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华东第四版数学分析【篇一：数学分析第三版华东师范大学数学系编】部分习参考解答p.4 习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当a?0时，ax是无理数。证明（1）（反证）假设a+x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知x=a+x–a是有理数。这与题设“x为无理数”矛盾，故a+x是无理数。（2）假设ax是有理数，于是x?ax是无理数。5．证明：对任何x?r有（1）|x?1|?|x?2|?1；（2）|x?1|?|x?2|?|x?3|?2证明（1）1?|(x?1)?(x?2)|?|x?1|?|x?2|（2）因为2?|x?3|?|2?(x?3)|?|x?1|?|x?1|?|x?2|，所以|x?1|?|x?2|?|x?3|?26．设a,b,c?r证明|?axa是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故a?b22?a?c22|?|b?c|证明建立坐标系如图，在三角形oac中，oa的长度是a?b，oc的长度是a?c，ac的长度为|b?c|。因为三角形两边的差大于第三边，所以有2222|a?b22?a?c22|?|b?c|7．设x?0,b?0,a?b，证明a?xb?xa?bb?xa?xb?x介于1与abab之间。证明因为?1??|a?b|b??1，a?xb?xa?xb?x?abab?(b?a)xb(b?x)?|a?b|b?ab?1所以介于1与之间。p是无理数。p?nm8．设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则证明（反证）假设p为有理数，则存在正整数m、n使得，其中m、n互素。于是m2p?n2，因为p不是完全平方数，所以p能整除n，即存在整数k，使得n?kp。于是m2p?k2p2，m2?k2p，从而p是m的约数，故m、n有公约数p。这与“m、n互素”矛盾。所以p.9 习题2．设s为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）s无上界；若?m，?x0?s，使得x0?m，则称s无上界。（请与s有上界的定义相比较：若?m，使得?x?s，有x?m，则称s有上界）（2）s无界。若?m?0，?x0?s，使得|x0|?m，则称s无界。（请与s有界的定义相比较：若?m?0，使得?x?s，有|x|?m，则称s有界）3．试证明数集s?{y|y?2?x,x?r}有上界而无下界。2证明 ?x?s，有y?2?x?2，故2是s的一个上界。2p是无理数。1而对?m?0，取x0?集s无下界。23?m，y0?2?x0??1?m?s，但y0??m。故数4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）s?{x|x2?2,x?r}解 sups?类似进行）。?x?s，有?下面依定义加以验证sups?2，infs??2。2（infs??2可2?x?2，即2是s的一个上界，?2是s的一个下界。2???2，则由实???2，若???2，则?x0?s，都有x0??；若?2???r?数的稠密性，必有实数r，使得?sups?2。2，即r?s，?不是上界，所以（2）s?{x|x?n!,n?n?}解 s无上界，故无上确界，非正常上确界为sups???。infs?1。?x?s，有x?n!?1，即1是s的一个下界；???1，因为1?1!?s，即?不是s的下界。所以infs?1。(3)s?{x|x为(0,1)内的无理数}解仿照教材p.6例2的，可以验证：sups?1。infs?07．设a、b皆为非空有界数集，定义数集a?b?{z|z?x?y,x?a,y?b}证明：（1）sup(a?b)?supa?supb；（2）inf(a?b)?infa?infb证明（1）因为a、b皆为非空有界数集，所以supa和supb都存在。?z?a?b，由定义分别存在x?a,y?b，使得z?x?y。由于x?supa，y?supb，故z?x?y?supa?supb，即supa?supb是数集a?b的一个上界。2（要证?不是数集a?b的上界），??p???supa?supb，usb?pusa，由上z0?a?b。因此supa?supb是数集a?b的上确界，即sup(a?b)?supa?supb另证 ?z?a?b，由定义分别存在x?a,y?b，使得z?x?y。由于x?supa，y?supb，故z?x?y?supa?supb，于是sup(a?b)?supa?supb。①由上确界的定义，???0，?x0?a，使得x0?supa?y0?supb??2，?y0?b，使得?2，从而sup(a?b)?x0?y0?supa?supb??，由教材p.3例2，可得sup(a?b)?supa?supb ②由①、②，可得sup(a?b)?supa?supb类似地可证明：inf(a?b)?infa?infbp.15 习题?2,?2]的分段线性函数，其图象如图。11．试问y?|x|是初等函数吗？解因为y?|x|?y?|x|是初等函数。3x2，可看成是两个初等函数y?u与u?x的复合，所以212．证明关于函数y??x?的如下不等式：（1）当x?0时，1?x?x（2）当x?0时，1?x?x??1?x??1?x????证明（1）因为?1?1?1??1??1?，所以当x?0时，有x???1?1?x?x，?x???????x???x??x??x??1??1?从而有1?x?x。?x??1??（2）当x?0时，在不等式?1?1?1????1中同时乘以x，可得?x???x???x??1??1??1??1?x???x?1?x??，从而得到所需要的不等式1?x???1?x。?x??x??x?p.20 习题1．证明f(x)?xx?12是r上的有界函数。xx?12证明因为对r中的任何实数x有所以f在r上有界。2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明f(x)?1x2?x2x?12(?x2?1?2|x|)为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数f的例子，使f为闭区间[0，1]上的无界函数。解（1）设函数f(x)若对任何m?0，都存在x0?d，使得|f(x0)|?m，x?d，则称f是d上的无界函数。（2）分析：?m?0，要找x0?(0,1)，使得1x02?m。为此只需x0?1m。证明 ?m?0，取x0?区间（0，1）上的无界函数。1m?1，则x0?(0,1)，且1x2?m?1?m，所以f为4【篇二：数学分析教案(华东师大版)第十四章幂级数】目的：1.理解幂级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题；2.理解幂级数的运算，掌握函数的幂级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幂级数时的重要性。教学重点难点：本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。教学时数：12学时1 幂级数（4时）幂级数的一般概念. 型如由系数数列和的幂级数. 幂级数唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一.幂级数的收敛域:1.收敛半径、收敛区间和收敛域： th1 （abel）若幂级数式的任何，幂级数在点收敛，则对满足不等发散，收敛而且绝对收敛；若在点发散.则对满足不等式证的任何，幂级数收敛,{}有界.设||, 有|,其中..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径r.收敛半径r的求法.th2对于幂级数,若, 则ⅰ时,;ⅱ时;ⅲ时.证致的).……,(强调开方次数与的次数是一由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间:.幂级数的收敛域:一般来说,收敛区间、、收敛域.幂级数或的收敛域是区间之一.例1 求幂级数的收敛域.例2 求幂级数的收敛域.例3 求下列幂级数的收敛域:⑴2. 复合幂级数;⑵:令，则级数.,则化为幂级数.设该幂级数的收敛区间为的收敛区间由不等式确定.可相应考虑收敛域.特称幂级数为第级数中,为正整数)为缺项幂级数.其中.应注意项的系数.并应注意缺项幂级数为第项的系数.并不是复合幂级数,该例4 求幂级数解的收敛域.是缺项幂级数..收敛区间为. 时,通项. 因此, 该幂级数的收敛域为.例5 求级数的收敛域.解令,所论级数成为幂级数时级数.由几何级数的敛散性结果,当且仅当收敛.因此当且仅当,即域为例6求幂级数.时级数收敛.所以所论级数的收敛的收敛半径.解.二．幂级数的一致收敛性：th3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证,设, 级数,则对, 有绝对收敛, 由优级数判别法,在区间幂级数在闭一致收敛.上一致收敛. 因此, 幂级数内th4 设幂级数的收敛半径为在区间,且在点(或(或)收敛,则幂级数)上一致收敛.证. 收敛, 函数列在区间在区间上一致收敛.上递减且一致有界,由abel判别法,幂级数易见,当幂级数在区间的收敛域为(时,该幂级数即上一致收敛.三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设,*)和**)仍为幂级数.我们有命题1*)和**)与值得注意的是，*)和**)与有相同的收敛半径. (简证)虽有相同的收敛半径（因而有相同的.收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数2.幂级数的运算性质:定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.命题2,.(由以下命题4系2)命题3 设幂级数,则和的收敛半径分别为和,ⅰ, —const，.ⅱ+, .【篇三：华东师大数学分析习题解答1】xt>第一章实数理论１．把1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．证设数集s有下确界，且??infs?s，试证：（１）存在数列{an}?s,使liman??；n??（２）存在严格递减数列{an}?s,使liman??．n??证明如下：（１）据假设，?a?s,有a??；且???0,?a??s,使得??a?????．现依次取?n?1,n?1,2,?,相应地?an?s,使得??an????n,n?1,2,?．因?n?0(n??)，由迫敛性易知liman??.n??（２）为使上面得到的{an}是严格递减的，只要从n?2起，改取?1??n?min?,??an?1?,n?2,3,?，?n?就能保证an?1???(an?1??)????n?an,n?2,3,?．□２．证明1.3例６的（ⅱ）．证设a,b为非空有界数集，s?a?b，试证：infs?min?infa,infb?．现证明如下．由假设，s?a?b显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何x?s,有x?a或x?b，由此推知x?infa或x?infb，从而又有x?min?infa,infb??infs?min?infa,infb?．另一方面，对任何x?a,有x?s，于是有x?infs?infa?infs；同理又有infb?infs．由此推得infs?min?infa,infb?．综上，证得结论infs?min?infa,infb?成立．□３．设a,b为有界数集，且a?b??．证明：（１）sup(a?b)?min?supa,supb?；（２）inf(a?b)?max?infa,infb?．并举出等号不成立的例子．证这里只证（２），类似地可证（１）．设??infa,??infb．则应满足：?x?a,y?b,有x??,y??．于是，?z?a?b，必有z?????z?max??,??，z???这说明max??,??是a?b的一个下界．由于a?b亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论inf?a?b??max?infa,infb?成立．上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设a?(2,4),b?(0,1)?(3,5),则a?b?(3,4)，这时infa?2,infb?0,而inf(a?b)?3，故得in?fa?b??ma?xinaf,inbf?．□４．设a,b为非空有界数集．定义数集a?b??c?a?ba?a,b?b?，证明：（１）sup(a?b)?supa?supb；（２）inf(a?b)?infa?infb．证这里只证（２），类似地可证（１）．由假设，??infa,??infb都存在，现欲证inf(a?b)????．依据下确界定义，分两步证明如下：１）因为?x?a,y?b,有x??,y??,所以?z?a?b，必有z?x?y????．这说明???是a?b的一个下界．２）???0,?x0?a,y0?b，使得x0????2,y0????．2从而?z0?x0?y0?a?b,使得z0?(???)??，故???是a?b的最大下界．于是结论inf(a?b)?infa?infb得证．□５．设a,b为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集ab??c?aba?a,b?b?，证明：（１）sup(ab)?supa?supb；（２）inf(ab)?infa?infb．证这里只证（１），类似地可证（２）．a?supa,??由于?c?(ab),?a?a,b?b(a?0,b?0),使c?ab,且?b?supb,?c?supa?supb,?因此supa?supb是ab的一个上界．另一方面，???0,?a0?a,b0?b，满足a0?supa??,b0?supb??，故?c0?a0b0?(ab)，使得c0?supa?supb?[(supa?supb)??]?．由条件，不妨设supa?supb?0，故当?足够小时，???[(supa?supb)??]?仍为一任意小正数．这就证得supa?supb是ab的最小上界，即inf(ab)?infa?infb得证． □?６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．证用反证法．倘若有某个完备有序域f不具有阿基米德性，则必存在两个正元素，从而?,??f，使序列{n?}中没有一项大于?．于是，{n?}有上界（?就是一个）由完备性假设，存在上确界sup{n?}??．由上确界定义，对一切正整数n，有??n?；同时存在某个正整数n0，使n0?????．由此得出(n0?2)????(n0?1)?，这导致与??0相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性．□７．试用确界原理证明区间套定理．证设?[an,bn]?为一区间套，即满足：a1?a2???an???bn???b2?b1,n??lim(bn?an)?0．由于?an?有上界bk，?bn?有下界ak（k?n?），因此根据确界原理，存在??sup?an?,??inf?bn?,且???．倘若???，则有bn?an???????0,n?1,2,?，而这与lim(bn?an)?0相矛盾，故?????．又因an?????bn,n?1,2,?，n??所以?是一切[an,bn]的公共点．对于其他任一公共点??[an,bn],n?1,2,?，由于????bn?an?0,n??，因此只能是???，这就证得区间套?[an,bn]?存在惟一公共点．□８．试用区间套定理证明确界原理．证设 s为一非空有上界的数集，欲证s存在上确界．为此构造区间套如下：令[a1,b1]?[x0,m]，其中x0?s(?s??),m为s的上界．记c1?a1?b12，若c1是s的上界，则令[a2,b2]?[a1,c1]；否则，若c1不是s的上界，则令[a2,b2]?[c1,b1]．一般地，若记cn?an?bn2，则令?[an,cn],cn当是s的上界,[an?1,bn?1]???[cn,bn],cn不是s的上界,,n?1,2,?．如此得到的?[an,bn]?显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点?即为s的上确界．n??界；又因liman??，故???0,?an????，由于an不是s的上界，因此???更n??加不是s的上界．根据上确界的定义，证得??sups．同理可证，若s为非空有下界的数集，则s必有下确界．□９．试用区间套定理证明单调有界定理．证设?xn?为递增且有上界m的数列，欲证?xn?收敛．为此构造区间套如下：令[a1,b1]?[x1,m]；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套?[an,bn]?，使an不是?xn?的上界，bn恒为?xn?的上界．由区间套定理，???[an,n??n??bn]，且使n??liman?limbn??．下面进一步证明limxn??．一方面，由xn?bk,取k??的极限，得到xn?limbk??,n?1,2,?．k??n?n，????ak?xn?xn??,这就证得limxn??．n??同理可证?xn?为递减而有下界的情形．□?10．试用区间套定理证明聚点定理．