江苏省苏中五市（通泰扬盐淮）第三次调研考试数学学科试题及参考答案（原稿））

PAGE数学学科参考答案及评分建议第PAGE2页（共NUMPAGES14页）南通市2015届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合A{3，m}，B{3m，3}，且AB，则实数m的值是▲．【答案】02．已知复数z(i为虚数单位)，则z的实部为▲．【答案】33．已知实数x，y满足条件则z2x+y的最小值是▲．【答案】3（第5题）开始输入xy←5x<4y←x22x+2输出y结束YN（第4题）时间（小时）频率组距0.0040.0080.0120.016050751001251504．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在中的频数为100，则n的值为▲．【答案】10005．在如图所示的算法图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为▲．【答案】46．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为▲．【答案】7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x28y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为▲．【答案】8．在等差数列{an}中，若an+an+24n+6（n∈N*），则该数列的通项公式an▲．【答案】2n+19．给出下列三个命题：①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；③“a0”是“函数f(x)x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为▲．【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其面展开图如图所示，则该空间几何体的体积（第10题）ABCDEF（第11题）PV▲cm3．【答案】11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为▲．【答案】12．已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为▲．【答案】（5，0）13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y10的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为▲．【答案】3或14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为▲．【答案】[1，]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ABCDA1B1C1（第15题）E15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．解：（1）因三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．………………………………………………………………………2分ABCDA1B1C1（第15题答图）EF又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．5分因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF∥面ABC1．…………………10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．………………………………………………………………12分因DE平面DEF，故DE∥面ABC1．……………………………………………………………………14分xyO22（第16题）16．（本小题满分14分）已知函数（其中A，，为常数，且A＞0，＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若，求的值．解：（1）由图可知，A2，……………………………………………………………2分T，故，所以，f(x)．……………………………………4分又，且，故．于是，f(x)．…………………………………………………………7分（2）由，得．…………………………………………9分所以，…………………………12分=．……………………………………14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，)．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2k3k4．yxOF1F2BC（第17题）D①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．解：（1）一依题意，c，a2b2+3，………………………………………………………2分由，解得b21(b2，不合，舍去)，从而a24．故所求椭圆方程为：．离心率e．……………………………………………………………………5分方法二由椭圆的定义知，2a4，即a2．……………………………………………………………………………2分又因c，故b21．下略．（2）①设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(x1，y1)，于是k1k2．…………………8分②方法一由①知，k3k4k1k2，故x1x2．所以，(x1x2)2(4y1y2)2，即(x1x2)2，所以，4．……………………………………………………………………11分又2，故．所以，OB2+OC25．…………………………………………14分方法二由①知，k3k4k1k2．将直线yk3x方程代入椭圆中，得．……………………9分同理，．所以，4．……………………11分下同方法一．18．（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．ABCDPQ（第18题）O（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值．解：（1）设，在△中，，即，……………………………………………………2分所以，，…………4分所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时△周长取得最大值．ABCDPQ（第18题答图）OEF答：当都为50m时，△的周长最大．6分（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则分别为AB，CD的中点，所以，由，得．8分在△中，．又在△中，，故．10分所以，，．…………12分（一直没有交代范围扣2分）令，，，，又y=及y=在上均为单调递减函数，故在上为单调递减函数．因＞0，故＞0在上恒成立，于是，在上为单调递增函数．………14分所以当时，有最大值，此时S有最大值为．答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为m2．…16分19．（本小题满分16分）已知数列{an}，{bn}中，a1=1，，n∈N，数列{bn}的前n项和为Sn．（1）若，求Sn；（2）是否存在等比数列{an}，使对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：0≤Sn＜2．解：（1）当an时，bn．………………………………………2分所以，Sn．………………………………………4分（2）满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=．证明：在中，令n=1，得b3=b1．设an=，则bn=．…………………………………………………6分由b3=b1，得．若q=，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=．…………………8分若q，则，即q2=1，矛盾．综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=．10分（3）因1=a1≤a2≤…≤an≤…，故，0＜≤1，于是0＜≤1．所以，≥0，n1，2，3，…．所以，Snb1+b2+…+bn≥0．…………………………………………………………13分又，≤．故，Snb1+b2+…+bn≤＜2．所以，0≤Sn＜2．…………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数（a∈R）．（1）若a=2，求函数在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；（3）若有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜1．解：（1）由题设，，故在(1，e2)上单调递减．……………………2分所以在(1，e2)上至多只有一个零点．又＜0，故函数在(1，e2)上只有一个零点．……………4分（2），令0，得x1．当x＞1时，＜0，在上单调递减；当0＜x＜1时，＞0，在(0，1)上单调递增，故f(1)a1．………………………………………………………6分①当0，即a1时，因最大值点唯一，故符合题设；……………8分②当＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设；③当＞0，即a＞1时，一方面，＞1，＜0；另一方面，＜1，≤2aea＜0(易证：ex≥ex)，于是，f(x)有两零点，不合题设．综上，a的取值集合为{1}．…………………………………………………………10分（3）证：先证x1+x2＞2．依题设，有a，于是．记t，t＞1，则，故．于是，x1+x2x1(t+1)，x1+x22．记函数g(x)，x＞1．因＞0，故g(x)在上单调递增．于是，t＞1时，g(t)＞g(1)0．又lnt＞0，所以，x1+x2＞2．……………………………………………………………13分再证x1+x2＜1．因f(x)0h(x)ax1xlnx0，故x1，x2也是h(x)的两零点．由a1lnx0，得x(记p)．仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有作函数h(x)，则≥0，故h(x)单调递增．故，当x＞p时，h(x)＞h(p)0；当0＜x＜p时，h(x)＜0．于是，ax11x1lnx1＜．整理，得＞0，即，＞0．同理，＜0．故，＜，，于是，．综上，2＜x1+x2＜1．………………………………………………………16分21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）CABOP（第21（A）题）H如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．求证：PA·AHPC·HB．证：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．又AH⊥PB，故AH2CH·HB，即．………………………………5分CABOP（第21（A）题答图）H因PA为圆O的切线，故∠PAC∠B．在Rt△ABC中，∠B+∠ACB0°．在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB0°．所以，∠HAC∠B．所以，∠PAC∠CAH，所以，，即．所以，，即PA·AHPC·HB．…………………………………………10分B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，，，求△的面积．解：因，，，即．……………………………………………………6分故．………………………………………………………………10分C．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r＞0）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值．解：由，得，即直线l的方程为．……………………………………………………3分由得曲线的普通方程为，圆心坐标为，………6分所以，圆心到直线的距离，由，则．………………10分D．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．证：因a＞b＞c＞d，故ab＞0，bc＞0，cd＞0．故，……………6分所以，．…………………………………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出ABCDA1B1C1D1（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，．（1）求与面所成角的正弦值；（2）点在侧棱上，若二面角EBDC1的余弦值为，求的值．解：（1）以为原点，DA，DC，DD1分别为轴，轴，轴，ABCDA1B1C1D1（第22题答图）xyz建立如图所示空间直角坐标系Dxyz．设，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）．2分（1）设与面所成角的大小为，，设平面的法向量为n（x，y，z），，，则，即．令，则，所以，，所以与平面所成角的正弦值为．…………………………6分（2）设E(1，0，)，0≤≤2．设平面的法向量为n1（x1，y1，z1），平面的法向量为n2（x2，y2，z2），，由，得，令，则，，，由，得，令z2=1，则x2=2，y2=2，，，所以，得．所以．……………………………10分23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．解：（1）由题意可知X23，4，5．当X23时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X23)；当X24时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X24)；当X25时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X25)．……3分所以随机变量X2的概率分布如下表：X2345P（一个概率得一分不列表不扣分）数学期望E(X2)．………………………………5分（2）设P(Xn3+k)pk，k0，1，2，3，4，5．则p0+p1+p2+p3+p4+p51，E(Xn)3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．P(Xn+13)，P(Xn+14)p0+p1，P(Xn+15)p1+p2，P(Xn+16)p2+p3，P(Xn+17)p3+p4，P(Xn+18)p4+p5，………………………7分所以，E(Xn+1)3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)p0+p1+p2+p3+p4+p5(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+p0+p1+p2+p3+p4+p5E(Xn)+1．…………………9分由此可知，E(Xn+1)8(E(Xn)8)．又E(X1)8，所以E(Xn)．……………………………10分