电磁场电磁波电磁场与电磁波复习试卷及答案

《电磁场与电磁波》（1）参考 二、简答题 （每小题5分，共20分） 11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 其积分形式为： （2分） 12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。 （3分） 它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。 13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。 （3分） 群速与相速的关系式为： （2分） 14．答：位移电流： 位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。 三、计算题 （每小题10 分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 解：（1）根据散度的表达式 （3分） 将矢量函数代入，显然有 （1分） 故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。 （1分） （2）电流分布为： 16．矢量，，求 （1） （2） 解：（1） （5分） （2） （5分） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1） 试写出其时间表达式； （2） 说明电磁波的传播方向； 解：（1）该电场的时间表达式为： （3分） （2分） （2）由于相位因子为，其等相位面在xoy平面，传播方向为z轴方向。 （5分） 四、应用题 （每小题 10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1） 球内任一点的电场 （2） 球外任一点的电位移矢量 解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导体表面，由高斯定理可知在球内处处有： （3分） 故球内任意一点的电位移矢量均为零，即 （1分） （1分） （2）由于电荷均匀分布在的导体球面上，故在的球面上的电位移矢量的大小处处相等，方向为径向，即，由高斯定理有 （3分） 即 （1分） 整理可得： （1分） 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），求 （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）； （2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 解：建立如图坐标 （1） 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为方向。 （5分） （2） 在平面上离直导线距离为处的磁感应强度可由下式求出： （3分） 即： （1分） 通过矩形回路中的磁通量 无穷远 图 2 （1分） 图 1 20．解：（1）由于所求区域无源，电位函数必然满足拉普拉斯方程。 设：电位函数为，则其满足的方程为： （3分） （2）利用分离变量法： （2分） 根据边界条件，的通解可写为： （1分） 再由边界条件： 求得 （1分） 槽内的电位分布为 五、综合题 （ 10 分） (1) 21．解：（1） （2分） （2分） （1分） (2) 区域1中反射波电场方向为（3分） 磁场的方向为 （2分） 《电磁场与电磁波》试题（2）参考答案 二、简述题 （每小题 5分，共 20 分） 11． 答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合曲面S穿出去的通量等于由S外流入S内的通量。 （3分） 其数学表达式为： （2分） 12．答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。 （2分） 13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： （2分） 14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。（3分） 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数，试求 （1） （2） 解：（1） （2） 16．矢量，，求 （1） （2）求出两矢量的夹角 解：（1） （2）根据 （2分） （2分） 所以 （1分） 17．解：（1） （2） （2分） 所以 （3分） 四、应用题 （每小题 10分，共30分） 18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点处产生的电场强度表达式为 （1）求出电力线方程；（2）画出电力线。 解:（1） （2分） 由力线方程得 （2分） 对上式积分得 （1分） 式中，为任意常数。 （2）电力线图18-2所示。 图 1 图 18-2（注：电力线正确，但没有标方向得3分） 19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈内任意一点处的电位表达式 解：（1）镜像电荷所在的位置如图19-1所示。 （注：画对一个镜像得2分，三个全对得5分） 图 19-1 图 19-2 （2）如图19-2所示任一点处的电位为 （3分） 其中， （2分） 20．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为： （1） 写出电场强度和磁场强度的复数表达式 （2） 证明其坡印廷矢量的平均值为： 解：（1）电场强度的复数表达式 （3分） 电场强度的复数表达式 （2分） （2）根据 得 （2分） （3分） 五、综合题 （共10分） 区域 1 区域 2 图 221．设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场只有分量即 (2) 求出反射波电场的表达式； (3) 求出区域1 媒质的波阻抗。 解：（1）设反射波电场 区域1中的总电场为 （2分） 根据导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得 （2分） 因此，反射波电场的表达式为 （1分） （2）媒质1的波阻抗 （3分） 因而得 （2分） 《电磁场与电磁波》试题（3）参考答案 二、简述题 （每小题 5分，共 20 分） 11．答：它表明时变场中的磁场是由传导电流和位移电流共同产生（3分）。 该方程的积分形式为 （2分） 12． 答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；（1分） 电磁场的分量都在横向平面中，则称这种波称为平面波；（2分） 在其横向平面中场值的大小和方向都不变的平面波为均匀平面波。（2分） 13．答：静电场为无旋场，故沿任何闭合路径的积分为零；或指出静电场为有势场、保守场 静电场的两个基本方程积分形式： 或微分形式 两者写出一组即可，每个方程1分。 14．答： （3分） 它表示求解区域的电位分布仅决定于当地的电荷分布。（2分） 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．用球坐标表示的场，求 （1） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的； （2） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的分量 解： （1）在直角坐标中点（-3，4，5）在球坐标中的矢径大小为： （2分） 故该处的电场大小为： （3分） （2）将球坐标中的场表示为 （2分） 故 （2分） 将，代入上式即得： （1分） 16．矢量函数，试求 （1） （2）若在平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量穿过此正方形的通量。 解： （1） （3分） （2分） （2） 平面上面元矢量为 （2分） 穿过此正方形的通量为 （3分） 17．已知某二维标量场，求 （1）标量函数的梯度； （2）求出通过点处梯度的大小。 解： （1）对于二维标量场 （3分） （2分） （2）任意点处的梯度大小为 （2分） 则在点处梯度的大小为： （3分） 四、应用题 （每小题 10分，共30分） 18．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （3） 试写出其时间表达式； （4） 判断其属于什么极化。 解： （1）该电场的时间表达式为： (2分) （3分） (2) 该波为线极化 （5分） 19．两点电荷，位于轴上处，位于轴上处，求空间点 处的 （1） 电位； （2） 求出该点处的电场强度矢量。 解： （1）空间任意一点处的电位为： （3分） 将，，代入上式得空间点处的电位为： （2分） （2）空间任意一点处的电场强度为 （2分） 其中，， 将，，代入上式 （2分） 空间点处的电场强度 （1分） 20．如图1所示的二维区域，上部保持电位为，其余三面电 位为零， （1） 图 1写出电位满足的方程和电位函数的边界条件 （2） 求槽内的电位分布 解： （1）设：电位函数为， 则其满足的方程为： （3分） （2分） （2）利用分离变量法： （2分） 根据边界条件，的通解可写为： 再由边界条件： 求得 （2分） 槽内的电位分布为： （1分） 五、综合题 （10 分） 21．设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波为沿 方向的线极化，设电场强度幅度为，传播常数为。 (4) 区域 1 区域 2 图 2试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式； (5) 求出反射系数。 解： a) 由题意： （5分） （2）设反射系数为， （2分） 由导体表面处总电场切向分量为零可得： 故反射系数 （3分） 《电磁场与电磁波》试题（4）参考答案 二、简述题 （每小题 5分，共 20 分） 11．答：恒定磁场是连续的场或无散场，即磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。产生恒定磁场的源是矢量源。 (3分） 两个基本方程： （1分） （1分） (写出微分形式也对) 12．答：设理想导体内部电位为，空气媒质中电位为。 由于理想导体表面电场的切向分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有 （3分） （2分） 13．答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 14．答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．标量场，在点处 （1）求出其梯度的大小 （2）求梯度的方向 解：（1） （2分） （2分） 梯度的大小： （1分） （2）梯度的方向 （3分） （2分） 16．矢量，，求 （1） （2） 解：（1）根据 （3分） 所以 （2分） （2） （2分） （3分） 17．矢量场的表达式为 （1）求矢量场的散度。 （2）在点处计算矢量场的大小。 解：（1） （2）在点处 矢量 （2分） 所以矢量场在点处的大小为 （3分） 四、应用题 （每小题 10分，共30分） 18．一个点电荷位于处，另一个点电荷位于处，其中。求 （1） 求出空间任一点处电位的表达式； （2） 求出电场强度为零的点。 图 18-1解：（1）建立如图18-1所示坐标 空间任一点的电位 （3分） 其中， （1分） （1分） （2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的的左侧，（2分） 设位于处，则在此处电场强度的大小为 （2分） 令上式等于零得 求得 （1分） 19．真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为，试求 （1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度 解：（1）作半径为的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变， （2分） 根据高斯定理，有 （2分） （1分） （2）当时，作半径为的高斯球面，根据高斯定理，有 （2分） （2分） 电场强度为 （1分） 20． 无限长直线电流垂直于磁导率分别为的两 种磁介质的交界面，如图1所示。试 （1） 写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程 （2） 图 1求两种媒质中的磁感应强度。 解：（1）磁感应强度的法向分量连续 （2分） 根据磁场强度的切向分量连续，即 （1分） 因而，有 （2分） （2）由电流在区域1和区域2中所产生的磁场均为，也即是分界面的切向分量，再根据磁场强度的切向分量连续，可知区域1和区域2中的磁场强度相等。 （2分） 由安培定律 得 （1分） 因而区域1和区域2中的磁感应强度分别为 （1分） （1分） 五、综合题 （10分） 21． 设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，入射波电场的表达式为 （1）试画出入射波磁场的方向 （2）求出反射波电场表达式。 解：（1）入射波磁场的方向如图21-1所示。 图 21-1 图 2（2）设反射波电场 区域1中的总电场为 （2分） 根据导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得 （2分） 因此，设反射波电场为 （1分）