2021年高中数学 2.2.3抛物线的参数方程同步检测试题 新人教A版选修4-4

可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档2019年数学2.2.3抛物线的参数方程同步检测试新人教A版选修4-4eq\x(一)eq\x(层)eq\x(练)eq\x(习)1．(xx·陕西卷)圆锥曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(t为参数)的焦点坐标是________．答案：(1,0)2．点P(1,0)到曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(t为参数，t∈R)上的点的最短距离为(　　)A．0　　　　B．1　　　　C.eq\r(2)　　　　D．2答案：B3．若曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt，,y＝2pt2))(t为参数)上异于原点的不同两点M1、M2所对应的参数分别是t1、t2，则弦M1M2所在直线的斜率是(　　)A．t1＋t2B．t1－t2C.eq\f(1,t1＋t2)D.eq\f(1,t1－t2)答案：A4．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋s，,y＝1－s))(s为参数)和Ceq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋2，,y＝t2))(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，则|AB|＝________.可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档答案：eq\r(2)5．连接原点O和抛物线x2＝2y上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求点P的轨迹方程，并说明它是何种曲线．解析：设抛物线x2＝2y的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝2t2))(t为参数)．∵点M在抛物线上，∴M的坐标为(2t,2t2)．设P的坐标为(x0，y0)，由|OM|＝|MP|知，M为OP的中点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4t，,y0＝4t2.))消去参数t，得y0＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)，即点P的轨迹方程是x2＝4y，示的曲线为抛物线．eq\x(二)eq\x(层)eq\x(练)eq\x(习)6．参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ＋cosθ，,y＝sinθcosθ))(θ为参数)表示的曲线为(　　)可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档答案：C7．曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数)上两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且t1＋t2＝0，则|AB|为(　　)A．|2p(t1－t2)|　　　　　B．2p(t1－t2)C．2p(teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,2))D．2p(t1－t2)2答案：A8．(xx·江西卷)设曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2))(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．答案：ρcos2θ－sinθ＝09．(xx·深圳一调)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝t＋1))(t为参数)．曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为________．答案：(2,5)　10．(xx·重庆卷)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t为参数)相交于A，B两点，则|AB可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档|＝________.答案：16eq\x(三)eq\x(层)eq\x(练)eq\x(习)11．(xx·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2tan2θ，,y＝2tanθ))(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解析：∵直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t.))∴消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过顶点的两弦OA⊥OB，求分别以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．解析：设A(2pteq\o\al(2,1)，2pt1)，B(2pteq\o\al(2,2)，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2pteq\o\al(2,1)x－2pt1y＝0，以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2pteq\o\al(2,2)x－2pt2y＝0，即t1、t2为方程2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根．∴t1t2＝－eq\f(x2＋y2,2px).又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，x2＋y2－2px＝0.∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB(如下图)．可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；(2)求弦AB中点M的轨迹过程．解析：(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2px，))解得xA＝eq\f(2p,k2)，yA＝eq\f(2p,k).以－eq\f(1,k)代替上式中的k，可列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)x，,y2＝2px，))得xB＝2pk2，yB＝－2pk.∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k2)，\f(2p,k)))，B(2pk2，－2pk)．(2)设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))，,y＝p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－k))，))消去参数k，得y2＝px－2p2，此即为点M轨迹的普通方程．14．已知方程y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0.(1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；(1)证明：将原方法配方得(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ)，曲线为抛物线，顶点为(4cosθ，3sinθ)，设顶点为Q(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)，消去θ得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．(2)求抛物线在直线x＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档值．(2)解析：将x＝14代入已知方程，得y2－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ－19＝0，得y＝3sinθ±eq\r(28－8cosθ).因为－8≤8cosθ≤8，所以20≤28－8cosθ≤36.设抛物线在直线x＝14上截得的弦长为l，则l＝|y1－y2|＝2eq\r(28－8cosθ)，所以4eq\r(5)≤l≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2kπ(k∈Z)，lmin＝4eq\r(5)；当cosθ＝－1，即θ＝(2k＋1)π(k∈Z)时，lmax＝12.1．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程．2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应..