矩阵的等价标准形的应用第3讲 矩阵的等价标准形的应用
设矩阵
的秩rank
,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q,使
,
我们把
称为A的等价标准形.熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩,即它们具有相同的等价标准形.矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题.
例1 每个方阵A均可写成
,其中B是可逆阵,C是幂等阵(即
).
证 设A的秩rank
,则存在可逆阵P和Q,使
.记
,
,显然B是个可逆阵,
是个幂等阵,并且
.
例2 设n阶方阵A的秩rank
,证明存在可逆阵P,使
的后
行全是零.
证 存在可逆阵P和Q...
第3讲 矩阵的等价
形的应用
设矩阵
的秩rank
,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q,使
,
我们把
称为A的等价标准形.熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩,即它们具有相同的等价标准形.矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问
.
例1 每个方阵A均可写成
,其中B是可逆阵,C是幂等阵(即
).
证 设A的秩rank
,则存在可逆阵P和Q,使
.记
,
,显然B是个可逆阵,
是个幂等阵,并且
.
例2 设n阶方阵A的秩rank
,证明存在可逆阵P,使
的后
行全是零.
证 存在可逆阵P和Q,使
,从而
的后
行全是零.
例3 设n阶矩阵A的秩rank
,证明存在非零n阶矩阵B,使
.
证 由例1知存在可逆阵
和幂等阵
,使
.记
,显然
,且
.
例4 设n阶矩阵A,B满足
,证明
.
证 存在n阶矩阵P,Q,使得
,这里
rank A,我们断言
.事实上,从
易知
,
,
由此显然得到
,此时
,从而
,进而
.
例5 设n阶幂等阵A(即
)的秩rank
,证明存在可逆阵P,使
.
证 存在可逆阵R和T,使
,记
,其中
为r阶方阵,则
,
从
即知
,从而
,
因此
,且
,注意到
的秩等于r,知r阶方阵
的秩rank
,必须
,随之得到
.
现令可逆阵
,可验证
(i) 设n阶幂等阵A的秩等于r,证明
(ii) rank
rank
;
(iii) tr
rank A;
(iv) 任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积.
证 由例5知存在可逆阵P(当A为实阵时,P亦可取为实阵),使得
.
(i)此时
,这样
rank
rank
.
(ii)tr
tr
rank
.
(iii)易知
,显然
和
都是实对称阵,从而
也是实对称阵.
例6 若n阶阵A满足
rank
rank
,
则A是个幂等阵.
证 由例2知存在可逆阵P和
,其中
是r阶方阵,
rank A,使得
,
又从条件知
的秩rank
,
的秩也等于
,必须
,即
,这时
是个幂等阵,进而A是个幂等阵.
例7 1.设A是个n阶对合阵(即
),rank
,证明
(i) 存在可逆阵P,使
.
(ii) rank
rank
.
(iii) 每个实对合阵均可
为两个实对称矩阵之积.
2.若n阶阵A满足rank
rank
,则A是对合阵.
证 注意到A是对合阵当且仅当
是幂等阵,利用例5~7的结论即得.
例8 (i)设n阶阵A的秩等于r,满足
,此处
.证明存在可逆阵P,使得
.
(ii)设A,B是如下的n阶矩阵:
,
,
证明存在可逆阵P,使
.
证 (i)我们仿照例5的思路来进行.存在可逆阵R,使
,
其中
是r阶方阵.从
知
,即
,
于是
,且
.注意到
,
的秩rank
,因此
,
.
记
,P显然是可逆的,并且
.
(ii)显然A的秩rank
,又容易验证
,故据(i)即知结论.
例9 设A是个
矩阵,B是个
矩阵,证明
.
证 设A的秩rank
,存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使
,记分块阵
,其中
为r阶方阵,则有
同理可得
,
因此证明了
.进一步地,
.
例10 设
矩阵A的秩等于r,证明对任意
矩阵B,0是AB的至少
重特征值,0是BA的至少
重特征值.
证 从例10的证明直接推出.
例11 计算行列式
.
解 根据例10可知
例12 设A是个n阶可逆阵,
和
是两个n维列向量.证明rank
当且仅当
.
证 由例10得
,注意到
,
的秩rank
当且仅当
当且仅当
,即
.
例13 设
均不为0,计算行列式
.
解 因
均不为0,故对角阵
是可逆的,由例13可得
例14 设A是个
矩阵,B是个
矩阵,证明下面的Sylvester秩不等式
rank AB ≥ rank
rank
.
证 设A的秩等于r,B的秩等于s,存在m阶可逆阵P,n阶可逆阵Q和R,l阶可逆阵S,使得
,
,
记
,其中
是
矩阵,则
,
注意到P、T、S都是可逆阵,rank
,故
rank
rank
rank
,
而
是T中去掉后
行、后
列所得的矩阵,而在矩阵中去掉一行(列),矩阵的秩最多减少1,因此
rank
rank
.
例15 设A、B、C是任意三个矩阵,乘积ABC有意义,证明下面的Frobenius秩不等式:
rank ABC ≥ rank
rank
rank B.
证 设A是
矩阵,B是
矩阵,C是
矩阵,且设rank
,则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使
.现作分块阵
,
,
是
矩阵,
是
矩阵,则
,
于是根据例15得到
rank
rank
≥ rank
rank
≥ rank
rank
= rank
rank
rank B .
例16 设
矩阵A的秩等于r,证明存在可逆阵
、
使PA的后
行全为零,AQ的后
列为零.
证 存在可逆阵P和Q,使得
,显然
的后
行为零,而且
的后
列为零.
例17 设A、B是两个等秩的
矩阵,若存在n阶矩阵U,使
,则存在可逆阵V,使
.
证 设A、B的秩等于r,从例17知存在可逆阵P和Q ,使
,
,
其中
,
都是秩为r的
矩阵.现作适当的分块
,
,则有
,
,
从而
,并且进一步可得
,
注意到
的秩等于r,故r阶方阵
的秩也等于r,即
是可逆的,于是有
显然
是可逆的,我们把它的逆记为V,则
.
例18 试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组
的一种解法.
解 设A的秩等于r,存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使
,于是线性方程组
可化为
,
记
,则原方程组等价于
,
即
.令
,容易验证
都是
的解,从而它们构成
的一基础解系. □
下面是具体的操作过程.
首先构造矩阵
,
然后对矩阵B作如下的初等变换:
(i) 对A(即B的前m行)作初等的行变换,
(ii) 对B作初等的列变换,
则经过有限次上述的初等变换后,B可变为
,
此时Q的后
个列向量构成
的一基础解系.
例19 试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组
的一种解法.
解 下面仅给出具体的操作过程,至于其原理可按例19的方式得到.
首先构造矩阵
,
然后对矩阵B作如下形式的初等变换:
(i) 对B的前m行
作行的初等变换,
(ii) 对B的前n列
作列的初等变换,
则经过有限次上述变换后,B可变为
,
记
,
,此时可得如下的结论:
有解当且仅当
;当
时,
是
的一个特解,
是
所对应的齐次线性方程组
的一基础解系.
例20 试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法.
解 设A是个n阶可逆阵,A的秩等于n,存在可逆阵P和Q,使
,
,进而
.这给出了求逆矩阵的一种方法.
首先构造矩阵
,
然后对B进行如下形式的初等变换:
(i) 对B的前n行
进行初等的行变换,
(ii) 对B的前n列
进行初等的列变换,
则经过有限次上述变换后,B可变为
,
由此求得
.
例21 设A是给定的
矩阵,X是
矩阵,求矩阵方程
的所有解X.
解 设A的秩rank
,取定m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使得
,
代入
,得到
,
,
,
现记
,其中
是r阶方阵,代入上式得到
由此得到
,
,因此我们解得了
,
其中
是r阶对称矩阵,
是个任意的
矩阵.
反过来,对任意
矩阵
,其中
是对称矩阵,我们容易验证
.这样我们就求出了
的全部解. □
例22 设
,则矩阵方程
有解当且仅当
和
等价.
证 若X,Y满足方程
,则
,
因此
与
等价.
反过来,如果
与
等价,那么它们具有相等的秩.设rank
,rank
,存在可逆的
,使得
,
,
则有
,
,
其中
,
为
矩阵.又记
,
,
则
,
因此从条件可知
,这样
,
由此得到
,
这意味着
有解.
例23 证明每个秩r的矩阵可以表为r个秩1的矩阵之和.
证 设
矩阵A的秩为r,存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使
.
现记
,
,…,
显然这r个矩阵的秩均为1,且满足
. □
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