离散数学及其应用(课后习题)

习题1.1 2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。 （3）大雁北回，春天来了。 （4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 （5）张三和李四在吵架。 解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。 习题1.2 1. 指出下列命题的真值： （1）若 ，则太阳从西方升起。 解：该命题真值为T（因为命题的前件为假）。 （3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。 解：该命题真值为F（如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。 2. 令P：天气好。Q：我去公园。请将下列命题符号化。 （2）只要天气好，我就去公园。 （3）只有天气好，我才去公园。 （6）天气好，我去公园。 解：（2） 。 （3） 。 （6） 。 习题1.3 2. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号示）： （1）我去新华店（P），仅当我有时间（Q）。 （3）只要努力学习（P），成绩就会好的（Q）。 （6）我今天进城（P），除非下雨（Q）。 （10）人不犯我（P），我不犯人（Q）；人若犯我，我必犯人。 解：（1） 。 （3） 。 （6） 。 （10） 。 习题1.4 1. 写出下列公式的真值表： （2） 。 解：该公式的真值表如下表： 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1       2. 证明下列等价公式： （2） 。 证明： （4） 。 证明： 3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。乙说：是丁。丙说：是乙。丁说：不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际，问成绩最好的是谁？ 解：设 ：甲成绩最好。 ：乙成绩最好。 ：丙成绩最好。 ：丁成绩最好。 四个人所说的命题分别用 表示，则 ； ； ； 。 则只有一人符合实际的命题 符号化为 同理， 所以，当 为真时， 为真，即甲的成绩最好。 习题1.5 2. 证明下列各蕴含式： （3） 。 证明： 方法一：真值表法（列出命题公式 的真值表）。 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1               方法二：等值演算法 方法三：法 （1）直接分析法：若前件 为真，分两种情况： （I） 为假，则 为真， 为真， 为真。 （II） 为真，则 为真，此时若 为真，则 为真，则 为真， 为真， 为真；若 为假，则 为假， 为真。 综上，若前件为真，后件必为真，故该蕴含式成立。 (2）间接分析法：若后件 为假，则 为真， 为假。由 为假可知， 为真， 为假。再由 可知， 为真。此时 为假， 为假，即前件为假。故蕴含式成立。 5. 叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。 （1）如果下雨，我不去。 解：设 ：天下雨。 ：我去。 逆换式：如果我不去，天就下雨。符号表示为 。 逆反式：如果我去，天就不下雨。符号表示为 。 （2）仅当你走我将留下。 解：设 ：我留下。 ：你走。 逆换式：如果你走，我就留下。符号表示为： 。 逆反式：如果你不走，我就不留下。符号表示为： 。 习题1.6 2. 将下列命题公式用只含 和 的等价式表达，并尽可能简单。 （1） 解：  （2） 解：  （3） 解：  习题1.7 6．求下列命题公式的主析取范式和主合取范式： （1） 解：  （主合取范式） （主析取范式） 习题1.8 1. 证明 证明： （1）                       P（附加前提） （2）                 P （3）                 T（2）E （4）                       T（1）（3）I （5）                 P （6）                 T（5）E （7）                         T（4）（6）I （8）                 P （9）                       T（7）（8）I （10）                 CP 2．用间接证法证明 ， ， ， 证明： （1）                         P（附加前提） （2）                   P （3）                       T（1）（2）I （4）                         P (5)             P (6)                   T(4)((5)I (7)                           T(3)(6)I (8)                   P (9)                         T(7)(8)I (10) (矛盾式)            T(4)(9)I 由（10）得出了矛盾，根据归谬法说明原推理正确。 5.“如果下雨，春游就会改期；如果没有球赛，春游就不会改期。结果没有球赛，所以没有下雨。”证明上述论断正确。 解：设 ：下雨。 ：有球赛。 ：春游改期。则上述论断转化为要证明 ， ， 证：    （1）                     P （2）               P （3）                       T（1）（2）I （4）                   P （5）                       T（3）（4）I 因此，上述推理正确。 7. 证明 是前提 ， ， 的有效结论。 证明：  （1）                   P （2）                 T（1）E （3）                   P （4）                 T（2）（3）I （5）                   P （6）               T（5）E （7）                 T（4）（6）I （8）                   T（7）E 习题2.1 用谓词表达式写出下列命题： （5）每个有理数是实数。 解： ，其中 ： 是有理数。 ： 是实数。 （6）有的函数连续。 解： ，其中 ： 是函数。 ： 连续。 习题2.2 2. 将下列命题符号化： （3）没有人登上过木星。 解：设 ： 是人。 ： 登上过木星。则命题可表示为 3. 符号化下列命题： （2）尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。 解：设 ： 是人。 ： 聪明。则命题可表示为 习题2.3 2. 对下列谓词公式中约束变元进行换名： （1） （2） 解：（1） （2） 3. 对下列谓词公式中自由变元进行代入： （1） （2） 解：（1） （2） 习题2.4 3. 证明下列等价式： （1） 证明： （2） 证明： 习题2.5 求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式： （1） 解： （前束析取范式、前束合取范式） （2） 证明： （辖域扩张） （辖域扩张）（前束析取范式） （前束合取范式） 习题2.6 1. 证明下列各式。 （2） 证明：（1）                     P （2）                         US（1） （3）           P （4）               US（3） （5）                       T(2)(4)I （6）             P （7）                 US（6） （8）                         T（5）（7）I （9）                     UG（8） 2. 符号化下列命题并推证其结论。 （3）所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此，某些实数是整数。 解：设 ： 是有理数。 ： 是实数。 ： 是整数。则命题可符号化为： ， 。 证明如下： （1）                 P （2）                     ES（1） （3）               P （4）                     US（3） （5）                           T（2）I （6）                           T（4）（5）I （7）                           T（2）I （8）                     T（6）（7）I （9）                 EG（8） （4）每个大学生不是文科生就是理科生，有的大学生是优等生，小张不是理科生，但他是优等生，因此如果小张是大学生，他就是文科生。 解：设 ： 是大学生。 ： 是文科生。 ： 是理科生。 ： 是优等生。 ：小张。该命题可符号化为： ， ， ， 。 证明如下： （1）         P （2）             US（3） （3）                           附加前提 （6）                     T（4）（5）I （7）                           P （8）                           T（6）（7）I