3.1三维空间转动变换

nullnull第三章 三维转动群3.1 三维空间转动变换 3.2 李群的基本概念 3.3 三维转动群的覆盖群SU(2) 3.4 SU(2)群的不等价不可约示 3.5 李氏定理 3.6 李代数 3.7 张量和旋量null♣ 球对称：是物理学中常见的对称性 无论经典力学还是量子力学，中心力场问题总是最基本的研究课题 不仅是中心力场容易处理，而且很多真实物理系统都有近似的球对称性质 ♣在球对称系统中，空间各向同性，系统绕通过原点的任何轴转动都保持不变，因而，球对称变换群是三维空间转动群 ♣因转动角度可以任意，故群元素无限多——无限群，群元素可以用一组实参数来描写 ♣实参数在一定区域内连续变化，且涉及的这些连续参数的数是解析函数——转动群是连续群，且是连续群中可以用微积分深入研究的一类，称为李群null3.1 三维空间转动变换一、约定1. 主动观点： 坐标系固定，系统转动null二、概念1. 手征性不变： 右手坐标系： 左手坐标系： 右（左）手坐标系经变换后仍为右（左）手坐标系2. 固有转动： 三维空间纯粹的转动，即保持坐标系手征性不变的转动 null3. 非固有转动： 若转动后，再做空间反演，改变坐标系的手征性 两类转动都保持 坐标系原点不变， 保持空间任意点到原点的距离不变（即无变形）4. 幺模矩阵： 行列式为 1 的矩阵 detA=1三、三维空间转动群1. 转动变换 在三维空间建立直角坐标系K，用原点O到空间任意点P的位置矢量 来描写P点的位置，坐标轴向的单位矢量记作 则null 固有转动要求： 坐标系原点不变，保持空间任意点到原点的距离不变设转动操作R把P点转到P'点变换前后的坐标可用R矩阵联系，位置矢量变换为则null♣坐标的齐次变换保证原点位置不变♣距离不变要求矩阵R是实正交矩阵 （距离与x2联系，两个列矩阵相乘xT x）要求为1若在系统上建立坐标系K’ 单位矢量记为则 在坐标系K'中的分量保持不变（系统与坐标系相对静止），因此有null相当于 按 线性展开，Rab为展开系数♣坐标系的手征性用单位矢量的混合积来确定转动变换保持系统的手征性不变，就是要求固定在系统上的坐标系单位矢量混合积在变换前后都是1，即三维空间转动变换：由行列式为1的实正交矩阵R描写null◆行列式为+1的实正交矩阵R满足空间转动变换的三个要求：保持原点、两点间距离、手征性不变——R对应的是固有转动◆行列式为-1的实正交矩阵会改变系统的手征性，说明变换中包含了空间反演σ——非固有转动◆实正交矩阵行列式只能取+1或-1，分别对应固有转动和非固有转动，即 非固有转动元素=固有转动R+空间反演σ2. 三维空间转动群 ♣SO(3)群：三维幺模实正交矩阵 描写绕三维空间 方向转动ω角的变换，按照矩阵的乘积规则，它的集合构成群。（O：实正交；S：幺模）♣O(3)群：三维实正交矩阵群 SO(3)+空间反演变换σ群null四、特殊的转动1. 绕x3(z)转动ω角的变换矩阵 ●给出x-y平面(右手坐标) z轴垂直于xy面向外●两个坐标系： K 固定在空间 K’ 固定在系统上●转动变换前，K与K’重合 空间某点P在两个坐标系中 的坐标为 x1，x2，x3●变换：系统绕x3轴转动ω角，即K’系随着转动ω角 标记为 x’1，x’2，x’3;系统上的P点位置转过ω角到P’点null●P’点在K系中坐标为(x’1,x’2,x’3) K’系中坐标为(x1,x2,x3)●由图中得到两组坐标的关系将系数写成矩阵null●利用物理中常用的泡利矩阵，可将转动矩阵写成矩阵指数函数的形式泡利矩阵：三个矩阵之间的关系：矩阵的指数函数用它的级数展开来定义null展开为有限项之和将上式中的σ2换成三维矩阵T3，即可得到 矩阵指数形式null 证 明T矩阵满足上面给出了 三维转动的指数形式与矩阵形式null2. 一个特殊的转动S(φ,θ)： 把x3轴上的点转到 方向 ●过程：将x3轴上的点P， 在 x1-x3平面，绕x2轴转θ角 使P'在x1-x2平面投影在 x1轴上；再绕x3轴转φ角 即可使P→P'→P''●用转动元素表示：null●将S(φ,θ)作用于 上，相当于取S的第三列●容易验证2. SO(3)群任意元素 可以表示为三个转动的乘积●先将 方向转到x3方向 再绕x3轴转动ω角 最后把x3方向转回到 方向null即 讨 论 ♣可以把ωa看作矢量 的直角坐标，而θ,φ是它的球坐标，它们描写了SO(3)群的任意元素，即绕 方向转动ω角的变换♣绕相反方向的转动变换有如下关系则null♣三维转动群中转动相同角度的元素互相共轭♣三维转动群中类用转动角度ω来描写♣给出任意转动变换矩阵 ，由它的迹（1+2cosω）定出转动角度ω，它的本征值为1的本征矢量沿转动轴 方向 练 习展开成有限项矩阵之和 提示：