2018高考人A通用（理）数学一轮复习讲义：第2章 第5节 指数函数

第五节　指数函数[考纲传真]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质(1)()n＝a.(2)当n为奇数时，＝a.(3)当n为偶数时，＝|a|＝(4)负数的偶次方根无意义．(5)零的任何次方根都等于零．2．有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)＝－4.(　　)(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)(3)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)A．－9　　　　　　　　B.7C．－10D.9B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]　3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)【导学号：01772044】A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　　DC　[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不合适；当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]4．(教材改编)已知0.2m＜0.2n，则m________n(填“＞”或“＜”)．＞　[设f(x)＝0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n.]5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．(1,2)　[由意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.] 指数幂的运算　化简求值：[规律方法]　1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．[变式训练1]　化简求值：[解]　(1)原式＝－72＋－1＝－49＋－1＝－45.6分 指数函数的图象及应用　(1)(2017·郑州模拟)定义运算ab＝则函数f(x)＝12x的图象是(　　)(2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．(1)A　[因为当x≤0时，2x≤1；当x＞0时，2x＞1.则f(x)＝12x＝故选A.](2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，8分则b的取值范围是(0,1).12分[规律方法]　指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.图2­5­1[变式训练2]　(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图2­5­1，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)【导学号：01772045】A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．(1)D　(2)1　[(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．] 指数函数的性质及应用☞角度1　比较指数式的大小(2)(2016·浙江高考)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.(　　)A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥bD．若f(a)≥2b，则a≥b(1)A　(2)B　∵y＝x在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.(2)∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，则|a|≤|b|，A项错误．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，无法推出a≥b，故C项错误．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，则2b≥2a，故b≥a，B项正确．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，无法推出a≥b，故D项错误．故选B.]☞角度2　解简单的指数方程或不等式　(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．{x|－1＜x＜2}　[∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]☞角度3　探究指数型函数的性质　已知函数f(x)＝a.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，则g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，2分在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y＝x在R上是减函数，因此f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).4分(2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，则有解得a＝1.8分(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.12分[规律方法]　1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．[思想与方法]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．[易错与防范]1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．8