平面问题的直角坐标解答

nullnull第三章 平面问题的直角坐标解答要点—— 用反逆解法、半逆解法求解 平面弹性力学问题null§3-1 多项式解答§3-2 位移分量的求出§3-3 简支梁受均布载荷§3-4 楔形体受重力和液体压力§3-5 级数式解答§3-6 简支梁受任意横向载荷主 要 内 容null§3-1 多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的力学问题。——反逆解法其中： a、b、c 为待定系数。检验φ(x,y) 是否满足双调和方程：显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1. 一次多项式（2）（3）对应的应力分量：若体力：X = Y =0，则有：null结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2. 二次多项式（1）其中： a、b、c 为待定系数。(假定：X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数 )（3）由式（2-26）计算应力分量：2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。null试求图示板的应力函数。例：3. 三次多项式（1）其中: a、b、c 、d 为待定系数。检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数 )(假定：X =Y = 0)（3）由式（2-26）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。null讨论：可算得：图示梁对应的边界条件：可见：—— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数 d 与弯矩 M 的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。null说明：(1)组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。4. 四次多项式（1）检验φ(x,y) 是否满足双调和方程（2）代入：得null可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3）应力分量：—— 应力分量为 x、y 的二次函数。（4）特例：（须满足：a + e =0）null总结：（1） 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3） （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的 —— 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。问题：null§3-2 位移分量的求出1. 形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量(a)将式（a）代入得：(b)（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)null将式（c）前两式积分，得：(d)将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：整理得：（仅为 x 的函数）（仅为 y 的函数）要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)null（1）(f)讨论：式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。当 x = x0 =常数—— u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面—— 材力中“平面保持平面”的假设成立。null（2）说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即—— 材料力学中挠曲线微分方程null2. 位移边界条件的利用（1）两端简支其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：—— 与材力中结果相同null（2）悬臂梁边界条件由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）代入式（f），有可求得：null(3-4)挠曲线方程：与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。null（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：（中点不动）得到：求得：此结果与前面情形相同。（为什么？）nullnull（1）(2-27)（2）(2-26)（3）按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y) 的形式；（2）（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。null（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（2）（3）—— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。null§3-3 简支梁受均布载荷要点—— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。1. 应力函数的确定(1)分析：—— 主要由弯矩引起；—— 主要由剪力引起；——由 q 引起（挤压应力）。推得：(2)积分得：(a)(b)—— 任意的待定函数null(3)代入应力函数协调方程：null方程的特点：关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c)此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：积分得：(d)null(c)(d)将(c) (d) 代入 (b) ，有(e)此处略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。null2. 应力分量的确定(f)(g)(h)3. 对称条件与边界条件的应用null（1）对称条件的应用：由 q 对称、几何对称：—— x 的偶函数—— x 的奇函数由此得：要使上式对任意的 y 成立，须有：null（2）边界条件的应用：(a) 上下边界（主要边界）：由此解得：代入应力公式null( i )( j )( k )(b) 左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）—— 难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力 N = 0；弯矩 M = 0；剪力 Q = －ql；null可见，这一条件自动满足。null(p)截面上的应力分布：4. 与材料力学结果比较null材力中几个参数：截面宽：b=1 ,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式 ( p ) ，有（3-6）null比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当 h / l<<1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：说明式（3-6）在两端不适用。null解题步骤小结：（1）（2）（3）（4）（5）用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：null附：应力函数确定的“材料力学方法”要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：材力中，应力分量与梁内力的关系为：式中：M(x) —— 弯矩方程；Q(x) —— 剪力方程。null例：解：(1) 应力函数的确定取任意截面，其内力如图：（a）—— f(y)为待定函数（b）对 x 积分一次，有：对 y 再积分一次，有：其中：（c）null（c）（d）要使上式对任意的x，y成立，有（e）（f）由式（ e）求得（g）由式（ f）得（h）（i）积分式（ h）和（i）得（j）（k）null( l )包含9个待定常数，由边界条件确定。(2) 应力分量的确定( m )(3) 利用边界条件确定常数null( o )代入可确定常数为：代入式（m）得null注：也可利用 M（x）=0，考虑进行分析。此时有：为待定函数，由相容方程确定。null剪力：可假设剪应力：null§3-4楔形体受重力和液体压力要点——半逆解法（因次或量纲分析法）问题的提法：楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：自重作用：1. 应力函数及应力分量(1) 分析：(a)(b)应力函数可假设为：null(2) 应力分量(a)显然，上述应力函数满足应力函数协调方程。2. 边界条件的利用(1) x=0 （应力边界）：代入式（a），则应力分量为：null(b)其中：将(b)代入，有代入，可求得：null代入式（b），有：(3-7)—— 李维（Levy）解答沿水平方向的应力分布null结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。—— 三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。应用：nullnull平面问题的直角坐标解答一、多项式解答——逆解法二、梁、长板类弹性体应力函数方法null三、三角形板、楔形体的求解方法null例：图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。解：(1)应力分量：边界条件：显然，上下边界无面力作用。上下边界(2)null左边界右边界结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。null例：图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为 h ，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。解：（1）应力函数形式的确定梁截面上弯矩和剪力为：由材料力学方法可确定应力分量的分离变量形式：对此式积分：null——为待定函数（2）由相容方程确定待定函数代入null要使上述方程对任意的 x 成立，有(a)(b)(c)积分式（a），得将上式代入（b）积分，得积分式（c），得(d)(e)(f)将求得的代入应力函数，有null（3）计算应力分量(h)null（3）利用边界条件确定待定常数上边界：(i)(j)(k)null下边界：(l)(m)(n)null左边界：左边界：(o)(p)(q)(r)(s)(t)联立求解式（i）~（t）,可得具体的应力分量。注：位移边界条件转化为应力边界条件。null（1）（2）试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）课堂练习：null§3-5 级数式解答问题的提出多项式解答：只能求解载荷简单，且连续分布的问题。不能求解载荷复杂，且间断分布的问题，但可由级数式解答解决。级数式解答：（属逆解法）1. 级数形式的应力函数假设：(a)式中：null有：(b)解上述方程，得其中：A、B、C、D 都是任意常数，(c)再取如下应力函数：式中：类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：null(d)显然，将式(c) 与(d)相加，仍为可作为应力函数：(e)(3-8)显然，式(3-8) 满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加若干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。null2. 级数形式的应力分量(3-9) 式（3-9）满足相容方程、平衡方程，只要适当选取： 使其满足边界条件，即为某问题的解。null§3-6 简支梁受任意横向载荷边界条件1. 边界条件的级数表示上下边界：左右边界：（a）（b）（c）（d）由边界条件（c），得null此时应力分量式（3-9）简化为（3-10）null将此应力分量式（3-10）代入边界条件（b），有（e）（f）（i）（j）null（g）（h）将此应力分量式（3-10）代入边界条件（a），有（3-11）null比较式（3-11）与式（g）和（h）两边的系数，有（k）（l）说明：（1）边界条件（d）在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。（2）级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。（3）结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结果误差也较大。null作 业习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4null《弹性力学平面问题的基本理论》小结一、两类平面问题及其特征体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不变化。z 方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）null二、平面问题的基本方程（1）平衡微分方程（2-2）（假定：小变形、连续性、均匀性）（2）几何方程（2-9）（假定：小变形、连续性、均匀性）（3）物理方程(2-15)（平面应力）(2-16)（平面应变）（假定：小变形、连续性、均匀性、弹性、各向同性）null三、平面问题的基本求解方法及基本方程思路：（1）按位移求解以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。基本方程：（2-20）位移表示的平衡方程（2-21）（2-17）位移表示的应力边界条件位移边界条件null（2）按应力求解思路：基本方程：（2-2）平衡方程（2-23）应力协调方程基本控制方程（平面应力情形）（2-17）（2-18）位移边界条件应力边界条件边值条件null两类平面问题物理方程的互相转换：平面应力问题平面应变问题平面应变问题平面应力问题（4）边界条件（2-17）（2-18）—— 位移边界条件—— 应力边界条件null按应力求解的应力函数法基本方程：(2-27)(2-26)（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。（2-17）（2-18）位移边界条件应力边界条件应力函数协调方程应力函数表示的应力分量（对常体力情形）说明：（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。null四、关于平面问题的应变协调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（2-24）(平面应力情形)(平面应变情形)（2-25）(2-27)应变协调方程应力协调方程应力函数协调方程(基本形式)(常体力情形)适用情形： 小变形、任意弹塑性材料。(常体力情形)null五、边界条件与圣维南原理位移边界条件应力边界条件圣维南原理的要点：（1）小部分边界（次要边界）；（2）静力等效；（3）结果影响范围：近处有影响，远处影响不大。圣维南原理的应用：（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；（2）位移边界（次要边界）；null六、其它（1）常体力情况下简化将体力转化为等效的面力：（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。（3）任意方向的正应变计算。null例：试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。上边界：下边界：代入边界条件公式，有右边界：由圣维南原理，有null(1)图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。作 业