高中数学(北师大版)选修2-1教案：第3章知识点拨：椭圆与双曲线的经典性质及法则

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若P0(x0,y0)在椭圆x2y21上，则过P0的椭圆的切线方程是x0xy0y1.a2b2a2b26.若P0(x0x2y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为12，,y0)在椭圆b2P、Pa2则切点弦P12的直线方程是x0xy0y1.Pa2b2椭圆x2y27.221(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPFb2tan.122椭圆x2y28.221（a＞b＞0）的焦半径公式：ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0)).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是椭圆x2y21的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则a2b22kOMkABb2，a即KABb2x0。a2y012.若P0(x0,y0)在椭圆x2y21内，则被Po所平分的中点弦的方程是a2b2x0xy0yx02y02a2b2a2b2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a2b2x2y2x0xy0ya2b2a2b2.双曲线点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（.内切：P在右支；外切：P在左支）5.000)在双曲线x2y21若P(x,ya2b2（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是x0xy0y1.a2b26.若000)在双曲线x2y21（＞＞）外，则过Po作双曲线的两P(x,ya2b2a0,b0条切线切点为P1、2，则切点弦12的直线方程是x0xy0yPPPa2b21.7.x2y2（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F，F，点P为双曲线双曲线a2b2112上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SFPFb2cot.1228.双曲线x2y21（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0),F2(c,0)a2b2当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11.AB是双曲线x2y21b2（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为a2AB的中点，则KOMKABb2x0，即KABb2x0。a2y0a2y012.若P0(x0,y0)在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点a2b2弦的方程是x0xy0yx02y02a2b2a2b2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨a2b2迹方程是x2y2x0xy0ya2b2a2b2.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭圆椭圆x221.2y21（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行ab的直线交椭圆于P1、2时11与22交点的轨迹方程是x2y21.PAPAPa2b22.过椭圆x2y21(a＞0,b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补a2b2的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0（常数）.a2y03.若P为椭圆x2y21（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,a2b2PF1F2,PF2F1，则actancot.ac224.设椭圆x2y212a2b21（a＞b＞0）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF12中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，F则有sincsine.sina5.若椭圆x2y21（a＞b＞0）的左、右焦点分别为12a2b2F、F，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为椭圆x2y212为二焦点，A为椭圆内一定b1（a＞b＞0）上任一点,F,Fa22点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.7.椭圆(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2.8.已知椭圆x2y21（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，a2b2且OPOQ.（1）111122的最大值为22a22;（2）|OP|+|OQ||OP||OQ|b4a2b2;（3）SOPQ的最小值是a2b22.a2b22ba9.过椭圆x2y21（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两a2b2点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e.|MN|210.已知椭圆x2y21（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的a2b2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则a2ab2x0a2b2.a11.设P点是椭圆x2y21（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为a2b2其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|2b2.(2)SPF1F2b2tan.1cos212.设A、B是椭圆x2y21（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，a2b2PAB,PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|2ab2|cos|tan1e2.(3)SPAB2a2b2a2c22.(2)tanb2a2cot.cos13.已知椭圆x2y21（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右a2b2焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1.双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与ya2b2轴平行的直线交双曲线于P1、2时11与A22交点的轨迹方程是PAPPx2y21.a2b22.过双曲线x2y21（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜a2b2角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0a2y0（常数）.3.若P为双曲线x2y21（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任a2b2一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1，则catancot（或caca22tancot）.ca224.设双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的两个焦点为12,P（异于长轴a2b2F、F端点）为双曲线上任意一点，在△PF12中，记F1PF2,FPF1F2,F1F2P，则有sinc(sinsine.)a5.若双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准a2b2线为L，则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF是P1到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为双曲线x2y21（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双a2b2曲线内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.7.双曲线x2y21（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充a2b2要条件是A2a2B2b2C2.8.已知双曲线x2y21（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线a2b2上两动点，且OPOQ.（1）11211（）22的最小值为4a2b2（）SOPQ2|OQ|a2b2;2|OP|+|OQ|b2a2;3|OP|的最小值是a2b22.2ab9.过双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右a2b2支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|e.|MN|210.已知双曲线x2y21（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段a2b2AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则x0a2b2或ax0a2b2.a11.设P点是双曲线x2y21（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、a2b2F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|2b2.(2)1cosSPFFb2cot.12212.设A、B是双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线a2b2上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2ab2|cos|.|a2c2cos2|(2)tantan2.(3)SPAB2a2b21eb2a2cot.13.已知双曲线x2y21（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过a2b2双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.