[doc] 一般旋转体的体积和侧面积计算公式

[doc] 一般旋转体的体积和侧面积计算 一般旋转体的体积和侧面积计算公式 2008年5月 第14卷第2期 安庆师范学院(自然科学版) JournalofAnqingTeacherscoIIege(NaturaIScienceEdition) May.2008 VOI.14NO2 一 般旋转体的体积和侧面积计算公式 袁俊华,张文武 (海军蚌埠士官学校基础部,安徽蚌埠233050) 摘要:在一般分析中,关于旋转体的体积和侧面积的计算都是就旋转体的对称轴是x轴或y轴这两种 特殊情况进行研究的.但实际上,由于曲线Y一_厂(z)经坐标变换后,有时会变得非常复杂,为此提出将微元法和解析法相 结合,推出一般旋转体体积和侧面积的计算公式,使这类计算变得简洁明了. 关键词:曲边梯形;微元法;一般旋转体;体积和侧面积 中图分类号:0172文献标识码:A文章编号:1007—4260(2008)02—0076—03 0引言 在高等数学和数学分析教材中,关于旋转体的体积和侧面积的计算都考虑特殊情况,即首先假定旋 转体是由曲线绕x轴或Y轴旋转一周所形成的,然后利用分割,求和,取极限的方法求其体积和侧面积, 这种方法已成了求体积和侧面积的既定程序,那么对于曲线绕任意轴L旋转一周所形成的旋转体的体 积怎样计算?不少人认为利用坐标变换,以任意轴L(旋转轴)为X轴建立新的坐标系,再利用常规法 进行求解即可.从理论上讲,这种方法能得到最终的结果,但事实上,由于曲线一f(z)经坐标变换后, 有时会变得非常复杂,例如求曲线Y===e(O?z?2)绕直线y—z旋转所形成的体积,当选Y—z为 x轴建立新的坐标系后,曲线Y===矿经坐标变换化为等z+等y一e2,这是一个关于,Y的隐函厶厶 数,由这个方程我们很难得到Y一f(x),就更不用说对其积分了.显然,这不是解决问题的办法.为此 提出将微元法和解析法相结合,对一般旋转体的体积进行研究,并给出侧面积的计算公式. 1一般旋转体的体积计算公式 定义1由三条边为直线段,其中两条互相平行,第三条与前两条边垂直,第四边为曲线的四边形 称为芝形f朋上连续可微一f为曲边的十定理1函数一(z)在[n,6]上连续可微,以一(z)为曲边的’ 曲边梯形绕直线一z+m旋转所生成的立体体积为: V一_二l_丽[厂(z)一一m]l厂(z)+1ld-z IPP,l一 证明如图2设M,N在直线L上的射影分别为t,t,通过 轴上的任意点z与z+?z分别作垂直于x轴的直线,它们在曲线 M,,,上截出一段?l(为下面证明方便,记为AB),在?z上任取一点 P(z,),P在直线L的射影为P,由于函数一厂(z)在[,6]上连 续可微,所以过P点可作切线,记曲线段?l上对应切线段为?T(为 下面证明方便,记为AC),?T在直线段L上的投影为?,,这样曲线 段?l线直线L旋转一周所形成的旋转体积近似于切线?T段绕直 *收稿日期:2007—09—24 作者简介:袁俊华,女,安徽蚌埠人,海军蚌埠士官学校副教授. 图1 N X PA’l/V - 图2 X 第2期袁俊华,张文武:一般旋转体的体积和侧面积计算公式.77. 线L旋转一周所形成的旋转体积,由于?T充分小,可记这个薄”平台,,的体积为?面 f?,其中,PP是小曲线段At上P点到直线L的距离, 于是,Av?d一不7m]zdf,积V1十一 分后得旋转体体积为,,r—dV—不Ipp’[Zdt=不[专寿]d,()Jl1Jl1J,.一/1lL2一,一 由于(1)中被积函数的自变量X与积分变量,不一致,下面着重讨论?,与?之间的关系. YJ一/X如图3,由于AT—AC,设P点处的切线PA与直线L的夹角为,与X轴的夹角为,因为ta一厂(z),所以c0一万(2)再由两直线的夹角公式有tany—IkF--f’(x)l,可得cosyl一!?墨:兰! 又因为在RtAABC和RtAACD中,分别有 (3) 一?』COs卢,一?1,cosy(4) 图.将(2),(3)代入(4)化简得:一LA(5) 当?z充分小时dx??z,dt?,将(5)代人(1)有:,,r一 ]即一南)一如一l+( 2旋转体侧面积的一般计算公式 定理2函数一,(z)在[口,6]连续可微,以Y一,(z)为曲边的曲边梯形绕一如+旋转所 生成的体积的侧面积为: s一手车JI,(z)一?,I,//r干7dz 证明不妨设,()?0且对区间[口,6]内任一点,皆有: ,(z)一?—?0 同定理1,在旋转体中截一个薄”平台”,当很小时,这个”平 台”近似一圆台,且圆台的母线A1??T,如图4所示. 设这个圆台的侧面积为AS,则有: AS?(fPPf+fQQ,f)?(fPPI+IQQI)AT(6) 其中IPPl,lQQ1分别为曲线弧A1的两个端点P, Q到直 线L的距离,于是 x 图4 IPPI+IQQI一志[1,(),b—I+1f(x+Az),k(x+Ax),mI]一 斋If()+,(+)一k(x+缸+)一2](7) 由于,(z)连续,当?z充分小时,有?二一三?,(), ??z(8) (7),(8)代人(6)得?s?Ef(x)一如一m]AT,由定理1的证明过程可知T? V1十’ 丽,于是有?s?[,(z)一—]. 对于,(z)?.及 ,(z),leo=一m<0的情形,可类似证明.综上证明,我们有: s一IIf(z),.b—]Jv/—1+—f,—z(x—)d. 3应用 下面我们通过两个例题说明以上两个定理的应用,作为本文的结束. 例1求曲线一矿(O?X?2)绕直线y一旋转所成旋转体的体积 ? 78?安庆帅范学院(自然科学版)20O8年 解由定理1可知,所求旋转体的体积为一(矿一z)(矿+1)dz一 (W--x)Z(e~-1…dz一--2)3,一纠 例2求三次曲线y===-z.绕直线y—z旋转所成旋转体的体积和侧面 积. 解由于对称性,所求旋转体的体积为:一(z3一z).I3zq-1Idz一 c一c3q-1)dx一嘹 同理,所求旋转体的侧面积为:s一.rJz3一zJdz一2414-1o[3z+~/() 1n(3z.+r)一吾(1+9zz]—E+1n(3+,/厂)] GeneralFormulaforVolumeandAreaofLateralSurface oftheSolidofRevolution YUANJun-hua.ZHANGWen-wu (BengbuNavalPettyOfficerAcademy,Bengbu233050,China) Abstract:Themethodofcalculationaboutvolumeandareaof1atera1surface ofasolidofrevolutionhasbeenintro— ducedatthepresenttextbookHigherMathematics,butitonlydealswiththesp ecialcasesofacurveladder--shapedmov— ingroundtheX—axis(orY—axis).Thisarticlehasgiventhegeneralformulaf orvolumeandareaoflateralsurfaceofthe solidofrevolutionbydifferentialmethod. Keywords:volumeofthesolidofrevolutionlareaoflateralsurface (上接第52页) 4结论 本文了一个适用于锂离子电池的电池管理系统,该系统实现了 电池保护,电池监测,SOC估 算,均衡充放电和CAN等功能.该系统结构简单,测量精度较高,能有 效地保护蓄电池,延长其工作寿 命,为以后电动汽车电池管理系统开发提供,定参考. 参考文献: [1]吴宇平,等.锂离子电池应用与实践FM].化学工业出版 社,2004:9—25. [2]JossenA,SpathV,DoringH,eta1.Reliablebatteryoperation2achallengef orthebatterymanagementsystem[J].JPower Sources,1999(84):283—286. [3]刘正耀.锂离子二次电池数据采集系统的设计[C].北京:全国第14 次电动车学术会论文集,2003:97--298 [4]麻有良,陈全世,齐占宁.电动汽车用电池SOC定义与监测方法[J].清华大学,2001(11):96—98,106 [53刘春梅,等.电池组双向无损均衡充放电模块的设计[J].微计算机 信息,2006(35):259—261. [6]高松,高燕.浅谈J1939在客车CAN总线中的应用[J].农业装 备与车辆工程,2005(1O):29—32. [7]阳宪惠,现场总线技术及其应用[M].北京:清华大学出版 社,1999:7—15. StudyOnLi—iOnBatteryManagementSystem LIULing—zhi (AnhuiCollegeofVocationalTechnologyofCommunications,Hefei230051,China) Abstract:Abatterymanagementsystemforli--ionbatteriesisdesignedbaseonthecharacteristicandofthe】;一ion batteries.Thesystemfunctionmodulescontains:protectionofbatterymodule,batterymonitoringmodule,SOCmodule, chargeanddischargebalancedmodule.Finally,wecommunicatedtheBMSbyCANbus. Keywords:1i—ionbattery;BMS(BatteryManagementSystem);SOC;CANbus