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第 卷
年
第 期
月
高 师 理 科 学 刊
段 ,
矩阵一个性质的证明
刘 莉
呼兰师范专科学校
摘要 给出了 矩阵一个性质的证明方法
关键词 矩阵
设 尸
示 维实欧氏空间 , 尾 表示 中全体非负向量所构成的集合 , 仁 尾 是
单
纯形 , 即 一 尾 习云 一
,
司 二
, , 若
,
有 内 , 则记 》
定理 设 阶方阵 是一个 矩阵 , 则必存在实数 产。 和向量 。
,
使得
几 种
设 产 共 脚 是 的特征值 , 则 凡 月 脚
证 本定理的证明分以下 步来完成
引理 设 是正方阵 , 则
存在产 和向量王 》 , 使得石 二 不玉
设 半 产是 的特征值 , 则 川 不
事实上 设 一 川 成娜 对某 任 , 且产 易知 为紧集 记 万
而 川产 任
,
则 万 从而存在牙〔 , 使得石成 不牙且 石 》
假设石 不王即 石 一 不王
, 从而 石 一 不习 《 即存在
, 使得 · 石簇
产 一 日月王
令 夕一 石 言‘“
‘, 贝‘、。“且 石 镇 ‘不一 , 、, 这与不的定义矛盾
, 故 石 一 、王
又因心 》 , 所以产 且 牙 》
设 产 护 产是 的特征值 , 相应的特征向量为 任 口 , 令 川 一 勿
,
⋯
,
, 则
川
由彻 一 刃及复数性质
, 有 川
·
引 川 引 , 从而 川 成 元这里天一 扭 七 肠
对某 任 且又妻 。 , 易证天一 不, 故 川 镇 承
引理 设 是非负方阵 , 则
存在实数户妻 及向量王 , 使得石 一 万王
设 产井 产是矩阵 的特征值 , 则 川 镇 承
事实上 ①设 态 为 阶正方阵 , 则 可表为正方阵序列 态 的极限
态
本文 年 月 日收到
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高 师 理 科 学 刊 第 卷
对 人 , 由引理 有向量 ‘ 及正痴‘司
, 使得
月肠 二 动 一 对衬 动
由 可知存在极限 尸动 一 承因 夕动 , 所以声
又从 耐 中可选出子序列 丈 、 , , 且
、 二 王 , 牙任
则 式两端对子序列 伙 取极限 , 有
石 一 再王 王
②设 产 为 的任一特征值 , 产 笋 拜 因对‘ 且由引理 尸“ 对 二 , , 其中对 。 为
态 的任一特征值 一 ⋯
,
取极限得石 拜
定理的证明
因为 “ 是 方阵 , 则存在非负矩阵
,
正数 占
,
使得 一 一打
对矩阵
,
由引理 知存在实数产 和向量 扩 使得 ’ 一
这样 , 几工。 一 打 一 云一 司
令 脚 一 产 一 占, 则 产。 即为所求
设 产 铸 脚 是 的特征值
一 风 一 一 盯 一 川 一 一 月 , 即 产 是非负矩阵 的特征向量 , 由引理 知
沙 产 镇 不, 即 占 尺 产 去 川 簇 脚 占, 从而占 尺 产 镇 内 占,
故 尺 川 镇 脚 证毕
参 考 文 献
罗家洪 矩阵
引论 广州 华南理工大学出版社 ,
陈公宁 矩阵理论与应用 北京 高等教育出版社 ,
碑 ,
,
关