北师大版高中数学选修（2-2）-2.2拓展资料：导数的几何意义在解题中的应用

导数的几何意义在解中的应用导数是研究数增减、函数变化快慢、作曲线切线问题和求函数最值问题的最一般、最有效的工具.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.下面我们运用导数的几何意义解决具体的函数问题.例1.已知函数f(x)=x3-3x2+ax,x∈R,且曲线y=f(x)的切线的斜率的最小值为-1.(1)求a的值；(2)求f(x)在x=1处的切线方程；(3)若直线l过原点，且与曲线y=f(x)相切，求直线l的斜率k的值．【思路点拨】首先由“斜率的最小值为-1”求出解析式，再根据切线方程的求法列方程，求出k的值．【解】(1)∵＝3(x-1)2+a-3∴切线斜率的最小值为(1)=a-3=-1，∴a=2,(2)∵(x)=3x2-6x+2，∴曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为(1)＝-1，∴切线方程为y=-1×(x-1)+13-3×12+2×1，即y=-x+1.(3)∵y=x3-3x2+2x，∴=3x2-6x＋2．∴直线和曲线均过原点，当原点是切点时，切线斜率k==2,当原点不是切点时，设切点为P(x0,y0)，其中x0≠0,则切线的斜率k=．综上所述,k=2或．【方法技巧】(1)需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知曲线的方程．（2)当某点不在曲线上求过此点的切线问题时，要先设出切点坐标，利用导数几何意义示出切线方程，再把已知点代入切线方程，从而得出所求方程．(3)当不能确定曲线上的点(x0,f(x0))是否为切点时，要注意分(x0,f(x0))是切点和不是切点两种情况进行讨论．例2．已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线的方程及a的值.【思路点拨】由直线与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线与函数g(x)的图象相切,所以与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a的值.【解】由f′(x)|x=1=1,知kl=1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线的方程为y=x-1.直线与y=g(x)的图象相切,等价于方程组只有一解,即方程x2-x+(1+a)=0有两个相等的实根,∴Δ=1-4×(1+a)=0.∴a=-.【方法技巧】本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.