） ＝ ［３（－ ２）２ ＋ ５］ × ０畅４ ＋ ［３（０）２ ＋ ５］ × ０畅３ ＋ ［３（２２ ） ＋ ５］ × ０畅３ ＝ １３畅４ ． 如利用数学期望的性质 ，则有 E（３ X２ ＋ ５） ＝ ３E（ X２ ） ＋ ５ ＝ ３ × ２畅 ８ ＋ ５ ＝ １３畅４ ． （２） 因 X ～ π（λ） ，故 P｛ X ＝ k｝ ＝ λke－ λk ！ ． 29 概率论与数理统计习题全解指南 E １X ＋ １ ＝ 钞 ∞ k ＝ ０ １k ＋ １ P｛ X ＝ k｝ ＝ 钞 ∞ k ＝ ０ １k ＋ １ λk e－ λk ！ ＝ 钞 ∞ k ＝ ０ λke－ λ （ k ＋ １） ！ ＝ e－ λλ 钞 ∞ k ＝ ０ λk＋ １ （ k ＋ １） ！ ＝ e－ λ λ 钞 ∞ j ＝ １ λj j ！ ＝ e － λ λ 钞 ∞ j ＝ ０ λj j ！ － １ ＝ e－ λλ （eλ － １） ＝ １λ （１ － e－ λ） ． 7 ．（１） 设随机变量 X的概率密度为 f（ x） ＝ e － x ， x ＞ ０ ， ０ ， x ≤ ０ ． 求（i）Y ＝ ２ X ；（ii）Y ＝ e－ ２ X 的数学期望 ． （２） 设随机变量 X１ ，X２ ，… ，Xn 相互独立 ，且都服从（０ ，１） 上的均匀分布 （i）求U ＝ max｛ X１ ，X２ ，… ，Xn｝的数学期望 ，（ii）求 V ＝ min｛ X１ ，X２ ，… ，Xn｝的 数学期望 ． 解 （１） 由关于随机变量函数的数学期望的定理 ，知 （i） E（Y） ＝ E（２ X） ＝∫ ∞－ ∞ ２ x f （ x）d x ＝ ２ ∫０－ ∞ x · ０d x ＋∫∞０ xe－ x d x ＝ ２ － xe－ x ∞０ ＋∫ ∞０ e－ x d x ＝ － ２e－ x ∞０ ＝ ２ ； （ii） E（Y） ＝ E（e－ ２ X ） ＝∫∞０ e－ ２ x · e－ x d x ＝∫ ∞０ e－ ３ x d x ＝ － １３ e－ ３ x ∞ ０ ＝ １３ ． （２） 因 X i ～ U（０ ，１） ，i ＝ １ ，２ ，… ，n ，X i 的分布函数为 F（ x） ＝ ０ ，　 x ＜ ０ ， x ，　 ０ ≤ x ＜ １ ， １ ，　 x ≥ １ ． 因 X１ ，X２ ，… ，Xn 相互独立 ，故 U ＝ max｛ X１ ，X２ ，… ，Xn｝ 的分布函数为 FU （ u） ＝ ０ ，　 u ＜ ０ ， un ，　 ０ ≤ u ＜ １ ， １ ，　 u ≥ １ ． U 的概率密度为 f U （ u） ＝ nu n－ １ ，　 　 ０ ＜ u ＜ １ ， ０ ，　 　 　 其他 ． E（U） ＝∫∞－ ∞ u f U （ u）du ＝∫１０ u · nun－ １ du ＝ n∫１０ undu ＝ nn ＋ １ ． 39第四章 　随机变量的数字特征 V ＝ min｛ X１ ，X２ ，… ，Xn｝ 的分布函数为 FV （ v） ＝ ０ ，　 　 　 　 　 　 　 v ＜ ０ ， １ － （１ － v） n ，　 ０ ≤ v ＜ １ ， １ ，　 　 　 　 v ≥ １ ． V 的概率密度为 f V （ v） ＝ n（１ － v） n－ １ ，　 　 ０ ＜ v ＜ １ ， ０ ，　 　 　 　 其他 ． E（V） ＝∫∞－ ∞ v f V （ v）d v ＝∫１０ vn（１ － v） n－ １ d v ＝ － v（１ － v）n １０ ＋∫１０ （１ － v）nd v ＝ － （１ － v） n＋ １n ＋ １ １ ０ ＝ １n ＋ １ ． 8 ．设随机变量（ X ，Y） 的分布律为 X 　 　 　 　 Y 　 　 　 　 　 １ ２ ３ － １ ０畅２ ０畅１ ０畅０ ０ ０畅１ ０畅０ ０畅３ １ ０畅１ ０畅１ ０畅１ （１） 求 E（ X） ，E（Y） ． （２） 设 Z ＝ YX ，求 E（Z） ． （３） 设Z ＝ （ X － Y）２ ，求 E（Z） ． 解 由关于随机变量函数的数学期望 E［g（ X ，Y）］的定理 ，得 （１） E（ X） ＝ 钞 ３ i ＝ １ 钞 ３ j ＝ １ x i p i j ＝ １ · （０畅２ ＋ ０畅１ ＋ ０畅１） ＋ ２ · （０畅１ ＋ ０ ＋ ０畅１） ＋ ３ · （０ ＋ ０畅３ ＋ ０畅１） ＝ ２ ． 　 　 　 E（Y） ＝ 钞 ３ j ＝ １ 钞 ３ i ＝ １ y j p i j ＝ （－ １） · （０畅２ ＋ ０畅１ ＋ ０） ＋ ０ · （０畅１ ＋ ０ ＋ ０畅３） ＋ １· （０畅１ ＋ ０畅１ ＋ ０畅１） ＝ ０ ． （２） E（Z） ＝ E YX ＝ － １１ P｛ X ＝ １ ，Y ＝ － １｝ ＋ － １２ P｛ X ＝ ２ ，Y ＝ － １｝ 　 ＋ － １３ P｛ X ＝ ３ ，Y ＝ － １｝ 49 概率论与数理统计习题全解指南 　 ＋ ０１ P｛ X ＝ １ ，Y ＝ ０｝ ＋ ０２ P｛ X ＝ ２ ，Y ＝ ０｝ 　 ＋ ０３ P｛ X ＝ ３ ，Y ＝ ０｝ ＋ １１ P｛ X ＝ １ ，Y ＝ １｝ 　 ＋ １２ P｛ X ＝ ２ ，Y ＝ １｝ ＋ １３ P｛ X ＝ ３ ，Y ＝ １｝ ＝ － ０畅 ２ － ０畅 ０５ ＋ ０畅 １ ＋ ０畅 ０５ ＋ ０畅１３ ＝ － １ １５ ． （３） E（Z） ＝ E［（ X － Y）２ ］ ＝ 钞 ３ j ＝ １ 钞 ３ i ＝ １ （ x i － y j）２ p ij ＝ ２２ × ０畅 ２ ＋ ３２ × ０畅 １ ＋ ４２ × ０ ＋ １２ × ０畅 １ ＋ ２２ × ０ 　 ＋ ３２ × ０畅 ３ ＋ ０２ × ０畅１ ＋ １２ × ０畅 １ ＋ ２２ × ０畅 １ ＝ ５ ． 注 ：（i） 可先求出边缘分布律 ，然后求出 E（ X） ，E（Y） ． （ii） 在（３）中可先算出 Z ＝ （ X － Y）２ 的分布律 Z ０ １ ４ ９ pk ０畅１ ０畅２ ０畅３ ０畅４ 然后求得 E（Z） ＝ 钞 ４ k ＝ １ zk p k ＝ ５ ． 题 ４畅９图 9 ．（１） 设随机变量（ X ，Y） 的概率密度为 f（ x ，y） ＝ １２ y ２ ， ０ ≤ y ≤ x ≤ １ ， ０ ， 其他 ． 求 E（ X） ，E（Y） ，E（ XY） ，E（ X２ ＋ Y２ ） ． （２） 设随机变量 X ，Y 的联合密度为 f（ x ，y） ＝ １ y e－ （ y＋ x／ y） ，　 x ＞ ０ ，y ＞ ０ ， ０ ，　 　 　 　 　 　 其他 ， 求 E（ X） ，E（Y） ，E（ XY） ． 解 （１） 各数学期望均可按照 E［ g（ X ，Y）］ ＝∫ ∞－ ∞∫ ∞－ ∞ g（ x ，y） f（ x ，y）d xdy计 算 ．因 f（ x ，y）仅在有限区域 G ：｛（ x ，y） 　０ ≤ y ≤ x ≤ １｝内不为零 ，故各数学期望 均化为 G （如题 ４畅９图）上相应积分的计算 ． E（ X） ＝∫ ∞－ ∞∫ ∞－ ∞ x f （ x ，y）d xd y ＝∫∫G x · １２ y２ d xd y ＝∫１０ d x∫x０ １２ xy２ d y ＝ ４５ ． 59第四章 　随机变量的数字特征 E（Y） ＝∫∫G y · １２ y２ d xd y ＝∫ １ ０ d x∫x０ １２ y３ d y ＝ ３５ ． E（ XY） ＝∫∫ G x y · １２ y２ d xd y ＝∫１０ d x∫x０ １２ xy３ d y ＝ １２ ． E（ X２ ＋ Y２ ） ＝∫∫G （ x２ ＋ y２ ）１２ y２ d xd y ＝∫１０ d x∫x０ １２（ x２ y２ ＋ y４ ）d y ＝ １６１５ ． （２） E（ X） ＝∫∞－ ∞∫ ∞－ ∞ x f （ x ，y）d xd y ＝∫ ∞０∫ ∞０ xy e－ （ y＋ xy ） d xd y ＝ －∫ ∞０ e－ y ∫ ∞０ xe－ x／ y d（ － xy ） d y ＝ －∫ ∞０ e－ y xe－ x／ y ∞０ －∫ ∞０ e－ x／ y d x d y ＝∫∞０ e－ y yd y ＝ １ ． E（Y） ＝∫ ∞０∫∞０ e－ （ y＋ x／ y） d xd y ＝∫ ∞０ e－ y∫ ∞０ e－ x／ y d xd y ＝∫ ∞０ e－ y［ － ye－ x／ y］ ∞０ d y ＝∫ ∞０ e－ y yd y ＝ １ ． E（ XY） ＝∫ ∞－ ∞∫∞－ ∞ xy f （ x ，y）d xd y ＝∫ ∞０∫∞０ xe－ （ y＋ x／ y） d xd y ＝∫ ∞０ e－ y［∫ ∞０ xe－ x／ y d x］d y ． 而 　 　 　∫∞０ xe－ x／ y d x ＝ － y∫ ∞０ xe－ x／ y d（ － xy ） ＝ y２ ， 故 　 　 　 　 E（ XY） ＝∫ ∞０ y２ e－ y d y ＝ Γ（３） ① ＝ ２ ． 10 ．（１） 设随机变量 X ～ N（０ ，１） ，Y ～ N（０ ，１） 且 X ，Y 相互独立 ．求 E X２X２ ＋ Y２ ． （２） 一飞机进行空投物资作业 ，设目标点为原点 O（０ ，０） ，物资着陆点为 （ X ，Y） ，X ，Y相互独立 ，且设 X ～ N（０ ，σ２ ） ，Y ～ N（０ ，σ２ ） ，求原点到点（ X ，Y）间 距离的数学期望 ． 解 （１） 由对称性知 E X２X２ ＋ Y２ ＝ E Y２ X２ ＋ Y２ ． 69 概率论与数理统计习题全解指南 ① Γ 函数 ：Γ（ α） ＝∫∞０ xα－ １ e － xd x ，α ＞ ０ ，它具有性质 ：Γ（ α ＋ １） ＝ αΓ（ α） ，α ＞ ０ ，Γ（１） ＝ １ ，Γ（ １２ ） ＝ π ，Γ（ n ＋ １） ＝ nΓ（ n） ＝ n ！ （ n为正整数） ． 而 E X２X２ ＋ Y２ ＋ E Y２ X２ ＋ Y２ ＝ E（１） ＝ １ ， 故 E X２X２ ＋ Y２ ＝ １２ ． （２） 记原点到点（ X ，Y）的距离为 R ，R ＝ X２ ＋ Y２ ，由题设（ X ，Y） 的密度 函数为 f（ x ，y） ＝ １２πσe － x２／（２ σ２ ） · １２πσe － y２ ／（２ σ２ ） ＝ １２πσ２ e－ x２ ＋ y２ ２σ２ ，　 － ∞ ＜ x ＜ ∞ ，　 － ∞ ＜ y ＜ ∞ ． E（ R） ＝ E（ X２ ＋ Y２ ） ＝∫∞－ ∞∫ ∞－ ∞ x２ ＋ y２ １２πσ２ e－ （ x２ ＋ y２ ）／（２ σ２ ） d xd y ． 采用极坐标 E（ R） ＝∫２π０ dθ∫ ∞０ r２πσ２ e－ r２／（２ σ２ ） rd r ＝ ２π∫ ∞０ １２πσ２ r２ e－ r２／（２ σ２ ） d r ＝ １σ２∫ ∞０ r２ e－ r２ ／（２ σ２ ） d r ＝ －∫ ∞０ rd（e－ r２／（２ σ２ ） ） ＝ － re－ r２／（２ σ２ ） ∞０ ＋∫ ∞０ e－ r２／（２ σ２ ） d r ＝ １２∫∞－ ∞ e－ r２／（２ σ２ ） d r ＝ １２ １２πσ∫ ∞ － ∞ e－ r２ ／（２ σ２ ） d r ２πσ ＝ １２ × １ × ２πσ ＝ σ π ２ ． 11 ．一工厂生产的某种设备的寿命 X（以年计） 服从指数分布 ，概率密度为 f（ x） ＝ １ ４ e－ x／４ ， x ＞ ０ ， ０ ，　 x ≤ ０ ． 工厂规定 ，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换 ．若工厂售出一台设备 赢利 １００ 元 ，调换一台设备厂方需花费 ３００元 ．试求厂方出售一台设备净赢利的 数学期望 ． 解 一台设备在一年内调换的概率为 p ＝ P｛ X ＜ １｝ ＝∫１０ １４ e－ x／４ d x ＝ － e－ x／４ １０ ＝ １ － e－ １／４ ． 以 Y 记工厂售出一台设备的净赢利值 ，则 Y 具有分布律 Y １００ １００ － ３００ pk e－ １／４ １ － e－ １／４ 79第四章 　随机变量的数字特征 故有 E（Y） ＝ １００ × e－ １／４ － ２００（１ － e－ １／４ ） ＝ ３００e－ １／４ － ２００ ＝ ３３畅６４（元） ． 12 ．某车间生产的圆盘直径在区间（ a ，b）服从均匀分布 ，试求圆盘面积的数 学期望 ． 解 设圆盘直径为 X ，按题设 X具有概率密度 f X （ x） ＝ １b － a ， a ＜ x ＜ b ， ０ ， 其他 ， 故圆盘面积 A ＝ １４ π X２ 的数学期望为 E １４ π X２ ＝∫ba １４ π x２ １b － ad x ＝ π１２（ b － a） x３ ba ＝ π１２（ b２ ＋ ab ＋ a２ ） ． 13 ．设电压（以 V 计） X ～ N（０ ，９） ．将电压施加于一检波器 ，其输出电压为 Y ＝ ５ X２ ，求输出电压 Y 的均值 ． 解 由 X ～ N（０ ，９） ，即有 E（ X） ＝ ０ ，D（ X） ＝ ９ ． E（Y） ＝ E（５ X２ ） ＝ ５ E（ X２ ） ＝ ５｛D（ X） ＋ ［ E（ X）］２ ｝ ＝ ５（９ ＋ ０） ＝ ４５（V） ． 另法 　 X的概率密度为 f X （ x） ＝ １３ ２πe － x２／１８ ，　 － ∞ ＜ x ＜ ∞ ． E（Y） ＝ E（５ X２ ） ＝ ５ E（ X２ ） ＝ ５∫ ∞－ ∞ x２３ ２πe－ x２／１８ d x ＝ ５ × ９３ ２π － xe － x２ ／１８ ∞ － ∞ ＋∫∞－ ∞ e－ x２／１８ d x ＝ ４５３ ２π∫ ∞ － ∞ e－ x２ ／１８ d x ＝ ４５∫∞－ ∞ f X （ x）d x ＝ ４５ × １ ＝ ４５（V） ． 14 ．设随机变量 X１ ，X２ 的概率密度分别为 f１ （ x） ＝ ２e － ２ x ， x ＞ ０ ， ０ ， x ≤ ０ ，　 f２ （ x） ＝ ４e－ ４ x ， x ＞ ０ ， ０ ， x ≤ ０ ． （１） 求 E（ X１ ＋ X２ ） ，E（２ X１ － ３ X２２ ） ． （２） 又设 X１ ，X２ 相互独立 ，求 E（ X１ X２ ） ． 解 若 X服从以 θ为参数的指数分布 ，其概率密度为 89 概率论与数理统计习题全解指南 f（ x） ＝ １ θ e－ x／ θ ， x ＞ ０ ， ０ ， 其他 ， 则 E（ X） ＝∫ ∞－ ∞ x f （ x）d x ＝∫ ∞０ x １θ e－ x／ θd x ，令 u ＝ x θ ，得到 　 E（ X） ＝ θ∫ ∞０ ue－ udu ＝ θΓ（２） ＝ θΓ（１） ＝ θ， E（ X２ ） ＝∫ ∞－ ∞ x２ f（ x）d x ＝∫ ∞０ x２ １θ e－ x／ θd x ＝ θ２∫ ∞０ u２ e－ udu ＝ θ２ Γ（３） 　 （其中 u ＝ xθ ） ＝ θ２ · ２Γ（２） ＝ θ２ · ２Γ（１） ＝ ２θ２ ， 故 E（ X１ ） ＝ １２ ，E（ X２ ） ＝ １４ ，E（ X２２ ） ＝ ２（ １４ ）２ ＝ １８ ，于是 （１） 由数学期望的性质 ，有 E（ X１ ＋ X２ ） ＝ E（ X１ ） ＋ E（ X２ ） ＝ ３４ ， E（２ X１ － ３ X２２ ） ＝ ２ E（ X１ ） － ３E（ X２２ ） ＝ ５８ ． （２） 因 X１ ，X２ 相互独立 ，由数学期望的性质 ，有 E（ X１ X２ ） ＝ E（ X１ ） E（ X２ ） ＝ １２ × １４ ＝ １８ ． 15 ．将 n只球（１ ～ n号）随机地放进 n个盒子（１ ～ n号）中去 ，一个盒子装 一只球 ．若一只球装入与球同号的盒子中 ，称为一个配对 ．记 X 为总的配对数 ， 求 E（ X） ． 解 引入随机变量 X i ＝ １ ，　 若第 i号球装入第 i 号盒子中 ，０ ，　 若第 i号球未装入第 i 号盒子中 ，i ＝ １ ，２ ，… ，n ， 则总的配对数 X可表示成 X ＝ X１ ＋ X２ ＋ … ＋ Xn ． 显然 P｛ X i ＝ １｝ ＝ １n ，　 i ＝ １ ，２ ，… ，n ． X i 的分布律为 Xi ０ １ pk １ － １n １n 即有 E（ X i） ＝ １n ，i ＝ １ ，２ ，… ，n ，于是 99第四章 　随机变量的数字特征 E（ X） ＝ E（ X１ ＋ X２ ＋ … ＋ Xn） ＝ E（ X１ ） ＋ E（ X２ ） ＋ … ＋ E（ Xn） ＝ １ ． 16 ．若有 n把看上去样子相同的钥匙 ，其中只有一把能打开门上的锁 ，用它 们去试开门上的锁 ．设取到每只钥匙是等可能的 ．若每把钥匙试开一次后除去 ， 试用下面两种方法求试开次数 X的数学期望 ． （１） 写出 X的分布律 ． （２） 不写出 X的分布律 ． 解 （１） 以 A k（ k ＝ １ ，２ ，… ，n）表示事件“第 k次试开是成功的” ．｛ X ＝ k｝表 示前 k － １ 次所取的钥匙均未能打开门 ，而第 k次所取的钥匙能将门打开 ．即有 P｛ X ＝ k｝ ＝ P（ A　— １ A　— ２ … A　— k－ １ A k） ＝ P（ A　— １ A　— ２ … A　— k－ １ ） P（ A k A　— １ A　— ２ … A　— k－ １ ） ＝ P（ A　— １ A　— ２ … A　— k－ ２ ） P（ A　— k－ １ A　— １ A　— ２ … A　— k－ ２ ） P（ A k A　— １ A　— ２ … A　— k－ １ ） ＝ … ＝ P（ A　— １ ） P（ A　— ２ A　— １ ） P（ A　— ３ A　— １ A　— ２ ） … P（ A k A　— １ A　— ２ … A　— k－ １ ） ＝ n － １n · n － ２n － １ · … · n － k ＋ １n － k ＋ ２ · １n － k ＋ １ ＝ １n ， X的分布律为 P｛ X ＝ k｝ ＝ １n ，　 k ＝ １ ，２ ，… ，n ， 故 E（ X） ＝ 钞 n k ＝ １ kP｛ X ＝ k｝ ＝ 钞 n k ＝ １ k · １n ＝ １n 钞 n k ＝ １ k ＝ １n · n（n ＋ １）２ ＝ n ＋ １２ ． （２） 引入随机变量 X k 如下 ： X１ ＝ １ ， X k ＝ １ ，　 前 k － １次试开均未成功 ，０ ，　 前 k － １次中有一次试开成功 ，k ＝ ２ ，３ ，… ，n ， 则 X ＝ X１ ＋ X２ ＋ … ＋ Xn ． 沿用（１）中的记号 ，则有 E（ X１ ） ＝ １ ， E（ X k） ＝ １ × P｛ X k ＝ １｝ ＝ １ × P（ A　— １ A　— ２ … A　— k－ １ ） ＝ P（ A　— １ ） P（ A　— ２ A　— １ ） … P（ A　— k－ １ A　— １ A　— ２ … A　— k－ ２ ） ＝ n － １n · n － ２n － １ · … · n － （ k － １）n － （ k － ２） ＝ n － k ＋ １n ， 001 概率论与数理统计习题全解指南 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 k ＝ ２ ，３ ，… ，n ． 故有 E（ X） ＝ １ ＋ 钞 n k ＝ ２ E（ X k） ＝ １ ＋ 钞 n k ＝ ２ n － k ＋ １n ＝ n ＋ １２ ． 17 ．设 X 为随机变量 ，C是常数 ，证明 D（ X） ＜ E［（ X － C）２ ］ ，对于 C ≠ E（ X） ．（由于 D（ X） ＝ E［［ X － E（ X）］２ ］ ，上式表明E［（ X － C）２ ］当 C ＝ E（ X）时取 到最小值 ．） 证 　 E［（ X － C）２ ］ ＝ E（ X２ － ２CX ＋ C２ ） ＝ E（ X２ ） － ２CE（ X） ＋ C２ ＝ E（ X２ ） － ［ E（ X）］２ ＋ ｛［E（ X）］２ － ２CE（ X） ＋ C２ ｝ ＝ D（ X） ＋ （ E（ X） － C）２ ≥ D（ X） ． 等号仅当 C ＝ E（ X）时成立 ． 18 ．设随机变量 X服从瑞利分布 ，其概率密度为 f（ x） ＝ x σ２ e－ x ２ （２ σ２ ） ， x ＞ ０ ， ０ ， x ≤ ０ ， 其中 σ ＞ ０ 是常数 ．求 E（ X） ，D（ X） ． 解 E（ X） ＝∫∞－ ∞ x f （ x）d x ＝∫ ∞０ x xσ２ e－ x２ （２ σ２ ） d x ． 令 u ＝ x２ （２σ２ ） ，得到 E（ X） ＝ ２σ∫ ∞０ u１／２ e－ udu ＝ ２σΓ（ ３２ ） ＝ ２σ １２ Γ（ １ ２ ） ① ＝ π２ σ． E（ X２ ） ＝∫ ∞－ ∞ x２ f（ x）d x ＝∫ ∞０ x２ xσ２ e－ x２ （２ σ２ ） d x ． 令 u ＝ x２ （２σ２ ） ，得到 E（ X２ ） ＝ ２σ２∫ ∞０ ue－ udu ＝ ２σ２ Γ（２） ＝ ２σ２ ， 故 D（ X） ＝ E（ X２ ） － （ E（ X））２ ＝ ２σ２ － π２ σ２ ＝ ４ － π２ σ２ ． 19 ．设随机变量 X服从 Γ 分布 ，其概率密度为 f（ x） ＝ １ β α Γ（α） x α－ １ e－ x／ β ， x ＞ ０ ， ０ ， x ≤ ０ ， 101第四章 　随机变量的数字特征 ① 参见 ９６ 页注 ． 其中 α ＞ ０ ，β ＞ ０是常数 ．求 E（ X） ，D（ X） ． 解 E （ X） ＝∫ ∞－ ∞ x f （ x）d x ＝∫ ∞０ xβα Γ（α） xα－ １ e－ x／ βd x 令 u ＝ x β βΓ（α）∫ ∞０ uαe－ udu ＝ βΓ（α） Γ（α ＋ １） ＝ βΓ（α） αΓ（α） ＝ αβ ． 　 　 Ε（ X２ ） ＝∫ ∞－ ∞ x２ f（ x）d x ＝∫ ∞０ x２β α Γ（α） xα－ １ e－ x／ βd x 令 u ＝ x／ β β２Γ（α）∫∞０ uα＋ １ e－ udu ＝ β２Γ（α） Γ（α ＋ ２） ＝ β２Γ（α）（α ＋ １）αΓ（α） ＝ α（α ＋ １）β ２ ． 　 　 D（ X） ＝ α（α ＋ １）β２ － （αβ）２ ＝ αβ２ ． 20 ．设随机变量 X服从几何分布 ，其分布律为 P｛ X ＝ k｝ ＝ p（１ － p） k－ １ ，　 k ＝ １ ，２ ，… ， 其中 ０ ＜ p ＜ １是常数 ．求 E（ X） ，D（ X） ． 解 E（ X） ＝ 钞 ∞ n ＝ １ nP｛ X ＝ n｝ ＝ 钞 ∞ n ＝ １ np（１ － p）n－ １ ＝ p 钞 ∞ n ＝ １ n（１ － p）n－ １ ＝ p １［１ － （１ － p）］２ ＝ １ p ． 这是因为 １ １ － x ＝ １ ＋ x ＋ x ２ ＋ … ＋ xk ＋ … ，　 x ＜ １ ， 两边对 x求导 ，就有 １ （１ － x）２ ＝ １ ＋ ２ x ＋ ３ x ２ ＋ … ＋ kx k－ １ ＋ … ， x ＜ １ ． （A） 又 E［ X（ X ＋ １）］ ＝ 钞 ∞ n ＝ １ n（ n ＋ １） P｛ X ＝ n｝ ＝ p 钞 ＋ ∞ n ＝ １ n（ n ＋ １）（１ － p）n－ １ ． 将上述（A） 式两边关于 x求导 ，就有 ２ （１ － x）３ ＝ １ · ２ ＋ ２ · ３ x ＋ … ＋ （ k － １） · kx k－ ２ ＋ … ，　 　 x ＜ １ ， 由此知 E［ X（ X ＋ １）］ ＝ p ２［１ － （１ － p）］３ ＝ ２ p２ 故 D（ X） ＝ E（ X２ ） － ［ E（ X）］２ ＝ E［ X（ X ＋ １） － X］ － ［E（ X）］２ 201 概率论与数理统计习题全解指南 ＝ E［ X（ X ＋ １）］ － E（ X） － ［ E（ X）］２ ＝ ２p２ － １ p － １ p２ ＝ １ － pp ２ ． 21 ．设长方形的长（以 m 计） X ～ U（０ ，２） ，已知长方形的周长（以 m 计） 为 ２０ ．求长方形面积 A的数学期望和方差 ． 解 长方形的长为 X ，周长为 ２０ ，所以它的面积 A为 A ＝ X（１０ － X） ． 现在 X ～ U（０ ，２） ，X的概率密度为 f X （ x） ＝ １ ２ ， ０ ＜ x ＜ ２ ， ０ ， 其他 ， 所以 E（ A） ＝ E［ X（１０ － X）］ ＝∫２０ x（１０ － x） · １２ d x ＝ ５２ x２ － １６ x３ ２ ０ ＝ ２６３ ＝ ８畅６７ ， E（ A２ ） ＝ E［ X２ （１０ － X）２ ］ ＝∫２０ x２ （１０ － x）２ · １２ d x ＝ １２∫２０ （１００ x２ － ２０ x３ ＋ x４ ）d x ＝ １ ４４８１５ ＝ ９６畅 ５３ ， D（ A） ＝ E（ A２ ） － ［ E（ A）］２ ＝ １ ４４８１５ － ２６ ３ ２ ＝ ２１畅 ４２ ． 22 ．（１） 设随机变量 X１ ，X２ ，X３ ，X４ 相互独立 ，且有 E（ X i） ＝ i ，D（ X i） ＝ ５ － i ，i ＝ １ ，２ ，３ ，４ ．设 Y ＝ ２ X１ － X２ ＋ ３ X３ － １２ X４ ．求 E（Y） ，D（Y） ． （２） 设随机变量 X ，Y 相互独立 ，且 X ～ N（７２０ ，３０２ ） ，Y ～ N（６４０ ，２５２ ） ，求 Z１ ＝ ２ X ＋ Y ，Z２ ＝ X － Y 的分布 ，并求概率 P｛ X ＞ Y｝ ，P｛ X ＋ Y ＞ １ ４００｝ ． 解 （１） E（Y） ＝ E ２ X１ － X２ ＋ ３ X３ － １２ X４ ＝ ２ E（ X１ ） － E（ X２ ） ＋ ３ E（ X３ ） － １２ E（ X４ ） ＝ ２ × １ － ２ ＋ ３ × ３ － １２ × ４ ＝ ７ ． 因 X１ ，X２ ，X３ ，X４ 相互独立 ，故有 D（Y） ＝ D ２ X１ － X２ ＋ ３ X３ － １２ X４ ＝ ４D（ X１ ） ＋ D（ X２ ） ＋ ９D（ X３ ） ＋ １４ D（ X４ ） ＝ ４ × ４ ＋ ３ ＋ ９ × ２ ＋ １４ × １ ＝ ３７畅２５ ． 301第四章 　随机变量的数字特征 （２） 因 X ，Y相互独立 ，且 X ～ N（７２０ ，３０２ ） ，Y ～ N（６４０ ，２５２ ） ，故 Z１ ＝ ２ X ＋ Y ， Z２ ＝ X － Y均服从正态分布 ，且 E（Z１ ） ＝ E（２ X ＋ Y） ＝ ２ E（ X） ＋ E（Y） ＝ ２ × ７２０ ＋ ６４０ ＝ ２ ０８０ ， D（Z１ ） ＝ D（２ X ＋ Y） ＝ ４ D（ X） ＋ D（Y） ＝ ４ × ３０２ ＋ ２５２ ＝ ４ ２２５ ， E（Z２ ） ＝ E（ X － Y） ＝ E（ X） － E（Y） ＝ ７２０ － ６４０ ＝ ８０ ， D（Z２ ） ＝ D（ X － Y） ＝ D（ X） ＋ D（Y） ＝ ３０２ ＋ ２５２ ＝ １ ５２５ ， 故有 Z１ ～ N（２ ０８０ ，４ ２２５） ，　 Z２ ～ N（８０ ，１ ５２５） ． P｛ X ＞ Y｝ ＝ P｛ X － Y ＞ ０｝ ＝ P｛Z２ ＞ ０｝ ＝ １ － P｛Z２ ≤ ０｝ ＝ １ － Φ ０ － ８０１ ５２５ ＝ Φ（２畅 ０４８ ６） ＝ ０畅 ９７９ ８ ． 又 X ＋ Y ～ N（ E（ X） ＋ E（Y） ，D（ X） ＋ D（Y）） ， 即 X ＋ Y ～ N（１ ３６０ ，１ ５２５） ． 故 P｛ X ＋ Y ＞ １ ４００｝ ＝ １ － P｛ X ＋ Y ≤ １ ４００｝ ＝ １ － Φ １ ４００ － １ ３６０１ ５２５ ＝ １ － Φ（１畅 ０２） ＝ １ － ０畅 ８４６ １ ＝ ０畅１５３ ９ ． 23 ．五家商店联营 ，它们每两周售出的某种农产品的数量（以 kg 计） 分 别为 X１ ，X２ ，X３ ，X４ ，X５ ．已知 X１ ～ N（２００ ，２２５） ，X２ ～ N（２４０ ，２４０） ，X３ ～ N（１８０ ，２２５） ，X４ ～ N（２６０ ，２６５） ， X５ ～ N（３２０ ，２７０） ，X１ ，X２ ，X３ ，X４ ，X５ 相互独立 ． （１） 求五家商店两周的总销售量的均值和方差 ． （２） 商店每隔两周进货一次 ，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率 大于 ０ ．９９ ，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品 ？ 解 以 Y 记五家商店该种产品的总销售量 ，即 Y ＝ X１ ＋ X２ ＋ X３ ＋ X４ ＋ X５ ． （１） 按题设 X i （ i ＝ １ ，２ ，３ ，４ ，５） 相互独立且均服从正态分布 ，即有 E（Y） ＝ 钞 ５ i ＝ １ E（ X i） ＝ ２００ ＋ ２４０ ＋ １８０ ＋ ２６０ ＋ ３２０ ＝ １ ２００ ， 401 概率论与数理统计习题全解指南 D（Y） ＝ 钞 ５ i ＝ １ D（Y i） ＝ ２２５ ＋ ２４０ ＋ ２２５ ＋ ２６５ ＋ ２７０ ＝ １ ２２５ ． （２） 设仓库应至少储存 n kg该产品 ，才能使该产品不脱销的概率大于０畅９９ ， 按题意 ，n应满足条件 P｛Y ≤ n｝ ＞ ０畅 ９９ ． 由于 Y ～ N（１ ２００ ，３５２ ） ，故有 P｛Y ≤ n｝ ＝ P Y － １ ２００３５ ≤ n － １ ２００３５ ＝ Φ n － １ ２００３５ ， 因而上述不等式即为 Φ n － １ ２００３５ ＞ ０畅 ９９ ＝ Φ（２畅 ３３） ， 从而 n － １ ２００３５ ＞ ２畅 ３３ ，故应有 n ＞ １ ２００ ＋ ２畅 ３３ × ３５ ＝ １ ２８１畅 ５５ ， 即需取 n ＝ １ ２８２ kg畅 24 ．卡车装运水泥 ，设每袋水泥重量 X （以 kg 计） 服从 N（５０ ，２ ．５２ ） ，问至 多装多少袋水泥使总重量超过 ２ ０００ 的概率不大于 ０畅０５ ． 解 设至多能装运 n袋水泥 ，各袋水泥的重量分别为 X１ ，X２ ，… ，Xn ，则 X i ～ N（５０ ，２畅 ５２ ） ，　 i ＝ １ ，２ ，… ，n ， 故卡车所装运水泥的总重量为 W ＝ X１ ＋ X２ ＋ … ＋ Xn ． 按题意 n需满足 P｛W ＞ ２ ０００｝ ≤ ０畅 ０５ ． 对于像这样的实际问题 ，认为 X１ ，X２ ，… ，Xn 相互独立是适宜的 ，此时 E（W） ＝ ５０ n ，　 D（W） ＝ ２畅５２ n ， 于是 W ～ N（５０ n ，２畅５２ n） ． 从而 P｛W ＞ ２ ０００｝ ＝ １ － Φ ２ ０００ － ５０ n２畅 ５ n ， 即 n应满足 Φ ２ ０００ － ５０ n２畅５ n ≥ ０畅９５ ＝ Φ（１畅６４５） ． 故应有 ２ ０００ － ５０ n２畅 ５ n ≥ １畅６４５ ， 解得 n ≤ ６畅２８３ ６ ， 从而 n ≤ ３９畅４８３ ． 故 n至多取 ３９ ，即该卡车至多能装运 ３９袋水泥 ，方能使超过 ２ ０００ kg 的概率不 501第四章 　随机变量的数字特征 大于 ０畅０５ ． （在这里我们指出 ，若设 W ＝ nX ，其中 X ～ N（５０ ，２畅５２ ）而去求出 n ≈ ３７ ， 那就犯错误了 ，为什么 ？） 25 ．设随机变量 X ，Y 相互独立 ，且都服从（０ ，１） 上的均匀分布 ． （１） 求 E（ XY） ，E（ X／Y） ，E［ln（ XY）］ ，E［ | Y － X | ］ ． （２） 以 X ，Y 为边长作一长方形 ，以 A ，C分别表示长方形的面积和周长 ，求 A和 C的相关系数 ． 解 （１） X ，Y 的概率密度都是 f（ x） ＝ １ ，　 ０ ＜ x ＜ １ ，０ ，　 其他 ． E（ XY） ＝ E（ X） E（Y） ＝ １２ × １２ ＝ １４ ． E XY 不存在（因∫１０∫１０ xy d xd y发散） ． 题 ４畅２５图 E［ln（ XY）］ ＝∫１０∫１０ （ln x ＋ ln y）d xd y ＝ ２∫１０∫１０ （ln x）d xd y ＝ － ２ ． E（ | Y － X | ） 　 ＝ 簇D | y － x | d xd y （如题 ４畅 ２５图 D ＝ D１ ∪ D２ ） 　 ＝ ２簇D１（ y － x）d xd y ＝ ２∫ １ ０∫１x（ y － x）d yd x ＝ １３ ． （２） A ＝ XY ，C ＝ ２（ X ＋ Y） ， Cov（ A ，C） ＝ E（ AC） － E（ A） E（C） ． AC ＝ ２ X２ Y ＋ ２ XY２ ， E（ X２ ） ＝ E（Y２ ） ＝ D（ X） ＋ （ E（ X））２ ＝ １１２ ＋ １４ ＝ １３ ． E（ AC） ＝ ２ E（ X２ Y） ＋ ２ E（ XY２ ） ＝ ２ E（ X２ ） E（Y） ＋ ２E（ X） E（Y２ ） ＝ ２ × １３ × １ ２ ＋ ２ × １ ２ × １ ３ ＝ ２ ３ ． Cov（ A ，C） ＝ E（ AC） － E（ A） E（C） ＝ ２３ － ［ E（ X） E（Y） × ２（ E（ X） ＋ E（Y））］ 601 概率论与数理统计习题全解指南 ＝ ２３ － １ ２ × １ ２ × ２ １ ２ ＋ １ ２ ＝ １ ６ ． D（ A） ＝ E（ X２ Y２ ） － ［ E（ X） E（Y）］２ ＝ E（ X２ ） E（Y２ ） － （ １２ × １２ ）２ ＝ （ １３ ） ２ － （ １４ ） ２ ＝ ７１４４ ． D（C） ＝ D（２ X ＋ ２Y） ＝ D（２ X） ＋ D（２Y） ＝ ４ × １１２ ＋ ４ × １１２ ＝ ２３ ． 故 　 　 ρAC ＝ Cov（ A ，C）D（ A）D（C） ＝ １ ６ ／ ７ １４４ × ２ ３ ＝ ６ ７ ． 26 ．（１） 设随机变量 X１ ，X２ ，X３ 相互独立 ，且有 X１ ～ b ４ ， １２ ，X２ ～ b ６ ，１３ ，X３ ～ b ６ ，１３ ，求 P｛ X１ ＝ ２ ，X２ ＝ ２ ，X３ ＝ ５｝ ，E（ X１ X２ X３ ） ，E（ X１ － X２ ） ，E（ X１ － ２ X２ ） ． （２） 设 X ，Y是随机变量 ，且有 E（ X） ＝ ３ ，E（Y） ＝ １ ，D（ X） ＝