数字电路与逻辑设计基础 项华珍第2章 数字逻辑基础

数字电路与逻辑设计第2章数字逻辑基础本章要点本章首先介绍数字电路中常用的数制和码制；然后介绍基本逻辑关系；逻辑函数的几种表示方法及其相互转换；逻辑代数基本、常用公式、基本规律及最小项、无关项的概念；重点讨论代数法和卡诺图法化简逻辑函数表达式。*数字电路与逻辑设计你知道吗？自然界中的物理量可分为模拟量和数字量两类。模拟量是连续变化的，可以取某一区间内的任何值，如市电电压是正弦规律变化的模拟量，其瞬时值可在－311V——+311V之间任意取值；数字量则是按一定的增量单位来变化的，它们只能一个单位一个单位地增减，只能取某一区间内的特定值，如人的个数只能是0和正整数（0、1、2、3……）数字电路与逻辑设计2.1数制和码制2.1.1几种常见的数制1.十进制数字量怎么表示呢？（1）有0、1、2……9十个数码（2）逢十进一（3）基数为10（4）第i位的权为10i数字电路与逻辑设计由位权不同，普通十进制数可用多项式表示为：按多项式法可写成：n位整数，m位小数的十进制数N，按位置计数法可以写为：数字电路与逻辑设计二进制是数字系统中常用的数制2.二进制（1）只有0、1二个数码（2）逢二进一（3）基数为2（4）第i位的权为2i数字电路与逻辑设计例如二进制数1011.01可写成：按多项式法可写成：n位整数，m位小数的二进制数N，按位置计数法可以写为：数字电路与逻辑设计由二进制和十进制可归纳出R进制的特点：3.任意（R）进制（1）只有0、1、……R-1R个数码（2）逢R进一（3）基数为R（4）第i位的权为Ri数字电路与逻辑设计在计算机系统中常用八进制和十六进制来表示二进制数据。按多项式法可写成：n位整数，m位小数的二进制数N，按位置计数法可以写为：数字电路与逻辑设计十六进制是数字系统最常用的二进制的缩写形式，实际上就是四位二进制。其特点为：（1）八进制（Octal）R＝8；有0、1、2……7共八个数码；逢八进一；基数为8；第i位的权为8i。由于23＝8，故八进制实际上也就是三位二进制。（2）十六进制（Hexadecimal）R＝16；有0、1、2……9、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）共十六个数码；逢十六进一；基数为16；第i位的权为16i。数字电路与逻辑设计按多项式法可写成：n位整数，m位小数的十进制数N，按位置计数法可以写为：例如十六进制数A9BF.7D可写成：数字电路与逻辑设计2.1.2不同数制之间的转换1.非十进制数转换为十进制数按权展开即可转换原则：保证整数部分和小数部分分别相等转换方法：多项式替代法和基数乘除法注意：转换时避免非十进制的运算例如二进制数1011.01数字电路与逻辑设计1.十进制数转换为非十进制数转换原则：整数部分和小数部分分开转换整数部分：除基数，取余数，从低位，到高位小数部分：乘基数、取整数、从高位，到低位注意：小数部分如果除不尽时，由精度要求决定位数下面通过例来说明转换过程数字电路与逻辑设计例2-1将十进制数29.325转换为二进制数（精确到小数点后第四位）。解：（1）先将十进制数的整数部分29转换为二进制的整数部分。（29）D＝（11101）B因基数为2，将29除2，取余数作为其最低有效位（LSB），将商再除2，取余数作为次低位，如此反复，直到商为0，最后的余数为最高有效位（MSB）292141270231211201余数LSBMSB数字电路与逻辑设计（2）将十进制数的小数部分0.325转换为二进制的小数部分。因基数为2，将0.325乘2，取整数部分，作为最高有效位，再将剩下的小数部分乘2，取整数部分作为次高位，如此反复直到小数部分为0，或者小数部分需不为0但小数的位数已达精度要求。（0.325）D＝（0.0101）B（29.325）D＝（11101.0101）B故有:0.3250´20[0].65´2[1].3´2[0].6´2[1].211整数LSBMSB数字电路与逻辑设计例2-2将十进制数335.825转换为十六进制数（精确到小数点后第四位）。解：(1)先将十进制数的整数部分335转换为十六进制的整数部分。因基数为16，将335除16，取余数作为其最低有效位（LSB），将商再除16，取余数作为次低位，如此反复，直到商为0，最后的余数为最高有效位（MSB）（335）D＝（14F）H数字电路与逻辑设计（2）将十进制数的小数部分0.825转换为十六进制的小数部分。因基数为16，将0.825乘16，取整数部分，作为最高有效位，再将剩下的小数部分乘16，取整数部分作为次高位，如此反复直到小数部分为0，或者小数部分需不为0但小数的位数已达精度要求。（0.825）D＝（0.D333）H（335.825）D＝（14F.D333）H故有:数字电路与逻辑设计3.二进制数制之间的转换由于23＝8，24＝16，所以八进制对应三位二进制、十六进制对应四位二进制。（1）将二进制转换为八进制整数部分：从低位开始，每三位分为一组（高位部分不够三位补0凑够三位），每组对应一位八进制整数。小数部分：从高位开始，每三位分为一组（低位部分不够三位的补0凑够三位），每组对应一位八进制小数。数字电路与逻辑设计例2-3将二进制数(1100101.1001)B转换为八进制数。解：(1100101.1001)B（2）将八进制转换为二进制时，只需将每一位八进制数分解为三位二进制数即可。例2-4将八进制数（571.73）O转换为二进制数＝（001100101.1001）B＝（145.44）O,,,00解：（571.73）O＝（101111001.111011）B数字电路与逻辑设计（3）将二进制转换为十六进制整数部分：从低位开始，每四位分为一组（高位部分不够四位补0凑够四位），每组对应一位十六进制整数。小数部分：从高位开始，每四位分为一组（低位部分不够四位的补0凑够四位），每组对应一位十六进制小数。数字电路与逻辑设计例2-5将二进制数(1101101.10011)B转换为十六进制数。解：(1101101.10011)B（4）将十六进制转换为二进制时，只需将每一位十六进制数分解为四位二进制数即可。例2-6将十六进制数（571.73）H转换为二进制数＝（1101101.10011）B＝（6D.98）H,0,00解：（571.73）O＝（010101110001.01110011）B0数字电路与逻辑设计2.1.3二进制算术运算当两个二进制数表示数据大小时，像十进制数一样可以进行加、减、乘、除的四则运算。但二进制要遵循“逢二进一”二进制加减运算：100101011110加法运算+10010101－0100减法运算数字电路与逻辑设计二进制的乘除运算：二进制的乘法是通过若干次的被乘数（或0）“左移一位”再“相加”而求得。若将减法变为加一个“负数”，那么二进制的加、减、乘、除运算全部可以用移位和加法操作完成。二进制的除法是通过若干次相减和除数“右移一位”再“相减”而求得。10010101´1001乘法运算000010010000010110110010101除法运算数字电路与逻辑设计2.1.4带符号位数的表示方法与减法运算1．原码、反码和补码（1）正数正数的原码、反码、补码完全相同，符号位用0表示，数值位均采用原码表示。如[+45]原＝00101101[+45]反＝00101101[+45]补＝00101101用最高一位来表示其正负符号，正数用0表示，负数用1表示；其余的各位用来表示绝对值的大小。数字电路与逻辑设计（2）负数负数的原码、反码、补码的符号位均为1。其数值位分别为该数值的原码、反码和补码。如[－45]原＝10101101[－45]反＝11010010[－45]补＝11010011负数的反码是在原码的基础上求反，符号位不变。如负数的补码是在反码的基础上加1，符号位不变。如数字电路与逻辑设计2．减法运算做减法运算时，可以看成是加上了一个负数，从而把减法运算换成了加法运算，不过此时的负数要用补码表示。用补码进行A－B的运算步骤如下：（3）结果再求补码，对应的值即为所得的差（1）把A、与（－B）都表示成补码形式（2）进行补码相加，高位的进位自动丢失数字电路与逻辑设计例2-7试用补码求26－21解：[26]补＝[26]原＝00011010[26-21]原＝[26－21]补＝00000101[-21]原＝10010101[-21]反＝11101010[-21]补＝11101011[26－21]补＝[26]补+[-21]补＝00011010+11101011＝[1]00000101自动丢失则26－21＝5数字电路与逻辑设计例2-8试用补码求21－26解：[21]补＝[21]原＝00010101[21－26]原＝10000101[-26]原＝10011010[-26]反＝11100101[-26]补＝11100110[21－26]补＝[21]补+[-26]补＝00010101+11100110＝11111011则21－26＝-5数字电路与逻辑设计2.1.5二进制编码1．十进制数的二进制编码（BCD码）BCD码就是用二进制代码表示十进制的0、1……9这十个状态。为了完整表示十个状态，二进制数至少要有四位。把数字和符号按一定规则排列也可以表示给定的信息，这一过程即为编码，由此得到的数字和符号的组合称为代码。原则上任何一组数字和符号的组合可以表示一个数、一个字母或一个信息。常用的编码有BCD码、格雷码、ASCII码等。数字电路与逻辑设计四位二进制代码共有十六种（0000、0001……1111）组合，取其中哪十个组合与0、1……9对应，有多种。表2-1列出了常用的几种BCD码，它们的编码规则各不相同。 表2-1常用的几种BCD码 8421码 余3码 2421码 5211码 余3循环码 0 0000 0011 0000 0000 0010 1 0001 0100 0001 0001 0110 2 0010 0101 0010 0100 0111 3 0011 0110 0011 0101 0101 4 0100 0111 0100 0111 0100 5 0101 1000 1011 1000 1100 6 0110 1001 1100 1001 1101 7 0111 1010 1101 1100 1111 8 1000 1011 1110 1101 1110 9 1001 1100 1111 1111 1010 权 8421 2421 5211数字电路与逻辑设计2．格雷码格雷码又称循环码，这种编码具有反射性。若以最高位0和1的交界处为中心轴，处于对称位置的各对代码除最高位不同外，其余各位都相同。格雷码的另外一个特点是相邻的两组代码间只有一位代码不同，这便于提高电路的工作速度和抗干扰能力。 表2-2四位二进制自然码和格雷码 十进制数 二进制编码 十进制数 二进制编码 自然二进制码 格雷码 自然二进制码 格雷码 0 0000 0000 8 1000 1100 1 0001 0001 9 1001 1101 2 0010 0011 10 1010 1111 3 0011 0010 11 1011 1110 4 0100 0110 12 1100 1010 5 0101 0111 13 1101 1011 6 0110 0101 14 1110 1001 7 0111 0100 15 1111 1000数字电路与逻辑设计3．美国信息交换代码（ASCII）美国信息交换标准代码（Americanstandardcodeforinformationinterchange）是由美国国家标准协会（ANSI）制定的一种信息编码，其广泛应用于计算机和通信领域。ASCII是由7位二进制代码（b7b6b5b4b3b2b1）组成的，共128个，包括0、1、2……9十个数字，52个大小写英文字母，32个符号代码和34个控制代码。其编码如书中表2-3所示，控制代码的含义如书中表2-4所示。数字电路与逻辑设计2.2逻辑代数的基本运算1.1.1三种最基本的逻辑运算和门电路逻辑代数是讨论逻辑关系的一门科学，在19世纪中叶，由数学家乔治·布尔创立，故也称为布尔代数。与普通代数相比，虽然变量同样也用A、B、C、D…等表示，但其取值只有0和1两种，没有第三种。 0、1并不表示数值的具体大小，只表示两种完全相反的逻辑状态，如开关的断开与闭合；电路的截止与导通；信号的有与无等。数字电路与逻辑设计2.2.1三种最基本的逻辑运算和门电路1.1.1三种最基本的逻辑运算和门电路基本的逻辑关系只有三种：逻辑与、逻辑或、逻辑非；与之相对应的逻辑代数也有三种基本运算：与运算、或运算、非运算。1．与逻辑（与门）电路逻辑符号二极管与门电路与逻辑代数表达式开关闭合为“1”，断开为“0”灯亮为“1”，灯灭为“0”真值表有0出0，全1出1逻辑与也叫乘ABEY&ABYTextblock+12VABRY输出输入ABY000011111000数字电路与逻辑设计2．或逻辑（或门）电路或门逻辑符号二极管或门电路或逻辑代数表达式或逻辑的真值表有1出1，全0出0逻辑或也叫逻辑加ABEY≥1ABY输出输入ABY000011111110TextblockY-12VABR数字电路与逻辑设计3．非逻辑（非门）电路逻辑符号三极管非门电路非逻辑代数表达式真值表反相器输出输入AY0101AEYAY1R1R2RCAY数字电路与逻辑设计2.2.2复合逻辑运算（复合门）数字电路与逻辑设计2.3逻辑函数的表示方法及其相互转换一个逻辑函数可以用真值表、表达式、逻辑图、波形图等方法来表示。既然它们都是表示同一种逻辑关系，显然可以互相转换。2.3.1由真值表求函数式和逻辑图开关电路开关闭合为“1”，断开为“0”灯亮为“1”，灯灭为“0”真值表 AB　C Y 0　0　00　0　10　1　00　1　11　0　0　1　0　11　1　01　1　1 00010101ABEYC数字电路与逻辑设计真值表1.由真值表写逻辑式（1）找出真值表中使输出函数Y为1的输入变量取值的组合；（2）每组输入变量取值组合对应一个乘积项，这个乘积项包含所有输入变量，取值为1的以原变量表示，取值为0的以反变量表示；（3）将这些乘积项相加，就得到逻辑函数的表达式。 AB　C Y 0　0　00　0　10　1　00　1　11　0　0　1　0　11　1　01　1　1 00010101数字电路与逻辑设计2.由表达式画逻辑图根据逻辑表达式，按先“与”后“或”的运算顺序，用逻辑符号表示并正确连接起来，即可画出其逻辑图或叫逻辑电路。具有相同的逻辑功能、且真值表是相同，但逻辑表达式可能不同，实现电路也不同。≥1&11ABYCABEYC≥1&CABY数字电路与逻辑设计2.3.2由函数表达式求真值表已知逻辑式，只需要把输入变量取值的所有组合状态代入表达式中，算出逻辑函数值，并将其列成表格，就可得逻辑函数的真值表。一般，输入变量取值组合按对应的二进制数从小到大排列。由逻辑式填真值表还可以采用观察的方法，找出每个乘积项使Y为1的条件，先把对应输出Y位置的1填上；其余的位置填0。B＝0且C＝1A＝0且C＝0。只要A＝1数字电路与逻辑设计2.3.3已知逻辑图写逻辑表达式将逻辑图中每一个逻辑符号所表示的逻辑运算从前到后依次写出来，就可得逻辑表达式。例如&≥1≥1CABY数字电路与逻辑设计2.3.4由真值表画波形图按照真值表所给出的各种输入变量的取值及其对应的输出变量的结果，按时间顺序依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到了逻辑函数的波形图 AB　C Y 0　0　00　0　10　1　00　1　11　0　0　1　0　11　1　01　1　1 00010101ABCY0000tttt数字电路与逻辑设计2.3.5由波形图求函数的真值表从波形图中找出每个时间段输入变量及函数输出的取值，然后将这些输入、输出取值对应列表，就可得到真值表 A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1000ABtttY数字电路与逻辑设计2.4逻辑代数的公式和运算规则2.4.1基本公式数字电路与逻辑设计例2-11用真值表证明摩根定律：证明：将A、B的四种逻辑取值组合代入上面等式的两边，结果填入真值表中，可见公式等式两边在真值表中对应位置的逻辑值相等，所以等式成立，公式正确。摩根定律也可通俗地理解为“把非号从中间剪断，加变乘、乘变加”。 表2-13　例2-11表 AB 00011011 11111100 11101000数字电路与逻辑设计2.4.2常用公式与或表达式中的某一项是另一乘积项的因子，则该乘积项是多余的，可以消去若两个乘积项中分别包含同一因子的原变量和反变量，而其它因子相同时，则两乘积项相加可以合并成一项，并消去互为反变量的因子两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一项的因子，则该因子是多余的与或表达式中，两个乘积项分别包括同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子正好组成第三项，则第三项是多余的，可以消去，这一公式也称为冗余项公式将异或取反为同或，将同或求反为异或数字电路与逻辑设计例求证：证明：如果与或表达式中，两个乘积项分别包括同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子正好组成第三项，则第三项是多余的，可以消去，这一公式也称为冗余项公式。利用配项法，在公式左边第三项乘以数字电路与逻辑设计2.4.3逻辑代数的基本规则规则1.代入规则将等式两边同时出现的某一变量都以一个相同的逻辑函数代入，则等式仍然成立，这一规则称为代入规则。利用代入规则可以扩大等式的应用范围，很多基本公式都可以由两变量或三变量推广到多变量的形式。如摩根定律：若以B＝BC代入左式，B＝B+C代入右式，则有：就得到三变量的摩根定律。数字电路与逻辑设计2.反演规则对于任何一个逻辑式Y，如果将其中所有的“”变为“+”，“+”变为“”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量。就可得到函数Y的反函数。使用反演规则时必须遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算顺序。解：根据反演规则，有：例2-12求函数的反函数数字电路与逻辑设计3.对偶规则可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也必定相等，这就是对偶规则。运用对偶规则可使要证明的公式量大大减少。例2-13用对偶规则求证证明：由于左边的对偶式为A+AB，右边的对偶式为A，前面已经证明根据对偶规则，有数字电路与逻辑设计2.5逻辑函数的公式法化简2.5.1逻辑函数表达式的标准形式和最简式含义一个逻辑函数确定以后，其真值表是唯一的，但其函数式的表达形式却有多种。各种表达式可以互相转换。如对于A、B的异或，有与或式与非-与非式或-与非式或非-或式或非-或非式数字电路与逻辑设计最简式的表达形式逻辑函数常用的最简式有最简与或式和最简或与式两种。最简与或式指的是乘积项（与项）的个数最少，每个乘积项中变量（因子）的个数也最少；最简或与式是指相乘的或式最少，每个或式中相或的变量最少。2.5.2常用的公式法化简方法公式法化简就是反复使用逻辑代数的公式和定理，消去逻辑式中多余的乘积项和多余的因子。依据简单的逻辑式要比依据复杂逻辑式来实现电路，所用的逻辑门要少，连线也少，即更简单。为使实现的逻辑电路最简，需要将逻辑表达式化为最简式。数字电路与逻辑设计 　　表2-15常用的公式法化简方法 方法名称 所用公式 说明 并项法 将两项合并为一项，并消去一个因子。 吸收法 将多余的乘积项吸收掉 消去法 (1)消去乘积项中多余的因子。(2)消去多余的项。 配项法 　 (1)用该式乘某一项，可使其变为两项，再与其它项合并化简。(2)用该式在原式中配重复项或互补项，再与其它项合并化简。 说明：根据代入规则，A、B也可是一个逻辑式数字电路与逻辑设计例2-4将下式化为最简与或式配项ABC解法一：配项法数字电路与逻辑设计解法二：用吸收法和消去法二种方法结果一致，但过程繁简不同。尽量选择最佳方法，使化简过程简单数字电路与逻辑设计例2-15化简解：数字电路与逻辑设计例2-18试将下面逻辑函数简化简解：冗余项数字电路与逻辑设计例2-17试将下面的逻辑函数简化简解：注：从原式看，很难看出是不是最简，而且用代数法简化逻辑函数，不仅要熟悉逻辑代数公式，而且要灵活运用各种公式和定律，而且不能保证最后结果最简。有没有其它不需要太多技巧的方法，也能将函数式化简？数字电路与逻辑设计2.6逻辑函数的卡诺图化简2.6.1逻辑函数的最小项表达式1.最小项定义：对于一个n变量函数，如果其与或表达式的每一个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别以原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次且仅出现一次，这样的乘积项称为函数的最小项。(1)最小项（2）最小项的编号 三变量函数取值对应的最小项 ABC 最小项 最小项编号 000001010011100101110111 数字电路与逻辑设计如果两个最小项只有一个变量取值不同，则称为逻辑相邻最小项。(3)逻辑相邻最小项三变量的函数其每一个最小项都有三个变量，故每个最小项都有三个逻辑相邻最小项。以此类推，n变量函数的每个最小项都有n个逻辑相邻最小项。逻辑相邻逻辑相邻 三变量函数取值对应的最小项 ABC 最小项 最小项编号 000001010011100101110111 *数字电路与逻辑设计(1)任何一组变量取值下，只有一个最小项的值为1，其余均为0；(2)任何两个不同的最小项之积为0；(3)全部最小项之和为1，即2.最小项的性质（4）两相邻最小项之和可以合并为一项，且消去一个因子。如 三变量函数取值对应的最小项 ABC 最小项 最小项编号 000001010011100101110111 *数字电路与逻辑设计3.逻辑函数最小项表达式全部由最小项组成的与或式为最小项表达式。最小项表达式可以写成变量形式,如：也可用最小项编号表示。如：或数字电路与逻辑设计解：数字电路与逻辑设计2.6.2逻辑函数的卡诺图表示问题的引入：两个逻辑相邻的最小项相加可以合并为一项且消去一个因子。如果能将所有使函数为1的逻辑相邻最小项排放在几何相邻的位置，化简就更直观方便。真值表排列方式是按最小项的编号从小到大顺序一列排放的，逻辑相邻最小项不一定排列在上下几何相邻的位置，也不可能全部排放在相邻位置，反而有些不相邻的最小项却排放在上下相邻的位置。 最小项相邻问题 A B C Y 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0数字电路与逻辑设计1.卡诺图的画法将真值表的列式排列方式改变，用方格图形式表现出来，并将所有逻辑相邻的最小项排在几何位置相邻，这就是卡诺图。两变量的卡诺图两变量真值表TextblockAB01101100m0m1m3m2m0m1m2m3ABmi00001111TextblockCD01101100m0m1m3m2数字电路与逻辑设计三变量的卡诺图四变量的卡诺图TextblockABC01101100m0m1m3m2m4m5m7m601ABCTextblockAABCD01101100m0m1m3m2m4m5m7m60001m12m13m15m14m8m9m11m101110BCD数字电路与逻辑设计五变量的卡诺图TextblockABECD001010011000m0m1m3m2m6m7m5m40001m12m13m15m14m8m9m11m101011111100101110m16m17m19m18m24m25m27m26m28m29m31m30m20m21m23m22数字电路与逻辑设计（1）上下边界、左右边界、以对称轴对称的位置、紧挨着的最小项均为逻辑相邻最小项。如m0和m1、m4、m2为逻辑相邻；（2）变量位置是以高位到低位排列，如A、B、C、D，按先行后列的顺序排列。排在不同位置的变量因其位权不同，其取值影响最小项编号的大小；（4）所有几何位置相邻的最小项也逻辑相邻，如m0和m1、m42.卡诺图的特点TextblockAABCD01101100m0m1m3m2m4m5m7m60001m12m13m15m14m8m9m11m101110BCD数字电路与逻辑设计3.用卡诺图表示逻辑函数既然任何一个函数都能表示为若干最小项之和的形式，而最小项在卡诺图上又对应特定位置，自然就可以用卡诺图来表示逻辑函数了。那么如何填卡诺图呢？方法有两个：化成最小项法和观察法。（1）化成最小项法把逻辑式通过配项法写成最小项表达式，表达式中包含的最小项在卡诺图中对应的方格中填1，不包含的最小项在对应方格中填0（0也可以不填）。数字电路与逻辑设计例2-20用卡诺图表示逻辑函数解：Y为四变量的函数，先画出四变量的卡诺图。再将Y展开成最小项表达式卡诺图1111111TextblockAABCD0110110000011110BCD数字电路与逻辑设计先将函数式转换成与或表达式，找出每一个乘积项使函数Y为1的条件，即乘积项中各变量的交集，并在相应位置填1。11111111（2）观察法例2-20TextblockAABCD0110110000011110BCD数字电路与逻辑设计2.6.3用卡诺图化简逻辑函数1.合并最小项的规则两个逻辑相邻的最小项之和可以合并为一项，且消去一个因子。所以在卡诺图中两个位置相邻方格的最小项之和亦可合并化简,得到简化的函数式,这种化简函数的方法称为卡诺图法。(1)两个函数值为1的相邻方格（最小项）可以合并成一项，并消去那个不同的一个因子，保留公因子;TextblockAABCD0110110000011110BCD1111数字电路与逻辑设计（2）四个函数值为1的相邻并排成矩形的方格（最小项）可以合并成一项，并消去两个因子TextblockAABCD0110110000011110BCD1111111数字电路与逻辑设计（3）八个函数值为1的相邻并排成矩形的方格（最小项）可以合并成一项，且消去三个因子2n个函数值为1的相邻并排列成矩形的方格（最小项）可以合并成一项，并消去n个因子，合并结果是保留这些项的公因子TextblockAABCD0110110000011110BCD111111111111数字电路与逻辑设计2.用卡诺图化简逻辑函数的步骤（1）首先将逻辑函数变换成与或表达式；（2）画出逻辑函数的卡诺图；（3）用圈将那些函数值为1的可以合并的最小项(2n个)包围起来，并找出其公因子；（4）每个圈对应一个乘积项（即公因子），将所有乘积项相加就得到化简后的与或式。注意（1）圈要最大且必须是2的整数次幂；（2）圈的个数要最少；（3）1可以重复利用，但每个圈都要有其它圈没有包围过的最小项，以免出现多余项；（4）不能遗漏任何一个函数值为1的最小项。数字电路与逻辑设计例2-21利用卡诺图化简逻辑函数:解:（1）先把函数Y填入四变量卡诺图11111111（2）画包围圈（3）提取每个包围圈的公因子构成乘积项，然后相加，就可得最简与或式TextblockAABCD0110110000011110BCD数字电路与逻辑设计例2-22利用卡诺图化简逻辑函数:解:先将函数填入四变量卡诺图，再画包围圈，最后由圈写出其最简与或式，过程如下：1111111111111111TextblockAABCD0110110000011110BCD数字电路与逻辑设计例2-24利用卡诺图化简逻辑函数解:本例圈1有两种圈法11111111（1）（2）函数的最简式不是唯一的。TextblockABC0110110001ABC数字电路与逻辑设计例2-25利用卡诺图化简逻辑函数解:先画出五变量的卡诺图，填出为1的最小项，然后画包围圈注意五变量卡诺图中，与中心轴对称的最小项也为相邻最小项TextblockABCDE001010011000110001数字电路与逻辑设计2.6.4具有无关项的逻辑函数及其化简1．无关项的含义及其表示完全描述的逻辑函数:对于自变量的所有取值组合，函数值是完全确实的，不是0就是1,可写成非完全描述的逻辑函数：由于受实际条件的限制，输入变量的某些取值组合不会在电路中出现，或者某些取值组合所产生的输出不影响整个电路的工作情况，这样的逻辑函数为非完全描述的逻辑函数，可写成其中：称为无关项，在卡诺图中用“×”表示，包含约束项和任意项数字电路与逻辑设计(1)约束项由于逻辑变量之间具有一定的约束关系，使得有些变量的取值不可能出现，它所对应的最小项恒等于0。如人们常用的计算器，假定用A、B、C三个按键分别控制加、减、乘三种操作，显然计算器在某个时刻只能做一种操作，不会出现也不允许出现A、B、C中两个或者三个键同时按下的情况。若键按下为1，未按下为0，那么A、B、C的取值组合只可能是000、001、010、100，不可能出现011、101、110、111。所以A、B、C是一组受约束的变量，其约束关系可以用逻辑式表示为：即：数字电路与逻辑设计（2）任意项是在某些变量取值下，函数值为1或为0均可，并不影响电路的逻辑功能。例如，用8421BCD码表示十进制数，只用到前十种输入组合0000、0001、…1001，其余六种组合1010、1011、1100、1101、1110、1111是多余的，它们与8421BCD码无关。与这些组合相对应的最小项与输出值无关，为1或为0都不会影响函数的值，故其取值是任意的。可表示为：或：利用无关项化简非完全描述的逻辑函数可以使得结果更简单数字电路与逻辑设计2.无关项在卡诺图化简函数中的应用无关项在画圈时，既可以当作“1”画在包围圈内，也可以当作“0”不圈。目的是使画出的包围圈最大、个数最少。例2-26某逻辑电路输入信号A、B、C、D为8421BCD码，又当码值为1，3，5，7，9时，输出函数Y为1。求Y的最简式。解：11111××××××TextblockAABCD0110110000011110BCD数字电路与逻辑设计若不利用无关项，把它们当作“0”不圈，则有11111××××××显然，利用无关项可使结果更简化。注意每个圈至少要有一个有效项，不能全为无关项TextblockAABCD0110110000011110BCD数字电路与逻辑设计有无关项的函数也可用公式法化简，但由于难以直接观察出哪些无关项用到化简中，故不便操作。例2-27化简下面函数其约束条件解：卡诺图11111××××××××TextblockAABCD0110110000011110BCD数字电路与逻辑设计本章小结本章主要讲述了数值和码制、逻辑函数的运算、逻辑函数的表示方法、逻辑函数的公式和定律、逻辑函数的化简四部分，要求掌握：①逻辑函数的表示法中介绍了真值表、表达式、逻辑图、波形图、卡诺图五种表示方法及它们之间的转换，在不同的使用情况下，选择方便简洁的方法表示逻辑函数；②逻辑函数的化简，包括公式法和卡诺图法。***