工程振动试验分析(教材)

李德葆 陆秋海：工程振动试验 第 5章 机械阻抗法与频响分析 第第第 5章章章 机机机械械械阻阻阻抗抗抗法法法与与与频频频响响响分分分析析析 5.1 振动系统机械阻抗和导纳的概念 5.1.1 定义 以一个单自由度系统为例，引入机械阻抗的概念。图 5.1 所示系统的微分方程为 mx¨+ cx˙+ kx = f(t) 式中，f(t) 为作用在质量元件上的激振力，x, x˙ 和 x¨ 分别为由 f(t) 引起的质量 m 的位移、速度和加 速度响应。如果 f(t) = F sinωt，则 x, x˙ 和 x¨ 经过短时间的过渡过程之后，将变为稳定的周期性的简 谐振动响应。 图图图 5.1 单自由度系统 若将上述简谐激振力换成“复数力”f(t) = Fejωt，则位移、速度和加速度也将具有复数形式： x = Xejωt, x˙ = jωXejωt, x¨ = (jω)2Xejωt = −ω2Xejωt 式中 X 也是复数量，称为复数位移矢量 X = |X|ejα 显然，上述复数解中取其虚部，即对应于 f(t) = Fejωt 的解。换句话说，复数解中包括对应于 f(t) = Fejωt 的简谐振动解。做了上述处理之后，微分方程化为代数方程 (−ω2m+ jωc+ k)X = F 或化为以下两种形式( mjω + c+ k jω ) jωX = F, ( m+ c jω − k ω2 ) (jω)2X = F 令 V = jωX,A = (jω)2X = −ω2X，分别称为复数速度矢量和复数加速度矢量。于是可由以上三式得 到 ZD = F X = k − ω2m+ jωc (5.1) ZV = F V = c+mjω + k jω (5.2) ZA = F A = m− k ω2 + c jω (5.3) 上式中 ZD, ZV , ZA 分别称为位移阻抗、速度阻抗、加速阻抗，分别表示产生单位的位移响应、速度响 应和加速度响应所需提供的激振力。 阻抗的倒数称为导纳，因此相应地有位移导纳 YD、速度导纳 YV 和加速度导纳 YA： YD = 1 ZD = X F (5.4) YV = 1 ZV = V F (5.5) – 59 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 5.1 振动系统机械阻抗和导纳的概念 YA = 1 ZA = A F (5.6) 从物理意义上说，导纳代表单位激振力所产生的运动量。阻抗和导纳一般都是复量。对于同一系统来 说，以上 6 种表达式是等价的，知道其中一个就能推知其他 5 个。实际工作中采用哪一种形式的表达 式原则上可以任意选择，但往往取决于应用条件，如取决于测量仪器条件或取决于结构的特殊性。目 前，对于阻抗和导纳的不同表达形式，还使用着不同名称。 在复杂系统中，激振力作用在系统的某一点，它所引起的各点的响应 (包括各个方向上的响应) 是 各不相同的。因此，需将阻抗和导纳的定义进一步扩展。在图 5.2 所示的结构中，作用力加于 j 点，在 任一点 i 产生响应 Xi，定义传递阻抗 Zij 为使 i 点产生单位运动量 (位移、速度或加速度)，在 j 点所 需的作用力。因此 Zij = Fj Xi (5.7) 式 (8-ll) 即为 i, j 之间的位移传递阻抗的定义。阻抗的倒数定义为导纳，所以 i, j 两点间的传递导纳为 Yij = Xi Fj (5.8) 其物理意义为在 j 点作用单位力，在 i 点将产生的运动量 (位移、速度或加速度)。 图图图 5.2 传递导纳的概念 若将研究仅限于线性系统，根据线性系统的互易性原理，则有 Zij = Zji, Yij = Yji (5.9) 只研究力的作用点与该点的运动量之间的响应关系，则可定义原点阻抗 (驱动点阻抗) 和原点导 纳 (驱动点导纳) Zij = Fj Xi , Yij = Xi Fj 以上写出的为位移阻抗和位移导纳。读者不难写出速度阻抗和速度导纳以及加速度导纳和加速度 阻抗的定义。 注意：此处定义阻抗 Zij 时，对于 Fj 所引起的 i 点之外的其他各点的运动未加任何限制，所以也 可以把这样定义的阻抗称为自由阻抗。在以后将会看到，对于多自由度系统，导纳矩阵和自由阻抗矩 阵之间不存在互逆关系。 – 60 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 第第第 6章章章 多多多自自自由由由度度度系系系统统统模模模态态态分分分析析析与与与试试试验验验 上一章中我们介绍了机械阻抗法和单自由度系统频响函数的基本概念，它们是多自由度模态分析 的基础。模态分析的关键在于找到模态振型矩阵，作为一种新的坐标系统的向量基用来构成模态坐标 系统，并求得响应量在这一坐标系统中的坐标，称之为模态坐标。 一般来说，模态坐标除了与激振力有关外，它是若于参数 (称为模态参数) 的函数。因而，求取模 态参数也是模态分析的内容。 在完成上述工作后，便可建立响应计算模型模态模型；运用模态模型，便可计算在实际激励作用 下的结构的运动，包括位移、速度、加速度乃至应力应变。 本章介绍模态分析和试验的理论背景，包括模态分析基本理论、模态试验技术、模态参数识别方 法。更详细的模态分析理论可参考模态分析的专著。 6.1 多自由系统响应的模态迭加法 具有比例阻尼的多自由度系统的运动方程为 Mx¨+Cx˙+Kx = f(t) (6.1) 式中 C = αM + βK (6.2) α 和 β 为比例常数，C 为阻尼矩阵。符合式 (6.2) 的阻尼称为比例阻尼。M 和K 分别为质量矩阵和 刚度矩阵。 进行坐标变换 x = N∑ r=1 qrϕr (6.3) 式中 ϕr 为由Mx¨+Kx = 0 所确定的第 r 阶模态振型 (即特征向量)。将式 (6.3) 代入式 (6.1) 得 M ( N∑ r=1 q¨rϕr ) +C ( N∑ r=1 q˙rϕr ) +K N∑ r=1 qrϕr = f(t) (6.4) 上式左乘以 ϕTs，并考虑到模态振型的正交性，即 ϕTsMϕr = { 0, r 6= s ms, r = s ϕTsKϕr = { 0, r 6= s ks, r = s 有 ϕTs Cϕr = ϕ T sMϕr +ϕ T sKϕr = { 0, r 6= s αms + βks = cs, r = s 式中ms, ks 和 cs 分别称为第 s 阶模态质量、模态刚度和模态阻尼系数。于是式 (6.4) 变为 msq¨s + csq˙s + ksqs = ϕTs f(t) (6.5) 式中 qs 称为第 s 阶模态坐标。令 f(t) = F ejωt，则 qs = Qsejωt，代入上式得 (−ω2ms + jωcs + ks)Qsejωt = ϕTs F ejωt =⇒ Qs = ϕTs F −ω2ms + jωcs + ks (6.6) 式中 Qs 是模态坐标矢量，它有幅值和相位，可以看出 Qs 相当一个质量、刚度和阻尼分别为ms, ks, cs 的单自由度系统在模态力 Ps = ϕTs F 作用下的响应。Qs 的相位是相对于激振力的相位差。 – 61 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 6.2 振动系统的物理模型和模态模型间的转换 根据式 (6.3)，不考虑起始条件，可得位移响应为： x =  X1 X2 ... XN  ejωt = N∑ r=1 qrϕr = N∑ r=1 Qrϕre jωt X =  X1 X2 ... XN  = N∑ r=1 Qrϕr = N∑ r=1 ϕTr Fϕr −ω2mr + jωcr + kr = N∑ r=1 ϕrϕ T r −ω2mr + jωcr + krF (6.7) 上式即为具有比例粘性阻尼的系统进行响应计算的模态模型。 为了今后的使用方便，我们将式 (6.6) 的变换形式写出如下的三种形式： X = N∑ r=1 ϕrϕ T r F kr ( 1− ω 2 Ω2r + j2ζr ω Ωr ) , Ωr =√ kr mr X = N∑ r=1 ϕTr Fϕr mr(Ω2r − ω2 + j2ζrωΩr) , X = N∑ r=1 1 −ω2m ϕrϕ T r F 1− Ω 2 r ω2 − j2ζrΩr ω 最后，应特别加以提醒的是，以上中所采用的模态振型 ϕr 是无阻尼振动系统的特征向量，它 代表系统以频率 Ωr，在作固有振动时的各质点的振动幅值比。它是一个各元素均为实数的列阵，因而 我们称之为实模态振型。与实模态振型相联系的所有的模态参数都是实参数。以实模态振型矩阵作为 坐标变换矩阵来建立上述模态模型的理论称为实模态理论。 上述方法使运动方程解除了耦合而便于求解，然而，方程的自由度并未缩减。但同时，方程 (6.6) 启示了缩减计算自由度的可能性。例如，若激励频率已知在某一范围之内，我们在计算时可以只取那 些固有频率在激励频率范围之内以及距离这一范围不很远的那些模态来参加运算，而略去那些较远处 模态的贡献。 6.2 振动系统的物理模型和模态模型间的转换 前面讨论的理论过程的本质，在于将在物理坐标系统中描写的物理模型转化为在模态坐标系统中 的模态模型来研究。 在物理坐标系统中，N 个自由度的系统的方程为 Mx¨+Cx˙+Kx = f (6.8) 式中M ,C 和K 分别为质量阵、阻尼阵和刚度阵。在这个坐标系统中，我们可求得该系统的固有频率 矩阵和固有振型矩阵 Ω = diag[ω1, ω2, · · · , ωN ], Φ = [ϕ1,ϕ2, · · · ,ϕN ] (6.9) 在模态坐标系统中，我们用 Φ 作为坐标系统空间的基向量矩阵，令 x = Φq (6.10) 式中 q 为模态坐标向量，则可将式 (6.7) 变换如下： ΦTMΦq¨ +ΦTCΦq˙ +ΦTKΦ = ΦTf mq¨ + cq˙ + kq = ΦTf (6.11) miq¨i + ciq˙i + kiqi = ϕTi f , i = 1, 2, 3, · · · , N (6.12) – 62 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 式中 m = diag [m1,m2, · · · ,mN ] mi = ϕTi Mϕi c = diag [c1, c2, · · · , cN ] ci = ϕTi Cϕi k = diag [k1, k2, · · · , kN ] ki = ϕTi Kϕi (6.13) 分别称为模态质量阵、模态阻尼阵和模态刚度阵，均为对角阵。其元素 mi, ci, ki 则称为模态质量、模 态阻尼和模态刚度。式 (6.10) 则为系统的模态模型。令 f = F ejωt, q = Qejωt, x =Xejωt 可得 X = Φ (k − ω2m+ jωc)−1ΦTF = ΦY ΦTF =HF (6.14) 其中 H = ΦY ΦT , Y = diag[Y1, Y2, · · · , YN ], Yr = ( kr − ω2mr + jωcr )−1 (6.15) 式 (6.12) 为频域响应预测公式；式 (6.13) 为频响函数矩阵表达式。 由物理模型到模态模型的转换，是方程 (6.7) 解耦的数学变换过程。从物理意义上来认识，这是 一种从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。方程 (6.7) 是根据达朗贝尔原理和胡克定律建立的。 在物理坐标系统中，其质量阵、刚度阵中一般有一个，有时两个都是非对角阵，使运动方程不能解耦。 而在模态坐标系统中，模态坐标 qi 代表在位移向量中第 i 阶固有振型 (模态振型) 所做的贡献，方程 (6.10) 实质上是能量平衡方程。任何一阶固有振型的存在，并不依赖于其他固有振型是否同时存在。 这就是模态坐标得以解耦的原因。因此我们可以说，位移响应向量是各阶模态贡献的迭加的结果，但 不能说是模态耦合的结果。各模态之间是不耦合的。 6.3 频响函数 6.3.1 定义 前节已经导出响应为： X = N∑ r=1 ϕrϕ T r F kr [ 1− ( ω Ωr )2 + j2ζr ( ω Ωr )] = N∑ r=1 ϕrϕ T r F kr (1− λ2r + j2ζrλr) 上式中为书写方便，令 λr = ω/Ωr。由式 (6.13)，上式可简写为 X = ( N∑ r=1 Yrϕrϕ T r ) F =HF (6.16) 频响函数矩阵为 H = N∑ r=1 Yrϕrϕ T r (6.17) 它的展开式为 H =  H11 H12 · · · H1N H21 H22 · · · H2N ... ... . . . ... HN1 HN2 · · · HNN  = N∑ r=1 Yr  ϕ1r ϕ2r ... ϕNr  [ϕ1r ϕ2r · · · ϕNr] = N∑ r=1 Yr  ϕ1rϕ1r ϕ1rϕ2r · · · ϕ1rϕNr ϕ2rϕ1r ϕ2rϕ2r · · · ϕ2rϕNr ... ... . . . ... ϕNrϕ1r ϕNrϕ2r · · · ϕNrϕNr  (6.18) – 63 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 6.3 频响函数 H 中的任一元素 Hij，其表达式为 Hij(ω) = N∑ r=1 Yrϕirϕjr = N∑ r=1 ϕirϕjr kr − ω2mr + jωcr (6.19) 式 (6.19) 称为系统在 i, j 两点之间的频响函数。其物理意义为：在 j 点作用单位力时，在 i 点所引起 的响应。上述函数关系与激振力的频率有关，是在频域计算响应的重要公式，也可称为频域传递函数。 但为了区别于自动控制理论中关于传递函数的定义，称之为频响函数。对照导纳的定义，我们会发现， 频响函数实际上就是机械导纳。通常频响函数用 Hij 表示，即： Hij(ω) = Xi/Fi (6.20) 由于线性系统的互易性，应有 Hij = Hji。 6.3.2 频响函数与模态参数的关系 从式 (6.18) 中我们可得出如下结论： 1、频响函数矩阵中的任一行为 [Hi1 Hi2 · · · HiN ] = N∑ r=1 Yr [ ϕirϕ T r ] = N∑ r=1 [rHi1 rHi2 · · · rHiN ] = N∑ r=1 Yrϕir [ϕ1r ϕ2r · · · ϕNr] = N∑ r=1 ϕir kr − ω2mr + jωcr [ϕ1r ϕ2r · · · ϕNr] (6.21) 可见H 中的任一行，即包含所有模态参数，而该行的第 r 阶模态的频响函数值之比值，即为第 r 阶模 态振型。这一结论启示我们，如果我们在结构上的某一固定点 i 点拾振，轮流地激励所有的点，即可求 得H 中的一行。这一行频响函数即可包含进行模态分析所需要的全部信息。图 6.1 所示的单点抬振， 各点用力锤轮流敲击法激振，就是测量一行频响函数的典型测量方法。 2、频响函数矩阵中的任一列为 H1j H2j ... HNj  = N∑ r=1  rH1j rH2j ... rHNj  = N∑ r=1 Yr  ϕ1r ϕ2r ... ϕNr ϕjr = N∑ r=1 ϕjr kr − ω2mr + jωcr  ϕ1r ϕ2r ... ϕNr  (6.22) 可见，H 中的任一列包含全部模态参数，而该列的 r 阶模态的频响函数之比值，即为 r 阶模态振型： ϕ1r ϕ2r ... ϕNr  = 1Yrϕjr  rH1j rH2j ... rHNj  这一结论启示我们：如果在某一固定点 j 处激振，而在其他各点拾振，便能得到频响矩阵的一列。这 一列频响函数中即可包含进行模态分析的全部信息。如图 6.2 所示的固定单点激振，在各点拾振（可 同时多点抬振．也可分组拾振或单点抬振）的方法，就是测量一列频响函数的典型方法。 图图图 6.1 单点拾振法 图图图 6.2 单点激励法 – 64 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 6.4 频响函数的图像 由频响函数的表达式 Hij = N∑ r=1 ϕirϕjr kr − ω2mr + jωcr = N∑ r=1 Yrϕirϕjr = N∑ r=1 rHij (6.23) 可见，频响函数的图像也可看作一系列单自由度系统的导纳曲线的迭加。第 r 阶模态的贡献 rHij 为： rHij = Yrϕirϕjr = ϕirϕjr kr − ω2mr + jωcr 可见，rHij 图像的形态由 Yr 确定，其相位特性应考虑 ϕirϕjr 乘积的符号。下面为便于更形象地 频响函数曲线的变化规律，试以一个三自由度系统为例，来研究频响函数的五种图像。该三自由 度系统的模态振型如图 6.3 所示，并以 1 点为参考点。 图图图 6.3 三自由度系统的模态振型 6.4.1 幅频曲线及相频曲线 Hij = N∑ r=1 ϕirϕjr kr √ (1− λ2r)2 + (2ζrλr)2 ejΦr = N∑ r=1 |rY |ejΦrϕirϕjr Φr = arctan −2ζrλr 1− λ2r , λr = ω Ωr 根据上式，运用线性迭加法，可画出 H11,H21,H31 的幅频图和相频图（如图 6.4）。现解释如下： 1、H11 的幅频及相频曲线由下式确定 H11 = 1H11 + 2H11 + 3H11 = Y1ϕ211 + Y2ϕ 2 12 + Y3ϕ 2 13 = |H11|ejΦ11 = |Y1|ejΦ1ϕ211 + |Y2|ejΦ2ϕ212 + |Y3|ejΦ3ϕ213 由于 ϕ211, ϕ212, ϕ213 均为正实数，因而 1H11, 2H11 及 3H11 的相频曲线分别由 Φ1,Φ2 及 Φ3 决定，它 们均在 0◦ ∼ −180◦ 内变化，因而 H11 的相频曲线 Φ11 必然也在 0◦ ∼ −180◦ 范围内变化。一般地说， 原点频响函数的相频曲线总是在 0◦ ∼ −180◦ 内变化。 H11 的幅频曲线可视作由 1H11, 2H11 及 3H11 的幅频曲线迭加而成。注意在 1H11 和 2H11 的交界 处，Φ1 ≈ 180◦，Φ2 ≈ 0◦，1H11 和 2H11 的数值大小相等，符号相反，相加所等于 0，因而在此处形成 一个“反共振点”。一般地说，原点频响函数 Hii 的幅频曲线必然是共振峰与反共振点交替出现。在阻 尼不很小或模态较为密集的情况下，“反共振点”不一定到达零幅值。 2、H21 的幅频和相频曲线由下式确定 H21 = 1H21 + 2H21 + 3H21 = |Y1|ejΦ1ϕ21ϕ11 + |Y2|ejΦ2ϕ22ϕ12 + |Y3|ejΦ3ϕ23ϕ13 = |H21|ejΦ21 对于相频曲线来说，由于 ϕ21 和 ϕ11 具有同相的符号，其乘积为正实数，因此 1H21 的相位在 0◦ ∼ −180◦ 内变化；同理 2H21 的相位也在 0◦ ∼ −180◦ 内变化。但 ϕ23 和 ϕ13 反号，其积为负实数， 因而 3H21 的相频曲线将在 −180◦ ∼ −360◦ 内变化。因此，H21 的相频曲线在 0◦ ∼ −360◦ 之内变化。 由于 1H21 和 1H31 的相频曲线的上述变化特点，在它们的幅频曲线交点处，二者符号相同，彼此 相加，不形成反共振点。当然，第一阶共振峰与第二阶共振峰之间仍有反共振点存在。 – 65 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 6.4 频响函数的图像 3、H31 的幅频及相频特性曲线由下式确定 H31 = 1H31 + 2H31 + 3H31 = |Y1|ejΦ1ϕ31ϕ11 + |Y2|ejΦ2ϕ32ϕ12 + |Y3|ejΦ3ϕ33ϕ13 = |H31|ejΦ31 根据上式不难分析，其幅频特性曲线只有共振峰，没有反共振点；其相频曲线也是在 0◦ ∼ −360◦ 范围内变化。可见，跨点频响函数的共振峰之间可能有反共振点，也可能没有。 图图图 6.4 传递函数的幅频图及相频图 6.4.2 实频曲线及虚频曲线（柏德图） 可将频响函数 Hij 用实部、虚部表达如下： Hij = Rij + jIij = N∑ r=1 (rRij + jrIij) = N∑ r=1 ϕirϕjr { 1− λ2r kr[(1− λr)2 + (2ζrλr)2] + j −2ζrλr kr[(1− λr)2 + (2ζrλr)2] } = N∑ r=1 ϕirϕjr(rR+ jrIij) (6.24) 其中 rR = 1− λ 2 r kr[(1− λr)2 + (2ζrλr)2] , rI = −2ζrλr kr[(1− λr)2 + (2ζrλr)2] (6.25) 由式 (6.25) 和 (6.26) 可分别画出 H11,H21 和 H31 的实频图和虚频 (如图 6.5)。有关问题说明如下： 1、由于上例为接地系统，其实频曲线的低频渐近线为弹簧线 1 kij = N∑ r=1 1 rkij = N∑ r=1 ϕirϕr kr 2、在阻尼不大的条件下虚频曲线的峰值对应于固有频率 Ωr；用实频曲线的峰值所对应频率 ωa 及 ωb，可计算阻尼系数 ζr。 3、根据虚频曲线在 ω 轴两边的分布情况，可以确定有无反共振点。 图图图 6.5 实频图及虚频图 – 66 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 6.4.3 频响函数向量的矢端轨迹图（乃奎斯特图） 根据式 (6.25) Rij = N∑ r=1 (1− λ2r)ϕirϕjr kr[(1− λr)2 + (2ζrλr)2] = N∑ r=1 rRϕirϕjr = N∑ r=1 rRij Iij = N∑ r=1 −2ζrλrϕirϕjr kr[(1− λr)2 + (2ζrλr)2] = N∑ r=1 rIϕirϕjr = N∑ r=1 rIij (6.26) 由于 rR 及 rI 满足下式关系 rR 2 + ( rI + 1 4krζrλr )2 = ( 1 4krζrλr )2 =⇒ rR2ij + ( rIij + ϕirϕjr 4krζrλr )2 = ( ϕirϕjr 4krζrλr )2 (6.27) 上式启示我们，在阻尼较小，模态不很密集的条件下，Hij 的矢端轨迹图由各模态分量的导纳圆 集合而成，并且各模态圆可能得到清楚的表现。 图 6.6 即为 Hij 的矢端轨迹图。有关特点说明如下： 1、小阻尼且模态不很密集时，轨迹图表现为一组圆，分布在实轴的上下方。与对应的虚频曲线相 对照可以发现，凡是虚频曲线处于 ω 轴下部的图像，其乃奎斯特圆也在实轴的下部；乃奎斯特圆的上 下分布与虚频曲线的上下分布状况相对应。 图图图 6.6 乃奎斯特图 2、Hij 的乃奎斯特圆的弧线随着 ω 的增加总是按顺时针走向旋转。 3、以上画出的是位移频响函数。对于速度频响函数，其导纳圆分布在虚轴的两边，从相位上看， 等于把位移乃奎斯特圆逆时针旋转了 90◦；而加速度的乃奎斯特图从相位上看则相当于把位移导纳的 乃奎斯特圆逆时针旋转了 180◦。 6.4.4 高频段模态及低频段模态对测量频段频响函数的影响 假定只对某一频段的响应感兴趣，例如，激振力的频率正好分布在这一频段内。让我们来研究各 阶模态对于该频段的贡献。若第 l 阶到第m 阶模态频率正好在该频段内，可将频响函数改写为： Hij = l−1∑ r=1 −ϕirϕjr ω2mr 1 1− ( Ωr ω )2 − j2ζrΩr ω + m∑ r=l ϕirϕjr kr − ω2mr + jωcr+ N∑ r=m+1 ϕirϕjr kr 1 1− ( Ωr ω )2 − j2ζrΩr ω 式中，r = 1 到 l − 1 的模态为低频段模态，其 Ωr 远低于感兴趣的频段的频率，即有 Ωr ¿ ω，或 ω/Ωr À 1；而对于高频段模态来说，其固有模态频率 Ωr 远高于研究频段的频率 ω，即有 Ωr À ω，或 ω/Ωr ¿ 1，于是上式可化为： Hij = l−1∑ r=1 −ϕirϕjr ω2mr + m∑ r=l ϕirϕjr kr − ω2mr + jωcr + N∑ r=m+1 ϕirϕjr kr (6.28) 式中令 − 1 ω2mij = l−1∑ r=1 −ϕirϕjr ω2mr , 1 kij = N∑ r=m+1 ϕirϕjr kr – 67 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 6.5 频响函数的留数表示法 分别称为修正质量项和修正刚度项，上式可重写成 Hij = − 1 ω2mij + m∑ r=l ϕirϕjr kr − ω2mr + jωcr + 1 kij (6.29) 图 6.7 所示为引入修正质量和修正刚度项的原理示意图。 图图图 6.7 测量频带外的模态对该频带内的频响函数的影响 从式 (6.30) 可见，修正项只影响传递函数的实部。由于修正质量项反比于 ω2，它对我们感兴趣的 频段（测量频段或计算频段）的低频部分的影响大于其对高频部分的影响。而修正刚度项提供的是一 种恒定的影响，它的作用是把实频曲线整个地上移或下移，而与 ω 无关。 6.5 频响函数的留数表示法 一个时域函数，如振动问题的位移 x(t)，可通过拉普拉斯变换成为一个复数变量 s 的函数，即 L[x(t)] = ∫ ∞ 0 x(t)e−stdt ≡ X(s) 其逆变换为 L−1[X(s)] = 1 2pij ∫ β+j∞ β−j∞ X(s)estds, s = β + jω 从上式中不难发现，拉普拉斯变换相当于对 x(t)eβt 作单边傅氏变换，引入 eβt 相当于引入阻尼，以保 证满足傅氏变换条件 ∫ ∞ 0 ∣∣x(t)eβt∣∣dt <∞ 这样，通过变量变换，就可将原来时域中的振动微分方程，变换成以 s 为变量的复数域中的方程。 以单自由度系统为例，其微分方程为 mx¨+ cx˙+ kx = f(t) (6.30) 作拉氏变换 L[x(t)] = ∫ ∞ 0 x(t)e−stdt = X(s), s = β + jω L[x˙(t)] = ∫ ∞ 0 x˙(t)e−stdt = x(t)e−st ∣∣∣∞ 0 − ∫ ∞ 0 x(t) (−se−st) dt = −x(0) + sX(s) L[x¨(t)] = −x(0)− sx˙(0) + s2X(s) L[f(t)] = F (s) 将系统的起始条件 x(0) 及 x˙(0) 并入力函数 F (s)，或因系统动特性与起始条件无关而令其为 0，则式 (6.31) 变为 (ms2 + cs+ k)X(s) = F (s) (6.31) 定义传递函数 H(s) = X(s)/F (s) – 68 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 于是有 H(s) = 1 ms2 + cs+ k (6.32) 我们称 (ms2 + cs+ k) = 0 为系统的特征方程，其根（特征值）为 s1, s ∗ 1 = c 2m ± √{ c 2m ) − k m = −σ1 ± jΩ1 √ 1− ζ21 s1 = −σ1+jν1, s∗1 = −σ1−jν1, Ω21 = k m = s1s∗1 = σ 2 1+ν 2 1 , ν1 = √ Ω21 − σ21 = Ω1 √ 1− ζ21 , ζ1 = σ1 Ω1 于是式 (6.32) 可作如下分解 H(s) = 1 ms2 + cs+ k = 1 m(s− s1)(s− s∗1) = r1 (s− s1) + r∗1 (s− s∗1) (6.33) 式中 s1 及 s∗1 称为极点，r1 及 r∗1 则为其对应的留数： r1 = H(s)(s− s1) ∣∣∣ s=s1 = 1 j2mν1 , r∗1 = H(s)(s− s∗1) ∣∣∣ s=s∗1 = − 1 j2mν1 于是式 (6.33) 可写成 H(s) = 1 j2mν1(s− s1) + −1 j2mν1(s− s∗1) = 1/mν1 2j(s− s1) + −1/mν1 2j(s− s∗1) (6.34) 有时也将 1 mν1 称为留数。 在式 (6.34) 中，令 s = jω，即得频响函数 H(jω) = 1/mν1 2j(jω − s1) + −1/mν1 2j(jω − s∗1) (6.35) 此处，s1 及 s∗1 实际上即为前文的 λ1 及 λ∗1。将 s1 及 s∗1 的表达式代入上式，并经整理得 H(ω) = 1 k − ω2m+ jωc (6.36) 可见，式 (6.35) 与式 (6.36) 是等价的。我们将 (6.35) 称为频响函数的留数表达式。图 6.8 分别为H(s) 的实部及虚部的图像。该图与 s = jω 的截面的交线即为 H(jω) 的实频图与虚频图。图 6.9 为 H(jω) 的实频及虚频图。 图图图 6.8 H(s) 的实频图及虚频图 图图图 6.9 H(jω) 的实频图及虚频图 – 69 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 6.5 频响函数的留数表示法 多自由度系统（N 自由度）振动微分方程为 Mx¨+Cx˙+Kx = f (6.37) 运用拉普拉斯变换公式可将其变换为 s 域的代数方程组，写成矩阵的形式为 M [s2X(s)− sx(0)− x˙(0)] +C[sX(s)− x(0)] +KX(s) = F (s) 不考虑初始条件，即设 x˙(0) = 0，x(0) = 0，则 (Ms2 +Cs+K)X(s) = F (s) (6.38) 实际上，我们的目的是获得系统本身的特性，即系统的各阶模态参数，它们与系统的初始条件没有关 系。上式可简写为 Z(s)X(s) = F (s) (6.39) 式中 Z(s) =Ms2 +Cs+K 称为系统在 s 域上的阻抗矩阵。对于约束系统，它是一个非奇异的对称 矩阵。由上式可得 X(s) =H(s)F (s) (6.40) 式中H(s) 为系统的传递函数矩阵 H(s) = Z−1(s) = adjZ(s) detZ(s) = N(s) D(s) = [aij0 + a ij 1 s+ · · ·+ aij2N−2s2N−2]N×N b0 + b1s+ · · ·+ aij2Ns2N (6.41) 该式分母 D(s) 是一多项式，其最高阶数为 n = 2N 阶，即为系统自由度数的二倍，可以写成 D(s) = b0 + b1s+ · · ·+ aij2Ns2N N(s) 是一个N 行N 列的矩阵，但只有 n(n+1)/2 个独立元素，是一个对称矩阵。它的元素Nij(s) 也 可表示为多项式的形式，其最高阶次为m = 2N − 2。它可以写成 Nij(s) = a ij 0 + a ij 1 s+ · · ·+ aij2N−2s2N−2 于是，H(s) 的任一元素 Hij(s) 可用下式表示 Hij(s) = L[xi(t)] L[fj(t)] = Xi(s) Fj(s) = aij0 + a ij 1 s+ · · ·+ aij2N−2s2N−2 b0 + b1s+ · · ·+ aij2Ns2N (6.42) 值得注意的是，虽然H(s) 和 Z(s) 互为逆矩阵，但 Hij(s) 和 Z(s) 中的对应元素间不存在互逆关系。 如果 D(s) 有 2N 个各异的复根，又称极点，则因 D(s) 为实系数多项式，其根一定共轭出现，即 系统将有 N 对共轭根（极点）：pr = −σ + jνr，p∗r = −σ − jνr，r = 1, 2, · · · , N。则可将传递函数的多 项式有理分式的形式按照极点展开为 Hij(s) = N∑ r=1 ( rAij s− pr + rA ∗ ij s− p∗r ) (6.43) rAij , rA ∗ ij 分别为第 r 阶极点对所对应的留数。留数可由下式求得 rAij = rUij + jrVij = (s− pr)Hij(s) ∣∣∣ s=pr = Nij(s) D′(s) ∣∣∣ s=pr 传递函数矩阵形式为 H(s) = N∑ r=1 ( rA s− pr + rA ∗ s− p∗r ) (6.44) rA 和 rA∗ 分别为第 r 阶极点对所对应的留数矩阵对。 将 s = jω 代入传递函数表达式，即得系统频响函数和频响函数矩阵表达式 Hij(jω) = N∑ r=1 ( rAij jω − pr + rA ∗ ij jω − p∗r ) , H(jω) = N∑ r=1 ( rA jω − pr + rA ∗ jω − p∗r ) (6.45) – 70 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 当多自由度系统具有比例阻尼时导出其频响函数及频响函数矩阵的表达式为 Hij(ω) = N∑ r=1 ϕirϕjr kr − ω2mr + jωcr , H(jω) = N∑ r=1 N∑ r=1 ϕrϕ T r kr − ω2mr + jωcr 将它们与上两式分别进行比较，可以证明 rAij = ϕirϕjr 2jmrνr , rA ∗ ij = − ϕirϕjr 2jmrνr 因此，实模态频响函数及其矩阵又可表示为 Hij(jω) = N∑ r=1 [ ϕirϕjr 2jmrνr(jω − pr) − ϕirϕjr 2jmrνr(jω − p∗r) ] (6.46) H(jω) = N∑ r=1 [ ϕrϕ T r 2jmrνr(jω − pr) − ϕrϕ T r 2jmrνr(jω − p∗r) ] (6.47) 6.6 复模态问题 式 (6.43)∼(6.47) 具有一般性意义，对比例阻尼系统或非比例阻尼系统均适用。对于比例阻尼系 统，系统频响函数可由式 (6.46) 和 (6.47) 表示。式中 ϕr 是第 r 阶模态振型，为实模态。 对非比例阻尼情况，可以证明，一般公式也可以写成与振型有关的形式，即 Hij(jω) = N∑ r=1 [ ϕirϕjr arνr(jω − pr) − ϕ∗irϕ ∗ jr a∗rνr(jω − p∗r) ] , H(jω) = N∑ r=1 [ ϕrϕ T r arνr(jω − pr) − ϕ∗rϕ∗Tr a∗rνr(jω − p∗r) ] 式中 ϕr 和 ϕ∗r 均为复振型，它们的每一个振型元素 ϕir 和 ϕ∗ir 均为复数。ar 和 a∗r。为一对共轭复数。 关于复模态的详细讨论，包括复模态与实模态的统一性问题，可参阅相关文献。 6.7 模态试验准备及试验设计 模态试验的目的是测量系统的频响函数曲线，然后通过曲线拟合求取模态参数。已知频响函数与 模态参数的关系由下式给出： H11 H12 · · · H1n H21 H22 · · · H2n ... ... . . . ... Hn1 Hn2 · · · Hnn  = m∑ r=1 1 kr − ω2mr + jωcr  ϕ1r ϕ2r ... ϕnr  [ϕ1r ϕ2r · · · ϕnr] (6.48) 式中 n 为测点数，m 为所取模态数。一般情况下 n > m，高阶模态作剩余影响处理。由上式可见，为 了取得全部模态信息，仅需测量频响函数矩阵中的一行或一列就够了。为了测一列，可采用在结构上 选定适当的一点，作单点固定激振，而在所有测量点（含激振点）依次测量响应，称为 SISO 测量法； 或在多点同时测量响应，称为 SIMO 法。利用这样测量的信息，即可经处理得到频响函数的一列。如 果选择测量频响函数矩阵的一行，则可采取在选定的一点测量响应，而轮流对所有的测量点激振，即 用 SISO 法。所得信息经处理后便得到一行中的所有频响函数。 上述两种方法均属于单点激振法。在测取频响函数的一列时，找好激振点很重要，应使激振点不 在所要测量的任一阶模态的节点上，否则所测信息中将会漏掉该阶模态；同理，在测取频响函数的一 行时，要小心选好响应测量点，以免漏掉模态。单点激振法的另一缺点是能量输入不均匀，对于大型 结构将影响测量精度，激振力太大时，还可造成局部响应水平太高，引起非线性测量误差。 针对单点激振法的以上缺点，20 世纪 80 年代初发展了多点激振法，即MIMO 法，多点激振法还 对识别重特征值及其特征向量有更大的优越性。限于篇幅本章只介绍单点激振法，对多点激振有兴趣 的读者可参考有关模态分析的著作。 – 71 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 6.7 模态试验准备及试验设计 6.7.1 试件支承状态 在进行结构的模态试验时，尤其是进行结构部件的模态试验时，除非有可能模拟该部件实际所处 的边界条件，一般都考虑使其处于自由状态下进行试验。这是因为自由状态使试验对象在任一坐标上 都不与地面相连接，自由地悬浮在空中。在这种状态下，系统具有六个刚体模态，即三个平移模态和 三个转动模态。前者由结构的质量所确定，后者由三个转动惯量所确定。刚体模态所对应的固有频率 为零。这种状态下，可获得系统无边界约束时的模态。试验结构若与其他结构联接时，则可以通过增 加联接约束，通过模态综合分析获得总体结构的模态。 实际应用中，除太空零重力环境下和飞行器俯冲失重情况下可实现被测结构的自由状态外，地面 试验中常采用的气悬浮和磁悬浮方法都只能实现平面三个自由度的自由状态，而且这种自由支承的制 造精度和费用很高，目前仍未被广泛采用。对于大多数工程实际情形，所谓自由状态还是要通过某种 支承来实现的。例如，把一个齿轮放在一个很软的泡沫塑料上，进行锤击试验时，可以认为齿轮是处 于自由状态；用很长的柔索将结构吊起而在水平方向激振也可以认为在水平方面处于自由状态；而用 很柔的橡胶绳或弹簧将结构吊起，则可以认为结构在垂直方向处于自由状态。 尽管悬索很长或橡胶的柔性很好，但既有支承就只能是自由状态的一种近似。其结果是：刚体运 动模态所对应的固有频率不再是零。悬挂得好的情况应能保证最高的“刚体模态”（结构不产生任何弹 性变形的运动模态）频率 ωoi，比最低的结构变形模态Ω1 要低得多，至少应能保证 ωoi/Ω1 < 0.1 ∼ 0.2。 如有可能，应使悬挂点尽可能地靠近最低变形模态的节点。另外，用橡皮绳时要注意，对于小阻尼系 统，它可能导致明显的附加阻尼。 对于大型笨重结构，可用空气弹簧支承。空气弹簧承受重量大，支持频率低，一般可达 0.5Hz 左 右。空气弹簧的气密性往往不易保证，最好有贮气罐相连。另外气压不应太高，进气口接头要连接牢 因，保证安全。 另一种状态为地面支承状态，即结构上有一点或若干选定的点与地面固结；这从理论上说，相当 于令这些点的坐标值为零。实际上，这种固定是很难实现的，因为我们不可能设计出刚性为无限大的 地面支承。检验地面固结的可靠性的方法是：测量结构在支承连接点的导纳，如果其值在整个频率范 围内比结构上其他点的导纳值小得多，则认为可以近似为地面固结。 对于较为小型的结构，可采用图 6.10 所示的方法来实现近似接地条件，图中所示笨重基础 支承在软弹簧上或用弹簧悬挂，试件固接在基础上。这一整体系统可视为二自由度接地模型。设√ k1/m1 = 1Hz, √ k2/m2 = 10Hz，并设 m1 = 10m2，则这个二自由度接地系统的第二阶固有频率为 10.49Hz，与试件固有频率相对误差为 5%。设 m1 = 20m2， √ k1/m1 : √ k2/m2 = 1 : 20，则二自由系 统的第二阶固有频率与试件固有频率仅相差 1.2%，可以近似为试件接地状态。 图图图 6.10 近似接地支承方法和等效二自由度系统 为了预测总体结构的动特性，往往要对部件进行模态试验。部件试验一般均采用自由支承状态。 但也有些结构必须在接地条件下试验，如某些大型发电站的部件，土木工程结构等。自由支承的低频 特性能提供质量和惯量的信息；地面支承的低频特性则能提供结构的近似静刚度信息。 – 72 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 6.7.2 测点及测量方法的安排 测点位置、测点数量及测量方向的选定应考虑以下两方面的要求： (1) 能够在变形后明确显示在试验频段内的所有模态的变形特征及各模态间的变形区别； (2) 保证所关心的结构点（如在总装时要与其他部件连接的点）都在所选的测量点之中。 对于复杂的空间结构，一般情况下表现为三维空间变形。这要求在结构的一个几何点测量三个方 向的响应。此时，测量点数和几何点数并不相等。所有测点均应在测量之前在结构上编号注明。 6.7.3 试验频段的选择 试验频段的选择应考虑机械或机构在正常运行条件下激振力的频率范围。通常认为，远离振源频 带的模态对结构实际振动响应的贡献较小，甚至认为低频激励激出的响应不含高阶模态的贡献。实际 上，高频模态的贡献的大小除了与激励频带有关外，还与激振力的分布状态有关。因此，试验频段应适 当高于振源频段。此外，如果属于部件试验，试验的结果将会用于和其他多个部件进行装配综合分析， 以求取整体结构的模态，为使整体模态具有更高的精度，部件模态的试验频段更应放宽些，以求取较 多的模态。部件模态过少而部件装配时各部件之间的联接点较多时，可能使整体综合分析无法进行。 6.7.4 测试系统的选择 图 6.11 所示为一结构进行频响函数测量的示意图。结构本身用软弹簧或橡皮绳悬吊起来，使其处 于自由支承状态。 图图图 6.11 频响函数测试系统 一般地说，基本测试系统应包括以下三部分： ①激励设备；②传感系统，用以测量所需要的各种参数；③分析设备，用以提取所需的信息。 图 6.11 所示系统是一个较为典型的测试系统，包括了一些主要的常用标准设备。激振信号经功率 放大器放大后进入激振器，以产生一定大小和波形的激振力，经传力杆将力施加于结构上的激振点； 同时，力传感器将力信号转换成电信号，经电荷放大器放大后，接向分析仪。图中用三个加速度计来 测量一组三个响应，同样经过电荷放大器放大后接到分析仪。在现场测量中，通常先将上述信号记在 磁带记录仪上，然后再送到实验室回放给分析仪进行分析。为了保证记录信号可靠，在测量过程中要 用示波器经常观察信号状态。 激励系统中的激振器，除可使用图中所示的电动式激振器外，还常用电液激振器。一般地说，电动 式激振器工作频带较宽，而电液式激振器则能提供较大的激振力和较大的位移冲程，能在较大幅值下 激励结构。然而后者的激振频率一般不高，通常在 1kHz 以下。 对于轻型结构和小阻尼情况，常常采用力锤作为激振器。将力传感器前面配装以适当制成的 – 73 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 6.7 模态试验准备及试验设计 顶帽，装在有一定质量的锤头上，即组成力锤。力锤打击结构以提供一个瞬态的冲击力。冲击力的大 小由锤头的质量和打击结构时的运动速度所决定。锤击力相当于一个半正弦形的力脉冲，如图 6.12 所 示。将该脉冲做傅氏变换，其力谱如图 6.12 所示。我们可以看到它所含的频率成分直到某一个频率 fc 之前基本上是平的。fc 与脉冲时间 τc 有关。为了增加脉冲频谱的频带宽度，必须缩短脉冲的持续时 间，而脉冲的持续时间则是与接触面的刚度（这与顶帽的材料以及试件的刚度有关）以及锤头的质量 有关；顶帽越硬、锤头质量越轻，则冲击的时间就越短，其能量谱所覆盖的频带便越宽。然而，我们总 希望冲击能量足够地大，并且聚集在我们所感兴趣的频带之内。例如，如果我们感兴趣的频率范围为 0Hz ∼ 200Hz，那么最好采用软质橡胶顶帽，以保证冲击持续时间在 1.5ms 左右。实际应用中怎样配 置顶帽及锤头质量，最好通过试敲，将信号送入谱分析仪分析后确定。 图图图 6.12 锤击产生的冲击及其频谱 图图图 6.13 力传感器 力信号是用力传感器进行测量的。其结构如图 6.13 所示。它利用压电晶体受压产生的电荷与压力 成正比的原理来进行力的测量。值得注意的是，由于压电晶体是一种高阻抗元件，其信号不能直接用 一般放大器放大，以免大幅度地减弱信号，而应当用一种具有很高输入阻抗的放大器，通常是电荷放 大器。经过电荷放大器放大以后的电信号才能接向其他仪表，进行放大、测量和分析。 6.7.5 激振器的支承 1、当激振器外壳剐性固接于地面时，由于支承刚度很大，可使激振系统的固有频率远高于结构的 弹性振动频率 Ωb À Ωs，适于用来激振固有频率较低的结构。 2、若将激振器外壳通过软弹簧接地，或采用悬吊支承时，将有 Ωb ¿ Ωs，适用于激振固有频率较 高的结构；为了尽量降低 Ωb，可将重物附加在激振器上，以增加激振系统的质量。 3、对于特大型结构，如桥梁、水坝等，无法为激振器找到一个独立的支承点。这时可将它通过软 支承安装到被试结构上，如图 6.14 所示。这种激振方式只适于激振固有频率较高的结构。 图图图 6.14 激振器直接悬挂大型结构上的激振方法 图图图 6.15 不可取的支承方式 最后还应提醒注意的是，当激振器将力 F 作用在结构上时，必然还存在一个相等相反的反作用力 作用在激振器上。作用力作用在结构上，反作用力作用在激振器不动部件上。在前述几种支承情况下， 可以证明，作用在结构上的作用力在激振器上产生的位移很小而可以忽略。根据互易原理，同样大小 的反作用力作用在激振器上在结构上产生的位移也同样很小而可以忽略。因此，反作力所产生的影响 对频响函数的影响是可以忽略的。 – 74 – 李德葆 陆秋海：工程振动试验分析 第 6章 多自由度系统模态分析与试验 如果我们将激振器直接放置在结构上来进行激振，如图 6.15 所示。在这种情况下，反作用力通过 激振器的外壳直接作用在结构上，A 点的响应不仅是由作用在 A 点的激振力产生的（这个力我们量 了），同时也是由作用在 B 处的激振力（反作用力）产生的。后者所产生的响应是不能忽略的。这样的 支持方式必然会导致频响函数测量误差。 6.8 模态试验常用激励方法 不同的激励将产生不同的响应。频响函数则研究结构在典型的激励力 Fejωt 作用下所产生的响应 Xejωt 与其之间的关系 H(ω) = X(ω)ejωt F (ω)ejωt = X(ω) F (ω) (6.49) 因此，无论采用何种激励形式，最后应能提出式 (6.49) 的关系。现将有关激励方法及频响函数的 提取分述如下： 6.8.1