1.2 解的存在唯一性

nullnull 目录 上页 下页 返回 结束§ 1.2 解的存在惟一性 引入：对于给定的微分方程,它的通解一般有无限多个,而给定初始条件后,其解有时惟一,有时不惟一. 确定给定初始条件的微分方程解的存在惟一性十分重要: (一)它是数值解和定性分析的前提; (二)若实际问中建立的方程模型的解不是 存在且惟一的,该模型就是一个坏模型.null 而同一方程满足的解为: . 它的存在区间为例3:初始值问题:例3:初始值问题:有无穷多解,存在区间为:null1.2.1例子和思路 例 4: 证明初值问题的解存在且惟一。null……取null这就证明了惟一性。null1.2.2 存在惟一性定理及其证明上连续，如果有常数 L>0,使得对于所有的考虑微分方程:Lipschitz 条件:nullL 称为 Lipschitz 常数。null定理1:　在R上连续且关于y满足在区间Lipschitz条件，则初值问题证明：若（１）将初值问题解的存在惟一性化为积分方 程的解的存在惟一性． 思路：(1.2.3)null（２）构造积分方程迭代函数序列，并证明该 序列收敛．（３）证明该序列的极限是积分方程的解．（４）证明惟一性．详细证明：null（ 2 ）构造 Picard 迭代数列null（ 3 ) Picard 序列的收敛性证明:则null证明：考虑函数项级数它的前估计级数通项:项的部分和为:null其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，null于是，由数学归纳法得，对于所有自然数k，有由Weiestrass判别法知，null引理1.3 是积分方程定义于 上的连续解。 证明：由 Lipschitz 条件上一nullnull（ 5 ）解的惟一性证明：则引理 1.4nullnull注1:定理中的几何意义:故取.注2:函数的连续性得解的存在性,Lipschitz条件得解的惟一性．注３:定理的结论只是在局部范围内给出解的存 惟一性．在许多情况下，可反复使用该定理，使解的范围延拓到最大的区间．则在解有可能跑到之外．null计算null故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解null对于任意的正数函数在因任意．先取使最大．解：的解存在唯一的区间．例６讨论初始值问题null再使用依次存在惟一性定理：null当时，取得最大值此时故取可得到解在上存在，事实上，初值问题的解是：存在区间为：内容小结内容小结微分方程解的存在惟一性P２２ 1（３），2（1），３（1），５，６ 作 业迭代法构造解的思想