1.4.2 空间向量的应用（二）（精讲）（原卷版）

1.4.2空间向量应用（二）思维导图常见考法考点一空间向量求线线角【例1】（2020·全国高三一模（文））如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值【一隅三反】1．（2020·河南高二）已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（）A． B． C． D．2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.3．已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　)A．　B．　　　C．　　　D．考点二空间向量求线面角【例2】（2020·全国高二）如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.（1）求证：；（2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝－β或θ＝β－，故有sinθ＝|cosβ|＝.【一隅三反】1．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥中，，，，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．2．（2020·天津河西.高三二模）在正四棱柱中，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.3．（2020·江苏）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.考点三空间向量求二面角【例3】（2020·河南高三其他（理））如图，在三棱锥中，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解【一隅三反】1．（2020·全国）如图，圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，垂直于圆所在平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.2．（2020·全国）如图，已知四棱锥中，是平行四边形，，平面平面，，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.3．（2020·全国）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.考点四空间向量求距离【例4】（2020·全国高二课时练习）如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（）A． B． C． D．求点到平面的距离的步骤可简化为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解【一隅三反】1．（2019·湖南高二期末）已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（）A． B． C．1 D．2．（2020·黑龙江道里哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．3．（2020·全国高二课时练习）若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（）A． B． C． D．10/10