2015年山东春季高考数学试题及详解答案

山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试注意事项:１.本分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则A∩B等于（）（A）{1，2，3}（B）{1，3}（C）{1，2}（D）{2}2．|x－1|＜5的解集是（）（A）(－6，4)（B）（－4，6）（C）(－∞,－6)∪(4,＋∞)（D）(－∞,－4)∪（6，＋∞)3．函数y＝eq\r(x+1)+eq\f(1,x)的定义域为（）（A）{x|x≥－1且x≠0}（B）{x|x≥－1}（C）{xx＞－1且x≠0}（D）{x|x＞－1}4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件5．在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（）（A）-5（B）5（C）-9（D）96.如图所示，M是线段OB的中点，设向量eq\o(→,OA)＝eq\o(→,a)，eq\o(→,OB)＝eq\o(→,b)，则eq\o(→,AM)可以表示为（）（A）eq\o(→,a)+eq\f(1,2)eq\o(→,b)（B）－eq\o(→,a)+eq\f(1,2)eq\o(→,b)（C）eq\o(→,a)－eq\f(1,2)eq\o(→,b)（D）－eq\o(→,a)－eq\f(1,2)eq\o(→,b)7．终边在y轴的正半轴上的角的集合是（）（A）{x|x＝eq\f((,2)＋2k(，k(Z}（B）{x|x＝eq\f((,2)＋k(}（C）{x|x＝－eq\f((,2)＋2k(，k(Z}（D）{x|x＝－eq\f((,2)＋k(，k(Z}8．关于函数y＝－x2+2x，下列叙述错误的是（）（A）函数的最大值是1（B）函数图象的对称轴是直线x=1（C）函数的单调递减区间是[－1，＋∞)（D）函数图象过点（2，0）9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（）（A）10（B）20（C）60（D）10010．如图所示，直线l的方程是（）（A）eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0（B）eq\r(3)x－2y－eq\r(3)＝0（C）eq\r(3)x－3y－1＝0（D）x－eq\r(3)y－1＝011．对于命题p，q，若p∧q为假命题”，且p∨q为真命题，则（）（A）p，q都是真命题（B）p，q都是假命题（C）p，q一个是真命题一个是假命题（D）无法判断12．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋2，则f(－1)的值是（）（A）－3（B）－1（C）1（D）313．已知点P（m，－2）在函数y＝logeq\f(1,3)x的图象上，点A的坐标是（4，3），则︱eq\o(→,AP)︱的值是（）（A）eq\r(10)（B）2eq\r(10)（C）6eq\r(2)（D）5eq\r(2)14．关于x,y的方程x2+my2＝1，给出下列命题：①当m＜0时，方程表示双曲线；②当m＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m＜1时，方程表示椭圆；④当m＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m＞1时，方程表示椭圆。其中，真命题的个数是（）（A）2（B）3（C）4（D）515．(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）（A）0（B）－1（C）－32（D）3216．不等式组EQ\B\LC\{(\A\AL\COL(x－y+1＜0,x+y－3≥0))表示的区域（阴影部分）是（）17．甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）（A）eq\f(2,9)（B）eq\f(2,3)（C）eq\f(1,4)（D）eq\f(1,2)18．已知向量eq\o(→,a)＝(coseq\f(5(,12)，sineq\f(5(,12))，eq\o(→,b)＝(coseq\f((,12)，sineq\f((,12))，则eq\o(→,a)·eq\o(→,b)等于（）（A）eq\f(1,2)（B）eq\f(\r(3),2)（C）1（D）019．已知(，(表示平面，m，n表示直线，下列命题中正确的是（）（A）若m((，m(n，则n//(（B）若m((，n((,(//(，则m//n（C）若(//(，m((，则m//(（D）若m((，n((，m//(，n//(，则(//(20．已知F1是双曲线EQ\F(x2,a2)－EQ\F(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直，且︱PF1︱＝a，则双曲线的离心率是（）（A）eq\r(2)（B）eq\r(3)（C）2（D）3第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡上相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是________．22．在△ABC中，∠A＝105(，∠C＝45(，AB＝2eq\r(2)，BC等于________．23．计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是________．24．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2+my2－6m－7＝0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于________．25．集合M，N，S都是非空集合，现如下运算：M⊙N⊙S＝{x|x((M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)，且x(M∩N∩S}．若集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b－a＝d－c＝f－e；（3）b＋a＜d＋c＜f＋e．计算A⊙B⊙C＝_____________________________________．三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员。27.（本小题8分）已知函数y＝2sin(2x+φ)，x(R,0＜φ＜eq\f((,2)，函数的部分图象如图所示，求（1）函数的最小正周期T及φ的值；（2）函数的单调递增区间。28．（本小题8分）已知函数f(x)＝aeq\s\up5(x)（a＞0且a≠1）在区间[－2，4]上的最大值是16，（1）求实数a的值；（2）若函数g(x)＝log2(x2－3x＋2a)的定义域是R，求满足不等式log2(1－2t)≤1的实数t的取值范围．29．（本小题9分）如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3.（1）求SA与BC所成角的余弦值；（2）求证：AB⊥SD．30．（本小题9分）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是eq\f(3,8)（1）求抛物线的方程；（2）若直线l经过点M（3，1），与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．答案1.【考查内容】集合的交集【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法【答案】B【解析】.3.【考查内容】函数的定义域【答案】A【解析】且得该函数的定义域是.4.【考查内容】充分、必要条件【答案】C【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.【考查内容】等比数列的性质【答案】D【解析】，.6.【考查内容】向量的线性运算【答案】B【解析】.7.【考查内容】终边相同的角的集合【答案】A【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是8.【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】C【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.9.【考查内容】组合数的应用【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.11.【考查内容】逻辑联结词【答案】C【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题12.【考查内容】奇函数的性质【答案】A【解析】13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模【答案】D【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.15.【考查内容】二项式定理【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为16【考查内容】不等式组表示的区域【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.17.【考查内容】古典概率【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为18.【考查内容】余弦函数的两角差，向量的内积的坐标运算【答案】A【解析】19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A.若，，则或n在内；B.若，，，则或m与n异面；D.若，，，，且m、n相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.20.【考查内容】双曲线的简单几何性质【答案】A【解析】的坐标为，设P点坐标为，，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.21.【考查内容】直棱柱的侧面积【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理【答案】【解析】由正弦定理可知，,23.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是24.【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，，则短轴长为25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集【答案】【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，，.EMBEDEquation.DSMT4.26.【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.答：第一排应安排18名演员27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，即，又因为，所以.(2)因为函数的单调递增区间是.所以，解得，所以函数的单调递增区间是28.【考查内容】指数函数的单调性【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，所以当时，函数取得最大值16，即，所以.当时，函数在区间上是增函数，所以当时，函数取得最大值16，即，所以.（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.29.【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，，又在正方形ABCD中,所以EMBEDEquation.DSMT4,所以SA与BC所成角的余弦值是.(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，所以抛物线方程是.（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则方程为，整理得，设联立直线l与抛物线的方程得,消去y，并整理得，于是.由①式变形得，代入②式并整理得，于是，又因为，所以，即，，解得或.当时，直线l的方程是，不满足，舍去.当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是.BOMA（A）（B）（C）（D）x1yO331yO33x1yO33x1yO33xOy1BAACDSSSS_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568017.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568049.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568057.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown