历年数学2008年高考上海文科数学试卷及答案

2008年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷） 数学试卷(文史类) 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚． 2．本试卷共有21道试，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将直接写在试卷上． 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式 的解集是 ． 2．若集合 、 满足 ，则实数 ． 3．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 ． 4．若函数 的反函数 ，则 ． 5．若向量 、 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ． 6．若直线 经过抛物线 的焦点，则实数 ． 7．若 是实系数方程 的一个虚根，且 ，则 ． 8．在平面直角坐标系中，从五个点： 、 、 、 、 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数示）． 9．若函数 （常数 ）是偶函数，且它的值域为 ，则该函数的解析 ． 10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7， ， ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则 、 的取值分别是 ． 11．在平面直角坐标系中，点 、 、 的坐标分别为 、 、 ．如果 是 围成的区域（含边界）上的点，那么当 取到最大值时，点 的坐标是 ． 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．设 椭圆 上的点．若 、 是椭圆的两个焦点，则 等于 [答]（　　） （A）4． （B）5． （C）8． 　 （D）10． 13．给定空间中的直线 及平面 ．条件“直线 与平面 内两条相交直线都垂直”是“直线 与平面 垂直”的 [答]（　　） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 14．若数列 是首项为1，公比为 的无穷等比数列，且 各项的和为 ，则 的值是 [答]（　　） （A）1 （B）2 （C） （D） 15．如图，在平面直角坐标系中， 是一个与 轴的正半轴、 轴的正半轴分别相切于点 、 的定圆所围成的区域（含边界）， 、 、 、 是该圆的四等分点．若点 、点 满足 且 ，则称 优于 ．如果 中的点 满足：不存在 中的其它点优于 ，那么所有这样的点 组成的集合是劣弧 [答]（　　） （A） （B） （C） （D） 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分） 如图，在棱长为2的正方体 中， 是 的中点．求直线 与平面 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分13分） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形 ．小区的两个出入口设置在点 及点 处．小区里有两条笔直的小路 、 ，且拐弯处的转角为 ．已知某人从 沿 走到 用了10分钟，从 沿 走到 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径 的长（精确到1米）． 18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数 ， ，直线 （ ）与函数 、 的图象分别交于 、 两点． （1）当 时，求 的值； （2）求 在 时的最大值． 19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数 ． （1）若 ，求 的值； （2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围． 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分． 已知双曲线 ： ． （1）求双曲线 的渐近线方程； （2）已知点 的坐标为 ．设 是双曲线 上的点， 是点 关于原点的对称点．记 ．求 的取值范围； （3）已知点 、 、 的坐标分别为 、 、 ， 为双曲线 上在第一象限内的点．记 为经过原点与点 的直线， 为 截直线 所得线段的长．试将 表示为直线 的斜率 的函数． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知数列 ： ， ， ， （ 是正整数），与数列 ： ， ， ， ， （ 是正整数）．记 ． （1）若 ，求 的值； （2）求证：当 是正整数时， ； （3）已知 ，且存在正整数 ，使得在 ， ，…， 中有4项为100．求 的值，并指出哪4项为100． 2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(文史类)答案要点及评分标准 一、填空题（第1题至第11题） 1． 2． 2 3． 4． （ ） 5． 　　 6．－1 7． 4 8． 9． 10． ， 11． 二、选择题（第12题至第15题） 题 号 12 13 14 15 代 号 D C B D 三、解答题（第16题至第21题） 16．解：过 作 ，交 于 ，连接 ． ∵ 平面 ∴ 是直线 与平面 所成的角．　…… 4分 由题意，得 ． ∵ ，∴ ．　　…… 8分 ∵ ，∴ ．　　……10分 故直线 与平面 所成角的大小是 ．　　…… 12分 17．解法一：设该扇形的半径为 米．由题意，得 （米）， （米）， ．　　　　　　…… 4分 在 中， ，　　　　…… 6分 即 ，　　　　　…… 9分 解得 （米）． 答：该扇形的半径 的长约为445米．　　　　　　…… 13分 解法二：连接 ，作 ，交 于 ．　　　　　　…… 2分 由题意，得 （米）， （米）， ．　　　　　　…… 4分 在 中， 　　　　　　　　 ∴ （米），　　　　　　　　　　　 …… 6分 ．　　　　…… 9分 在直角 中， （米）， ， ∴ （米）． 答：该扇形的半径 的长约为445米．　　　　　　…… 13分 18．解：（1） ．　　　　　　　　　　…… 2分 　　　　　　　 　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　……5分 （2） ．　　　　　　　……8分 　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　……11分 ∵ ， ，　　　　　　　　　　　　　　……13分 ∴ 的最大值为 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……15分 19．解： （1）当 时， ；当 时， ．　　　　……2分 由条件可知 ，即 ，解得 ．　　　　　……6分 ∵ ，∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分 （2）当 时， ，　　　　　　　　　　　……10分 即 ， ∵ ，∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……13分 ∵ ，∴ ， 故 的取值范围是 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……16分 20．解：（1）所求渐近线方程为 ， ．　　　　　　　……3分 （2）设 的坐标为 ，则 的坐标为 ．　　　　　　　　　 ……4分 ．　　 ……7分 ∵ ， ∴ 的取值范围是 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分 （3）若 为双曲线 上第一象限内的点，则直线 的斜率 ．　　 ……11分 由计算可得，当 时， ； 当 时， ．　　　　　　　　　　　　　　　　……15分 ∴ 表示为直线 的斜率 的函数是 ．　　……16分 21．解：（1） 　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分 ∵ ，∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分 （2）用数学归纳法：当 时， ． ①当 时， ，等式成立．　　　　　　……6分 ②假设 时等式成立，即 ，那么当 时， 　　　　　　……8分 ，等式也成立． 根据①和②可以断定：当当 时， ．　　　　　　　　　……10分 （3） （ ）． 当 ， 时， ； 当 ， 时， ； 当 ， 时， ； 当 ， 时， ； 当 ， 时， ； 当 ， 时， ． ……13分 ∵ 是奇数， ， ， 均为负数， ∴这些项均不可能取得100．　　　　　　　　　　　　　　　　 ……15分 ∴ ，解得 ， ， 此时 为100．　　　　　　　　　　　　　　　　 ……18分 PAGE _1274809173.unknown _1274810339.unknown _1274816079.unknown _1274819489.unknown _1274820117.unknown _1274820686.unknown _1274820771.unknown _1274820854.unknown _1280261670.unknown _1280264042.unknown _1280264384.unknown _1280264542.unknown _1280264271.unknown _1280263199.unknown _1274820878.unknown _1274820933.unknown _1274820956.unknown _1274820963.unknown _1274820948.unknown _1274820884.unknown _1274820869.unknown _1274820806.unknown _1274820822.unknown _1274820831.unknown _1274820817.unknown _1274820790.unknown _1274820795.unknown _1274820779.unknown _1274820730.unknown _1274820747.unknown _1274820765.unknown _1274820739.unknown _1274820702.unknown _1274820711.unknown _1274820695.unknown _1274820323.unknown _1274820643.unknown _1274820669.unknown _1274820679.unknown _1274820657.unknown _1274820422.unknown _1274820489.unknown _1274820340.unknown _1274820242.unknown _1274820301.unknown _1274820311.unknown _1274820247.unknown _1274820189.unknown _1274820207.unknown _1274820131.unknown _1274819673.unknown _1274819807.unknown _1274820021.unknown _1274820073.unknown _1274819849.unknown _1274819792.unknown _1274819802.unknown _1274819692.unknown _1274819597.unknown _1274819641.unknown _1274819649.unknown _1274819598.unknown _1274819522.unknown _1274819596.unknown _1274819595.unknown _1274819514.unknown _1274818877.unknown _1274819142.unknown _1274819287.unknown _1274819302.unknown _1274819308.unknown _1274819293.unknown _1274819247.unknown _1274819256.unknown _1274819150.unknown _1274818943.unknown _1274819072.unknown _1274819115.unknown _1274819025.unknown _1274818933.unknown _1274818735.unknown _1274818786.unknown _1274818817.unknown _1274818862.unknown _1274818797.unknown _1274818748.unknown _1274818756.unknown _1274818742.unknown _1274817848.unknown _1274818659.unknown _1274818667.unknown _1274817867.unknown _1274817754.unknown _1274817764.unknown _1274817731.unknown _1274817741.unknown _1274811271.unknown _1274811801.unknown _1274814991.unknown _1274816046.unknown _1274816054.unknown _1274816022.unknown _1274814189.unknown _1274814266.unknown _1274811948.unknown _1274811706.unknown _1274811783.unknown _1274811793.unknown _1274811712.unknown _1274811686.unknown _1274811697.unknown _1274811337.unknown _1274810567.unknown _1274810904.unknown _1274810988.unknown _1274811196.unknown _1274810946.unknown _1274810880.unknown _1274810892.unknown _1274810860.unknown _1274810469.unknown _1274810509.unknown _1274810517.unknown _1274810504.unknown _1274810412.unknown _1274810449.unknown _1274810399.unknown _1274809650.unknown _1274810061.unknown _1274810245.unknown _1274810301.unknown _1274810321.unknown _1274810332.unknown _1274810308.unknown _1274810262.unknown _1274810267.unknown _1274810258.unknown _1274810120.unknown _1274810143.unknown _1274810240.unknown _1274810129.unknown _1274810096.unknown _1274810107.unknown _1274810074.unknown _1274809839.unknown _1274809912.unknown _1274810038.unknown _1274810057.unknown _1274810014.unknown _1274809881.unknown _1274809888.unknown _1274809869.unknown _1274809735.unknown _1274809778.unknown _1274809831.unknown _1274809751.unknown _1274809669.unknown _1274809716.unknown _1274809659.unknown _1274809372.unknown _1274809573.unknown _1274809628.unknown _1274809638.unknown _1274809644.unknown _1274809633.unknown _1274809592.unknown _1274809603.unknown _1274809580.unknown _1274809414.unknown _1274809555.unknown _1274809563.unknown _1274809547.unknown _1274809403.unknown _1274809410.unknown _1274809392.unknown _1274809310.unknown _1274809339.unknown _1274809364.unknown _1274809368.unknown _1274809355.unknown _1274809323.unknown _1274809332.unknown _1274809318.unknown _1274809236.unknown _1274809301.unknown _1274809305.unknown _1274809298.unknown _1274809186.unknown _1274809196.unknown _1274809182.unknown _1274805337.unknown _1274806579.unknown _1274807303.unknown _1274807953.unknown _1274809020.unknown _1274809040.unknown _1274809167.unknown _1274809035.unknown _1274808966.unknown _1274808979.unknown _1274807984.unknown _1274807825.unknown _1274807878.unknown _1274807887.unknown _1274807872.unknown _1274807340.unknown _1274807350.unknown _1274807318.unknown _1274806675.unknown _1274807267.unknown _1274807280.unknown _1274807283.unknown _1274807271.unknown _1274807254.unknown _1274807260.unknown _1274807213.unknown _1274806619.unknown _1274806632.unknown _1274806640.unknown _1274806628.unknown _1274806606.unknown _1274806610.unknown _1274806591.unknown _1274805588.unknown _1274806146.unknown _1274806533.unknown _1274806561.unknown _1274806576.unknown _1274806556.unknown _1274806171.unknown _1274806177.unknown 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