高斯过程作业题
1、已知随机变量 X和 Y的联合概率密度为
2 2
21 x y 1f (x, y) exp exp( )g(x)g(y)
2 2 2
⎛ ⎞+= − + −π⎜ ⎟π π⎝ ⎠
其中 cos x, |x|
函数为 | |R( ) e− ττ = ,求随机变量
1
0
Y X(t)dt= ∫ 的概率密度函数。
3、一个线性系统的冲击响应函数为 th(t) e , t 0, 0−β= ≥ β > ,输入 X(t)是零均值平
稳高斯过程,自相关函数为 2R( ) e , , 0−α ττ = σ α ≠ β α > ,输出为 Y(t)。求 1)
Y(0) r≥ 的概率是多少;2)若观测到 X(-T)=0,在此条件下Y(0) r≥ 的概率是
多少。
4、在下图的接收机中,s(t)是一个确定信号,信号形式假设已知,其能量为
T 2
s 0
E s (t)dt= ∫ 。噪声 n(t)均值为零,自相关函数为 2 | |nR ( ) e−α ττ = σ 。求输出 Y
的概率密度。
X
s(t)
Y
r(t)=s(t)+n(t) T
0
dt⋅∫
5、随机过程 X(t)=Ucosωt+Vsinωt,Y(t)=Zcos(ωt+θ),其中ω为正常数,U、V为
独立高斯变量都服从 N(0, σ2),Z 与θ为独立的随机变量,Ζ服从瑞利分布,θ
为[0, 2π]的均匀分布。证明 X(t)和 Y(t)具有相同的有限维分布。
6、某系统如下图所示
X(t) 带通H1(f) X
cos(2 fct+ )
低通H2(f) Y(t)
2B
fc-fc
f
2B
f
输入 X(t)是功率谱密度为Ν0/2的零均值高斯白噪声,θ在[0, 2π]上均匀分布,且与
X(t)统计独立。求输出过程 Y(t)的功率谱密度和方差。
7、已知随机过程 X(t)的功率谱密度 Sx(ω)能量集中在低频,满足 Sx(ω)=0
( |ω|>B )。 取 常 数 ω0 远 大 于 Β , 构 造 一 个 新 的 随 机 过 程
0 0
ˆY(t) X(t) cos t X(t)sin t= ω − ω , Xˆ(t)为 X(t)的希尔伯特变换。求 Y(t)的功率
谱密度,并画出 X(t)和 Y(t)两个功率谱的关系。