八数码难题有无解的判断

八数码难题有无解的判断 八数码难题有无解的判断 我知道什么样的情况有解,什么情况没解. f(s)表示s前比s小的数字的数目. 例如: |1 3 4| |2 8 6| |5 7 | 表示成: |1 3 4|2 8 6|5 7 X| 则f(7)=6, f(5)=4,f(6)=4,f(8)=4,f(2)=1, f(4)=2,f(3)=1,f(1)=0 当f(a8)+f(a7)+……+f(a1)为偶数时才能重排成 所以嘛,上面那个有解的. 下面我就来证明一下. 设任意一种情况: |a1 a2 a3| |a4 a5 a6| |a7 a8 X | (X表示空格) 将之放在一行上: |a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 a8 X | 数字的上下移动可以相对于是空格的上下移动. 所以我们只要讨论X的移动了: 假设函数f(s)表示s前比s小的数字的数目. 例如:|1 3 4|2 8 6|5 7 X| 则f(7)=6, f(5)=4, f(8)=4,…… 对于X在同一行中的移动，f(a8)+f(a7)+……+f(a1)大小不变(*1) 如:|a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 a8 X |=>|a1 a2 a3|a4 a5 a6|a7 X a8| 对于X在列中移动是，我们不妨设X与a6对换(即a6下移一格) 则数列变为|a1 a2 a3|a4 a5 X|a7 a8 a6|,可能引起变化的f(s)只有f(a6),f(a7),f(a8) 讨论:有4种情况1) a6a8 f(a8) 不变 f(a7) 减小1 f(a6) 增大1 所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变. 3) a6>a7, a6>a8 f(a8) 不变 f(a7) 不变 f(a6) 增大2 所以f(a8)+f(a7)+……+f(a1)奇偶性不变. 3) a6>a7, a6|a1 a2 X|a4 a5 a3|a7 a8 a6| 则同样，对可能变化的f(a3),f(a4),f(a5)讨论，情况一上面完全一样。 其它情况都如此: 如:|a1 X a3|a4 a5 a6|a7 a8 a2|=>|a1 a5 a3|a4 X a6|a7 a8 a2| 就f(a3),f(a4),f(a5)变化. 结论:因为对于|1 2 3|4 5 6| 7 8 X|, f(8)+f(7)+……+f(1)=28, 是偶数， 所以当f(a8)+f(a7)+……+f(a1)为偶数时才能重排成|1 2 3|4 5 6| 7 8 X|成功.