基于Mooney_Rivlin模型和Yeoh模型的超弹性橡胶材料有限元分析

第 8 期 　　作者简介 :黄建龙 (19512) ,男 ,甘肃兰州人 ,兰州理工大学教 授 ,硕士 ,主要从事成套设备的设计与开发及机械可靠性设计理 论与方法的研究。 基于 Mooney2Rivl in 模型和 Yeoh 模型的超弹性 橡胶材料有限元分析 黄建龙1 ,解广娟1 ,刘正伟2 (1. 兰州理工大学 机械电子学院 ,兰州　730050 ;2. 中海油田服务股份有限公司 ,北京　101149) 　　摘要 :介绍橡胶材料两种常用的应变能密度函数模型———Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh 模型 ,并解析求得其材料 常数。采用 ANSYS 有限元分析软件 ,分析比较两种模型的位移和应力云图 ,验证其适用性 ,即 Mooney2Rivlin 模型适 合模拟中小变形行为 ; Yeoh 模型适合模拟炭黑填充 NR 的大变形行为。 　　关键词 :超弹性 ;橡胶材料 ;应变能密度函数模型 ;有限元分析 　　中图分类号 :TQ330. 1 + 2 ;O241. 82 　　文献标识码 :A 　　文章编号 :10002890X(2008) 0820467205 　　橡胶材料作为一种高分子非线性超弹性材料 广泛应用于承载结构轴承、密封件、吸收震动的衬 垫、连接器和轮胎等 ,已成为现代工业的重要原材 料。橡胶硫化后分子形成网状结构 ,从而成为具 有超弹性、体积几乎不发生变化 (即不可压缩) 、 大变形的非线性固体材料。材料特性的非线性 和几何非线性给橡胶材料的研究带来了很大的 困难。 几十年来 ,人们对橡胶材料做了大量的研究 工作 ,主要有罚有限元、混合元和杂交元等方法。 文献 [ 123 ]均以 Piola2Kirchhoff 应力和 Cauchy2 Green 应变建立拉格朗日虚功方程 ,将非线性方 程线性化 ,并利用目前广泛应用的应变能密度函 数模型 ———Mooney2Rivlin 模型进行有限元分 析 ,介绍确定适当罚因子的方法。文献[4 ]采用罚 函数和拉格朗日乘子法 ,并引入静水压力概念 ,同 样应用 Mooney2Rivlin 模型对橡胶材料进行有限 元分析 ,通过试验和解析方法确定算法的有效性。 文献[ 5 ,6 ]采用试验方法结合有限元方法对如何 确定 Mooney2Rivlin 常数做了研究。文献 [ 7 ]以 Piola2Kirchhoff 应力和 Cauchy2Green 应变理论 , 采用 Yeoh 模型对橡胶材料进行有限元分析 ,从 而确定此类材料的有限元模型。尽管应变能密度 函数模型理论越来越多 ,应用研究范围也越来越 广 ,但是针对具体工况选择合适的应变能密度函 数模型仍有很大困难。 本文根据有限元分析软件 ANSYS 提供的超 弹性不可压缩材料的材料特性描述 ,介绍橡胶材 料的有限元分析模型 ———Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh 模型 ,并用实例这两种典型模型的适用 性 ,以期为有限元分析打下理论基础。 1 　橡胶材料增量形式的应力2应变关系和其本构 关系 (1)假设橡胶材料在小范围内是线性的 ,可以 用增量形式建立其应力 (σ) 2应变 (ε) 关系 : dε1 = 1E [ dσ1 - μ(dσ2 + dσ3 ) ] dε2 = 1E [ dσ2 - μ(dσ1 + dσ3 ) ] dε3 = 1E [ dσ3 - μ(dσ1 + dσ2 ) ] (1) 式中 , E为弹性模量 ,μ为剪切模量。 但是式中的 E 是变形过程函数 ,给试验测定 和实际应用带来很大困难 ,因此该公式很少使用。 (2) 假设橡胶材料为各向同性和不可压缩 ( I3 ≡1) ,基于应力2应变关系以唯象理论建立橡 胶材料的本构关系 ,以应变能密度函数 ( W ) 示 : W = W ( I1 , I2 , I3 ) (2) 式中 764黄建龙等. 基于 Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh 模型的超弹性橡胶材料有限元分析 I1 =λ21 +λ22 +λ23 I2 =λ21λ22 +λ22λ23 +λ21λ23 I3 =λ21λ22λ23 = 1 λi = 1 +γi 式中 , I1 , I2 和 I3 为变形张量不变量 ,λ1 ,λ2 和λ3 为主伸长比 ,γi 为主应变。 2 　Mooney2Rivl in 模型和 Yeoh 模型 211 　应变能密度函数模型 (1) Mooney2Rivlin 模型 Mooney2Rivlin 模型是一个比较经典的模 型 ,几乎可以模拟所有橡胶材料的力学行为 ,适合 于中小变形 ,一般适用于应变约为 100 % (拉伸) 和 30 %(压缩)的情况。但是 Mooney2Rivlin 模型 不能模拟多轴受力数据 ,由某种试验得到的数据 不能用来预测其它的变形行为。ANSYS 有限元 分析软件可根据不同需要 ,将其展开为二项三阶 展开式、三项三阶展开式、五项三阶展开式和九项 三阶展开式等 ,其应变能密度函数模型如下 : W = ∑ N i + j = 1 Cij ( I1 - 3) i ( I2 - 3) j + ∑ N k = 1 1 dk ( I23 - 1) 2 k (3) 典型的二项三阶展开式为 W = C10 ( I1 - 3) + C01 ( I2 - 3) + 1d ( J - 1) 2 (4) 式中 , N , Cij 和 d k 为材料常数 ,由材料试验所确 定 ;对于不可压缩材料 , J = 1。 (2) Yeoh 模型 Yeoh 模型比较适合模拟炭黑填充 NR 的大 变形行为 ,并且可以用简单的单轴拉伸试验数据 模拟其它变形的力学行为 ,但是它不能很好地解 释双轴试验数据 ,当材料发生较大变形时 ,计算结 果就会不精确。 ANSYS 有限元分析软件中也将其分为一、 二、三、四和五等多项参数形式 ,其应变能密度函 数模型如下 : W = ∑ N i = 1 Ci0 ( I1 - 3) i + ∑ N k = 1 1 dk ( J - 1) 2 k (5) 　　典型的二项参数形式为 W = C10 ( I1 - 3) + C20 ( I1 - 3) 2 (6) 式中 ,材料常数 N , Ci0 和 dk 由材料试验所确定 , 初始剪切模量μ= 2 C10 ; 同样 , 对于不可压缩材 料 , J = 1。 212 　Piola2Kirchhoff 应力张量与 Cauchy2Green 应变张量的关系 应力2应变关系表征材料的主要特性。橡胶 材料的应力2应变关系可以由应变能密度函数对 其主伸长比求偏导表示 ,此应力2应变形式由 Pio2 la2Kirchhoff 和 Cauchy2Green 定义 ,因此也称为 Piola2Kirchhoff 应力张量 ( tij ) 和 Cauchy2Green 应变张量 (γij ) ,其形式如下 : tij = 5W5γij = 5W5 I1 5 I15γij + 5W5 I2 5 I25γij + 5W5 I3 5 I35γij (7) 　　由上述公式得主应力 ( ti ) 与主伸长比 (λi ) 之 间的关系 : t1 = 2λ1 [ 5W5 I1 + (λ22 +λ23 ) 5W5 I2 +λ22λ23 5W5 I3 ] t2 = 2λ2 [ 5W5 I1 + (λ23 +λ21 ) 5W5 I2 +λ23λ21 5W5 I3 ] t3 = 2λ3 [ 5W5 I1 + (λ21 +λ22 ) 5W5 I2 +λ21λ22 5W5 I3 ] (8) 3 　基于 Mooney2Rivl in 模型和 Yeoh 模型的参数 计算 通过单轴拉伸试验确定材料常数 ,并取二项 参数的 Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh 模型作为计 算准则 ,采用 ANSYS 有限元分析软件对两模型 进行分析对比。 (1)单轴拉伸试验简化 对于单轴拉伸试验 ,有 t3 = t2 = 0 λ22 =λ23 = 1λ1 (9) 　　对于绝对不可压缩材料 , I3 =λ21λ22λ23 = 1 ,结合 式 (8) 和 (9) 推导出绝对不可压缩橡胶材料的主应 力与主应变和变形张量不变量与主伸长比的 关系 : t1 = 2 λ1 (λ 2 1 - 1 λ21λ22 ) ( 5W5 I1 +λ22 5W5 I2 ) (10) I1 =λ21 + 2λ21 (11) 864 橡 　胶 　工 　业 　　　　　　　　　　　　　 　　2008 年第 55 卷 第 8 期 　　(2) Mooney2Rivlin 模型常数 C10和 C01确定 二项参数 Mooney2Rivlin 模型应变能密度函 数为 W = C10 ( I1 - 3) + C01 ( I2 - 3) ,结合式 (9) ～ (11) 求得 : t1 2 (λ1 - 1λ21 ) = C10 + 1λ1 C01 　　根据试验测得不同拉伸比 (λ1 ) 下的应力值 ( t1 ) ,然后以 1λ1 为横坐标 ,以 t1 2 (λ1 - 1λ21 ) 为纵坐标 , 把试验点绘在坐标系中 ,并把试验点回归成一条 直线 ,则 C10为这条直线的截距 , C01为其斜率。 (3) Yeoh 模型常数 C10和 C20确定 二项参数 Yeoh 模型应变能密度函数为式 (6) ,与上述方法相同 ,先求得 t1 2 (λ1 - 1λ21 ) = C10 - 6 C20 + 2 C20 (λ21 + 2λ1 ) 　　最后求得 C10和 C20 。 (4) 基于数值分析和 Matlab 求解 C10 和 C01 及 C10和 C20 以一种典型橡胶材料为例 ,本研究选用轨道 减震器做单轴拉伸试验 ,所得应力2应变关系如图 1 所示 ,根据上述方法做图并回归为直线 ,如图 2 和 3 所示。 根据对应斜率和截距关系求得材料常数。 Mooney2Rivlin 模型 : C10 = 1 . 20 , C01 = - 0 . 35 ; Yeoh 模型 : C10 = 0 . 71 , C20 = - 0 . 019。 4 　ANSYS 分析结果 本研究采用 ANSYS10. 0 有限元分析软件对 这种材料进行分析[8 ] ,结果如图 4～7 所示。 根据图 4～7 可得到模型位移和应力数据 ,如 表 1 和 2 所示。由表 1 和 2 可看出 ,两种模型应 力云图对应等值线差值几乎为零 ,但很明显位移 差值却很大 ,并逐渐增大 ,最小差值为 0. 9 % ,最 大可达到 8. 2 %。Mooney2Rivlin 模型的最大位 移为 0. 197 016 mm , Yeoh 模型最大位移为 0. 279 016 mm ,相差 8. 2 % ,从而可以验证 :Moo2 ney2Rivlin 模型适合模拟中小变形行为 , Yeoh 模 型比较适合模拟炭黑填充 NR 的大变形行为。 5 　结语 本研究主要总结了目前两种常用的超弹性橡 胶材料的应变能密度函数模型 ,并分析比较其适 用性 ,具体给出了 Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh 模 型材料参数的确定方法。采用 ANSYS 有限元分 析软件对两种模型进行分析 ,进一步证明了两种 964黄建龙等. 基于 Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh 模型的超弹性橡胶材料有限元分析 模型的适用性 ,即 Mooney2Rivlin 模型适合模拟 表 1 　Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh模型的 位移数据 mm Mooney2Rivlin 模型 Yeoh 模型 位移差值 相对差值/ % 0. 021 891 0. 031 002 0. 009 111 0. 9 0. 043 781 0. 062 004 0. 018 223 1. 8 0. 065 672 0. 093 005 0. 027 333 2. 7 0. 087 563 0. 124 007 0. 036 444 3. 6 0. 109 454 0. 155 009 0. 045 555 4. 6 0. 131 344 0. 186 011 0. 054 667 5. 5 0. 153 235 0. 217 013 0. 063 778 6. 4 0. 175 126 0. 248 014 0. 072 888 7. 3 0. 197 016 0. 279 016 0. 082 000 8. 2 表 2 　Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh模型的 应力数据 MPa Mooney2Rivlin 模型 Yeoh 模型 应力差值 相对差值/ % 0. 096 556 0. 096 618 0. 000 062 0. 006 2 0. 097 776 0. 097 798 0. 000 022 0. 002 2 0. 098 996 0. 098 978 - 0. 000 018 0. 001 8 0. 100 216 0. 100 157 - 0. 000 059 0. 005 9 0. 101 436 0. 101 337 - 0. 000 099 0. 009 9 0. 102 656 0. 102 517 - 0. 000 139 0. 013 9 0. 103 876 0. 103 697 - 0. 000 179 0. 017 9 0. 105 096 0. 104 877 - 0. 000 219 0. 021 9 0. 106 316 0. 106 057 - 0. 000 259 0. 025 9 0. 107 536 0. 107 237 - 0. 000 299 0. 029 9 中小变形行为 ; Yeoh 模型适合模拟炭黑填充 NR 的大变形行为。采用 ANSYS 有限元分析软件进 行分析 ,为超弹性橡胶材料选用和分析打下了理 论基础。 参考文献 : [ 1 ] 史守峡 ,白若阳. 非线性不可压缩橡胶柱体的大变形罚有限 元分析[J ] . 世界地震工程 ,1998 ,14 (1) :51257. [ 2 ] 史守峡. 平面应力不可压缩橡胶薄片的非线性有限元分析 [J ] . 哈尔滨工程大学学报 ,1998 ,19 (3) :11215. [ 3 ] 于建华 ,魏永涛. 不可压缩超弹性材料的有限元应力分析 [J ] . 西南交通大学学报 ,1998 ,33 (1) :41245. [ 4 ] 魏永涛 ,于建华. 橡胶有限元分析之研究 [J ] . 四川联合大学 学报 ,1997 ,1 (5) :78283. [ 5 ] 郑明军 ,谢基龙. 压缩状态下橡胶大变形有限元分析 [J ] . 北 方交通大学学报 ,2001 ,25 (1) :76279. [ 6 ] 郑明军 ,王文静 ,陈政南 ,等. 橡胶 Mooney2Rivlin 橡胶力学性 能常数的确定[J ] . 橡胶工业 ,2003 ,50 (8) :4622465. [ 7 ] 危银涛 ,杨挺青 ,杜星文. 橡胶类材料大变形本构关系及其有 限元方法[J ] . 固体力学学报 ,1999 ,20 (4) :2822289. [ 8 ] 杨晓翔. 非线性橡胶材料的有限单元法[ M ] . 北京 :石油工业 出版社 ,1999 :4. 收稿日期 :2008202212 074 橡 　胶 　工 　业 　　　　　　　　　　　　　 　　2008 年第 55 卷 第 8 期 FEA of hyperelastic rubber material based on Mooney2Rivl in model and Yeoh model H UA N G J i an2long1 , X I E Guang2j uan1 , L I U Zheng2w ei2 (1. Lanzhou University of Technology ,Lanzhou 　730050 ,China ;2. China Oilfield Services Ltd ,Beijing 　101149 ,China) Abstract :Two kinds of st rain energy density models for rubber material ———Mooney2Rivlin model and Yeoh model were int roduced ,and t heir material constant s were analyzed. By use of ANSYS FEA sof tware ,t he displacement and st ress cloud atlases of t he models were compared ,and t heir applicability was verified ,i. e. Mooney2Rivlin model was suitable to simulate t he behavior of medium and small st rain ,while Yeoh model was for t he behavior of large st rain of NR filled with carbon black. Keywords :hyperelasticity ;rubber material ; st rain energy density f unction model ; FEA 费尔斯通工业品公司到哥斯达黎加 开设橡胶空气弹簧厂 中图分类号 : TQ336. 4 + 2 　　文献标识码 :D 美国《橡胶和塑料新闻》(www. rubbernews. com) 2008 年 5 月 20 日报道 : 费尔斯通工业品公司在哥斯达黎加图里 亚尔瓦开设一家橡胶空气弹簧厂 ,以满足该地区 日益增长的需求。该公司已签署在图里亚尔瓦租 用厂房的协议 ,按计划开始时雇用 100 人 ,需用厂 房面积约为 11 600 m2 ,但并未透露投资额以及初 期生产能力。 费尔斯通工业品公司选择在哥斯达黎加建橡 胶空气弹簧厂的原因之一是普利司通 (美国)投资 公司已在该国拥有一家轮胎厂 ,该厂于 1967 年投 产。轮胎厂的管理人员能够向费尔斯通工业品公 司提供各种帮助。橡胶空气弹簧厂坐落在轮胎厂 附近 ,两家工厂已经达成了相互支持的共识。 按计划 ,橡胶空气弹簧厂将于 2008 年年底前 投产 ,并取得客户认可 ,于 2009 年年初达产。工 厂将同时生产自有品牌和贴 Marsh Mellow 牌的 产品。 费尔斯通公司生产空气弹簧的历史始于 1939 年 ,产品采用工程橡胶制造 ,上下各有一块 特殊设计的金属端盖 ,腔内装有可压缩的空气。 该产品主要用于载重汽车减震 ,还可保持车辆平 稳 ,减轻悬架疲劳和轮胎磨损 ,使车辆高度可调 节 , 调整车辆刚性频率和延长道路寿命等。 Marsh Mellow 牌空气弹簧采用纤维织物增强的 橡胶筒 ,腔内不需要充气 ,适用于需要隔离震动或 消除冲击影响的工业环境。 在北美和西欧等成熟市场 ,大型空气弹簧的 份额已占到 70 %～95 % ,而在亚洲和南美洲等新 兴市场 ,其份额还不足 10 %。因此可以预计 ,在未 来10年 ,大型空气弹簧的需求量将会迅速增长。 目前 ,费尔斯通工业品公司在美国设有 3 家 橡胶空气弹簧厂 ,在巴西和波兰各有 1 家 ,在中国 有 1 个装配点。 [昊华南方 (桂林)橡胶有限责任公司 邓海燕摘译 ] 盖茨公司将关闭 Moncks Corner 厂 中图分类号 : TQ336. 2 ; F27 　　文献标识码 :D 美国《橡胶和塑料新闻》(www. rubbernews. com) 2008 年 6 月 17 日报道 : 盖茨公司将关闭其位于美国南卡罗来纳州的 Moncks Corner 厂 ,并计划在未来数月内调整其 在北美的胶带生产布局。据称 ,上述计划是在对 生产经营进行详细评估后做出的。公司大致披露 了关闭工厂的细节和工厂的评估情况。 Moncks Corner 厂于 1986 年投产 ,产品为同 步带 ,现有员工 197 人。预计工厂将于 2009 年第 1 季度完成关闭 ,产能将分散到北美其它胶带厂。 [昊华南方 (桂林)橡胶有限责任公司 邓海燕摘译 ] 174黄建龙等. 基于 Mooney2Rivlin 模型和 Yeoh 模型的超弹性橡胶材料有限元分析